The Rudolf Steiner Archive

Erster Vortrag

Erster Vortrag

[ 1 ] Wenn Sie enttäuscht sein sollten über das, was Sie jetzt hören werden, will ich vorausschicken, daß ich heute ganz elementare Dinge [über die vierte Dimension] besprechen will. Wer tiefer eindringen will in diese Frage, müßte mit den höheren Begriffen der Mathematik genau bekannt sein. Ich möchte Ihnen einige ganz elementare und allgemeine Begriffe geben. Man muß unterscheiden zwischen der Möglichkeit zu denken in einem vierdimensionalen Raum und der Wirklichkeit. Wer imstande ist, dort Beobachtungen zu machen, hat es mit einer Wirklichkeit zu tun, die weit hinausreicht über das, was wir als das Sinnlich-Wirkliche kennen. Man muß Gedankenumformungen machen, wenn man sich hierher begibt. Sie müssen die Dinge ein wenig in die Mathematik hineinspielen lassen, sich hineinfinden in die Denkweise des Mathematikers.

[ 1 ] Wenn Sie enttäuscht sein sollten über das, was Sie jetzt hören werden, will ich vorausschicken, daß ich heute ganz elementare Dinge [über die vierte Dimension] besprechen will. Wer tiefer eindringen will in diese Frage, müßte mit den höheren Begriffen der Mathematik genau bekannt sein. Ich möchte Ihnen einige ganz elementare und allgemeine Begriffe geben. Man muß unterscheiden zwischen der Möglichkeit zu denken in einem vierdimensionalen Raum und der Wirklichkeit. Wer imstande ist, dort Beobachtungen zu machen, hat es mit einer Wirklichkeit zu tun, die weit hinausreicht über das, was wir als das Sinnlich-Wirkliche kennen. Man muß Gedankenumformungen machen, wenn man sich hierher begibt. Sie müssen die Dinge ein wenig in die Mathematik hineinspielen lassen, sich hineinfinden in die Denkweise des Mathematikers.

[ 2 ] Man muß sich klarwerden, daß der Mathematiker keinen Schritt tut, ohne sich Rechenschaft zu geben von dem, was in seinen Schlußfolgerungen eintrifft. Wir müssen aber auch gewahr werden, wenn wir uns mit Mathematik beschäftigen, daß selbst der Mathematiker keinen Schritt [in die Wirklichkeit] vordringen kann, daß er keine Schlußfolgerungen machen kann, [die über das bloß Denkmögliche hinausreichen]. Zunächst handelt es sich um einfache Dinge, die aber schon komplizierter werden, wenn man zum Begriff der vierten Dimension kommen will. Wir müssen uns klar darüber werden, was wir unter Dimensionen verstehen. Am besten macht man es sich klar, wenn man die verschiedenen Raumgebilde auf ihre Dimensionalität hin prüft. Sie führen zu Betrachtungen, welche erst im 19. Jahrhundert von großen Mathematikern wie Bolyai, Gauß und Riemann in Angriff genommen worden sind.^1Note

[ 2 ] Man muß sich klarwerden, daß der Mathematiker keinen Schritt tut, ohne sich Rechenschaft zu geben von dem, was in seinen Schlußfolgerungen eintrifft. Wir müssen aber auch gewahr werden, wenn wir uns mit Mathematik beschäftigen, daß selbst der Mathematiker keinen Schritt [in die Wirklichkeit] vordringen kann, daß er keine Schlußfolgerungen machen kann, [die über das bloß Denkmögliche hinausreichen]. Zunächst handelt es sich um einfache Dinge, die aber schon komplizierter werden, wenn man zum Begriff der vierten Dimension kommen will. Wir müssen uns klar darüber werden, was wir unter Dimensionen verstehen. Am besten macht man es sich klar, wenn man die verschiedenen Raumgebilde auf ihre Dimensionalität hin prüft. Sie führen zu Betrachtungen, welche erst im 19. Jahrhundert von großen Mathematikern wie Bolyai, Gauß und Riemann in Angriff genommen worden sind.^1Note

[ 3 ] Die einfachste Raumgröße ist der Punkt. Er hat gar keine Ausdehnung; er muß gedacht werden. Er ist die Fixierung einer Ausdehnung im Raume. Er hat keine Dimension. Die erste Dimension ist die Linie. Die gerade Linie hat eine Dimension, die Länge. Wenn wir die Linie, die keine Dicke hat, selbst bewegen, treten wir aus der einen Dimension heraus, und die Linie wird zur Fläche. Diese hat zwei Dimensionen, eine Länge und eine Breite, Wenn wir die Fläche bewegen, so treten wir aus diesen zwei Dimensionen heraus, und wir erhalten den Körper. Er hat drei Dimensionen: Höhe, Breite, Tiefe (Figur 1).

[ 3 ] Die einfachste Raumgröße ist der Punkt. Er hat gar keine Ausdehnung; er muß gedacht werden. Er ist die Fixierung einer Ausdehnung im Raume. Er hat keine Dimension. Die erste Dimension ist die Linie. Die gerade Linie hat eine Dimension, die Länge. Wenn wir die Linie, die keine Dicke hat, selbst bewegen, treten wir aus der einen Dimension heraus, und die Linie wird zur Fläche. Diese hat zwei Dimensionen, eine Länge und eine Breite, Wenn wir die Fläche bewegen, so treten wir aus diesen zwei Dimensionen heraus, und wir erhalten den Körper. Er hat drei Dimensionen: Höhe, Breite, Tiefe (Figur 1).

[ 4 ] Wenn Sie den Körper selbst bewegen, wenn man [zum Beispiel] einen Würfel im Raume herumführt, werden Sie wiederum nur einen Raumkörper bekommen. Sie können den [dreidimensionalen] Raum nicht aus sich heraus bewegen.

[ 4 ] Wenn Sie den Körper selbst bewegen, wenn man [zum Beispiel] einen Würfel im Raume herumführt, werden Sie wiederum nur einen Raumkörper bekommen. Sie können den [dreidimensionalen] Raum nicht aus sich heraus bewegen.

[ 5 ] Wir müssen uns noch ein paar anderen Begriffen zuwenden. Wenn Sie eine gerade Linie betrachten, hat sie zwei Grenzen, zwei Endpunkte A und B (Figur 2).

[ 5 ] Wir müssen uns noch ein paar anderen Begriffen zuwenden. Wenn Sie eine gerade Linie betrachten, hat sie zwei Grenzen, zwei Endpunkte A und B (Figur 2).

[ 6 ] Stellen wir uns vor, daß A und B sich berühren sollen. Wenn sie sich berühren sollen, müssen wir aber die Gerade krümmen. Was geschieht? Sie können unmöglich in der [eindimensionalen] Geraden drinnenbleiben, wenn Sie A und B zusammenfallen lassen wollen. Um die Punkte A und B zu verbinden, müssen wir aus der Geraden selbst heraustreten, müssen wir also aus der ersten Dimension heraus und übergehen in die zweite Dimension, die Fläche. Auf diese Weise entsteht aus der Geraden [eine geschlossene Kurve, das heißt im einfachsten Falle] ein Kreis, indem ihre Endpunkte zur Deckung gebracht werden (Figur 3).

[ 6 ] Stellen wir uns vor, daß A und B sich berühren sollen. Wenn sie sich berühren sollen, müssen wir aber die Gerade krümmen. Was geschieht? Sie können unmöglich in der [eindimensionalen] Geraden drinnenbleiben, wenn Sie A und B zusammenfallen lassen wollen. Um die Punkte A und B zu verbinden, müssen wir aus der Geraden selbst heraustreten, müssen wir also aus der ersten Dimension heraus und übergehen in die zweite Dimension, die Fläche. Auf diese Weise entsteht aus der Geraden [eine geschlossene Kurve, das heißt im einfachsten Falle] ein Kreis, indem ihre Endpunkte zur Deckung gebracht werden (Figur 3).

[ 7 ] Es ist also notwendig, aus der ersten Dimension herauszugehen, man kann nicht in ihr drinnenbleiben. Nur so entsteht der Kreis. Sie können dieselbe Operation mit einer [rechteckig begrenzten] Fläche machen. Dies geht aber nur, wenn Sie nicht in den zwei Dimensionen drinnenbleiben. Sie müssen in die dritte Dimension hineingehen und bekommen dann aus der Fläche eine Röhre, einen Zylinder. Diese Operation geschieht auf ganz entsprechende Weise wie vorher, wo wir zwei Punkte zur Deckung brachten und dabei aus der ersten Dimension herausgegangen sind. Wir müssen hier [bei der Fläche], um zwei Grenzen der Fläche zur Deckung zu bringen, in die dritte Dimension hinübergehen (Figur 4).

[ 7 ] Es ist also notwendig, aus der ersten Dimension herauszugehen, man kann nicht in ihr drinnenbleiben. Nur so entsteht der Kreis. Sie können dieselbe Operation mit einer [rechteckig begrenzten] Fläche machen. Dies geht aber nur, wenn Sie nicht in den zwei Dimensionen drinnenbleiben. Sie müssen in die dritte Dimension hineingehen und bekommen dann aus der Fläche eine Röhre, einen Zylinder. Diese Operation geschieht auf ganz entsprechende Weise wie vorher, wo wir zwei Punkte zur Deckung brachten und dabei aus der ersten Dimension herausgegangen sind. Wir müssen hier [bei der Fläche], um zwei Grenzen der Fläche zur Deckung zu bringen, in die dritte Dimension hinübergehen (Figur 4).

[ 8 ] Ist es denkbar, daß mit einem Raumgebilde, das schon selbst drei Dimensionen hat, eine ähnliche Operation ausgeführt werden könnte? Wenn Sie zwei kongruente Würfel haben, können Sie den einen in den anderen schieben. [Denken Sie sich nun zwei kongruente Würfel als Begrenzungen eines dreidimensionalen prismatischen Körpers.] Wenn Sie versuchen, den einen Würfel, der auf einer Seite rot [und auf der gegenüberliegenden Seite blau] gefärbt ist, zur Deckung zu bringen mit dem anderen Würfel, der sonst [geometrisch] ganz gleich ist, aber bei dem die rote und blaue Farbe vertauscht sind, dann können Sie die Deckung nicht anders herbeiführen, als indem Sie den Würfel drehen (Figur 5).

[ 8 ] Ist es denkbar, daß mit einem Raumgebilde, das schon selbst drei Dimensionen hat, eine ähnliche Operation ausgeführt werden könnte? Wenn Sie zwei kongruente Würfel haben, können Sie den einen in den anderen schieben. [Denken Sie sich nun zwei kongruente Würfel als Begrenzungen eines dreidimensionalen prismatischen Körpers.] Wenn Sie versuchen, den einen Würfel, der auf einer Seite rot [und auf der gegenüberliegenden Seite blau] gefärbt ist, zur Deckung zu bringen mit dem anderen Würfel, der sonst [geometrisch] ganz gleich ist, aber bei dem die rote und blaue Farbe vertauscht sind, dann können Sie die Deckung nicht anders herbeiführen, als indem Sie den Würfel drehen (Figur 5).

[ 9 ] Betrachten wir ein anderes Raumgebilde. Nehmen Sie den Handschuh der linken Hand, so ist es Ihnen unmöglich, den Handschuh der linken Hand über die rechte Hand zu ziehen. Wenn Sie aber die beiden [spiegelsymmetrischen] Handschuhe zusammengehend betrachten wie die gerade Linie mit den Endpunkten A und B, so haben Sie etwas Zusammengehöriges. Es handelt sich dann um ein einziges Gebilde, mit einer Grenze [das heißt mit einer Spiegelebene] in der Mitte. Ganz ähnlich ist es auch mit den zwei symmetrischen Hälften der menschlichen Außenhaut.^2Note

[ 9 ] Betrachten wir ein anderes Raumgebilde. Nehmen Sie den Handschuh der linken Hand, so ist es Ihnen unmöglich, den Handschuh der linken Hand über die rechte Hand zu ziehen. Wenn Sie aber die beiden [spiegelsymmetrischen] Handschuhe zusammengehend betrachten wie die gerade Linie mit den Endpunkten A und B, so haben Sie etwas Zusammengehöriges. Es handelt sich dann um ein einziges Gebilde, mit einer Grenze [das heißt mit einer Spiegelebene] in der Mitte. Ganz ähnlich ist es auch mit den zwei symmetrischen Hälften der menschlichen Außenhaut.^2Note

[ 10 ] Wie können wir nun zwei [spiegel]symmetrische dreidimensionale Gebilde zur Deckung bringen? Nur wenn wir über die dritte Dimension hinausgehen, wie früher über die erste und zweite. Wir können den rechten oder linken Handschuh auch über die linke beziehungsweise rechte Hand stülpen, wenn wir durch den vierdimensionalen Raum gehen.^3Note

[ 10 ] Wie können wir nun zwei [spiegel]symmetrische dreidimensionale Gebilde zur Deckung bringen? Nur wenn wir über die dritte Dimension hinausgehen, wie früher über die erste und zweite. Wir können den rechten oder linken Handschuh auch über die linke beziehungsweise rechte Hand stülpen, wenn wir durch den vierdimensionalen Raum gehen.^3Note

[ 11 ] [Beim Aufbau der dritten Dimension (Tiefendimension) des Anschauungsraumes] bringen wir das Bild des rechten Auges zur Deckung mit dem des linken, stülpen es darüber.^4Note

[ 11 ] [Beim Aufbau der dritten Dimension (Tiefendimension) des Anschauungsraumes] bringen wir das Bild des rechten Auges zur Deckung mit dem des linken, stülpen es darüber.^4Note

[ 12 ] Wir betrachten nun ein Beispiel von Zöllner.^5Note Wir haben hier einen Kreis und außerhalb desselben einen Punkt P. Wie können wir den Punkt P [in den Kreis] hineinbringen, ohne den Kreis zu durchkreuzen? Dies geht nicht, wenn wir innerhalb der Ebene bleiben. So wie man aus der zweiten Dimension in die dritte hinübergehen muß beim Übergang vom Quadrat zum Würfel, so müssen wir auch hier aus der zweiten Dimension hinausgehen. Bei einer Kugel gibt es ebenfalls keine Möglichkeit [in das Innere] hineinzugehen, ohne [die Kugeloberfläche zu durchstoßen oder] über die dritte Dimension hinauszugehen.^6Note

[ 12 ] Wir betrachten nun ein Beispiel von Zöllner.^5Note Wir haben hier einen Kreis und außerhalb desselben einen Punkt P. Wie können wir den Punkt P [in den Kreis] hineinbringen, ohne den Kreis zu durchkreuzen? Dies geht nicht, wenn wir innerhalb der Ebene bleiben. So wie man aus der zweiten Dimension in die dritte hinübergehen muß beim Übergang vom Quadrat zum Würfel, so müssen wir auch hier aus der zweiten Dimension hinausgehen. Bei einer Kugel gibt es ebenfalls keine Möglichkeit [in das Innere] hineinzugehen, ohne [die Kugeloberfläche zu durchstoßen oder] über die dritte Dimension hinauszugehen.^6Note

[ 13 ] Das sind Denkmöglichkeiten, die aber eine praktische Bedeutung haben für die Erkenntnislehre, [insbesondere für das Problem der Objektivität des Wahrnehmungsinhaltes]. Wenn wir uns klarmachen, wie man eigentlich wahrnimmt, werden wir zu folgender Anschauung kommen. Fragen wir uns zunächst: Wie erlangen wir durch die Sinne Kenntnisse von den Körpern? Wir sehen eine Farbe. Ohne Augen würden wir sie nicht wahrnehmen. Der Physiker sagt dann: Da draußen im Raum ist nicht das, was man Farbe nennt, sondern rein räumliche Bewegungsformen; die dringen durch unser Auge, werden vom Sehnerv aufgefangen, zum Gehirn fortgesetzt, und dort entsteht zum Beispiel das Rot. Man kann sich nun fragen: Ist das Rot auch vorhanden, wenn keine Empfindung da ist?

[ 13 ] Das sind Denkmöglichkeiten, die aber eine praktische Bedeutung haben für die Erkenntnislehre, [insbesondere für das Problem der Objektivität des Wahrnehmungsinhaltes]. Wenn wir uns klarmachen, wie man eigentlich wahrnimmt, werden wir zu folgender Anschauung kommen. Fragen wir uns zunächst: Wie erlangen wir durch die Sinne Kenntnisse von den Körpern? Wir sehen eine Farbe. Ohne Augen würden wir sie nicht wahrnehmen. Der Physiker sagt dann: Da draußen im Raum ist nicht das, was man Farbe nennt, sondern rein räumliche Bewegungsformen; die dringen durch unser Auge, werden vom Sehnerv aufgefangen, zum Gehirn fortgesetzt, und dort entsteht zum Beispiel das Rot. Man kann sich nun fragen: Ist das Rot auch vorhanden, wenn keine Empfindung da ist?

[ 14 ] Das Rot könnte ohne Auge nicht wahrgenommen werden. Glockenläuten könnte ohne Ohr nicht wahrgenommen werden. Alle unsere Empfindungen hängen davon ab, daß Bewegungsformen umgewandelt werden durch unseren physisch-seelischen Apparat. Die Sache wird aber noch komplizierter, wenn wir uns fragen: Wo ist denn nun eigentlich das Rot, diese eigentümliche Qualität? Ist es am Körper? Ist es ein Schwingungsvorgang? Draußen ist ein Bewegungsvorgang, und der setzt sich fort bis ins Auge hinein, bis ins Gehirn selbst. Überall sind Schwingungs- [und Nerven] vorgänge, nirgends ist Rot. Auch wenn Sie das Auge untersuchen, Sie würden nirgends Rot finden. Draußen ist es nicht, aber auch nicht im Gehirn. Nur dann haben wir Rot, wenn wir uns selbst als Subjekt diesen Bewegungsvorgängen entgegenstellen. Haben wir also überhaupt keine Möglichkeit, davon zu reden, wie das Rot dem Auge, wie Cis dem Ohr entgegenkommt?

[ 14 ] Das Rot könnte ohne Auge nicht wahrgenommen werden. Glockenläuten könnte ohne Ohr nicht wahrgenommen werden. Alle unsere Empfindungen hängen davon ab, daß Bewegungsformen umgewandelt werden durch unseren physisch-seelischen Apparat. Die Sache wird aber noch komplizierter, wenn wir uns fragen: Wo ist denn nun eigentlich das Rot, diese eigentümliche Qualität? Ist es am Körper? Ist es ein Schwingungsvorgang? Draußen ist ein Bewegungsvorgang, und der setzt sich fort bis ins Auge hinein, bis ins Gehirn selbst. Überall sind Schwingungs- [und Nerven] vorgänge, nirgends ist Rot. Auch wenn Sie das Auge untersuchen, Sie würden nirgends Rot finden. Draußen ist es nicht, aber auch nicht im Gehirn. Nur dann haben wir Rot, wenn wir uns selbst als Subjekt diesen Bewegungsvorgängen entgegenstellen. Haben wir also überhaupt keine Möglichkeit, davon zu reden, wie das Rot dem Auge, wie Cis dem Ohr entgegenkommt?

[ 15 ] Die Frage ist, was ist diese innere [Vorstellung], wo entsteht sie? In der philosophischen Literatur des 19. Jahrhunderts werden Sie finden, daß diese Frage alles durchzieht. Vor allem Schopenhauer^7Note hat die folgende Definition aufgestellt: Die Welt ist unsere Vorstellung. - Was bleibt dann aber noch für den äußeren Körper? [So wie eine Farbvorstellung durch Bewegungen «erzeugt» werden kann, so kann auch] Bewegung in unserem Innern entstehen durch etwas, was im Grunde nicht bewegt ist. Betrachten wir dazu zwölf Momentaufnahmen einer [sich bewegenden] Pferdefigur auf [der Innenseite] einer [Zylinder-]Fläche, [die mit zwölf feinen Schlitzen in den Zwischenräumen versehen ist. Wenn wir seitlich auf den sich drehenden Zylinder blicken,] dann werden wir den Eindruck haben, daß es immer dasselbe Pferd bleibt, und daß es nur die Füße bewegt.^8Note Also kann auch [der Eindruck von] Bewegung durch unsere [Leibes-Organisation] entstehen, wenn etwas sich [in Wirklichkeit] überhaupt nicht bewegt. So kommen wir zu einer vollständigen Auflösung von dem, was wir Bewegung nennen.

[ 15 ] Die Frage ist, was ist diese innere [Vorstellung], wo entsteht sie? In der philosophischen Literatur des 19. Jahrhunderts werden Sie finden, daß diese Frage alles durchzieht. Vor allem Schopenhauer^7Note hat die folgende Definition aufgestellt: Die Welt ist unsere Vorstellung. - Was bleibt dann aber noch für den äußeren Körper? [So wie eine Farbvorstellung durch Bewegungen «erzeugt» werden kann, so kann auch] Bewegung in unserem Innern entstehen durch etwas, was im Grunde nicht bewegt ist. Betrachten wir dazu zwölf Momentaufnahmen einer [sich bewegenden] Pferdefigur auf [der Innenseite] einer [Zylinder-]Fläche, [die mit zwölf feinen Schlitzen in den Zwischenräumen versehen ist. Wenn wir seitlich auf den sich drehenden Zylinder blicken,] dann werden wir den Eindruck haben, daß es immer dasselbe Pferd bleibt, und daß es nur die Füße bewegt.^8Note Also kann auch [der Eindruck von] Bewegung durch unsere [Leibes-Organisation] entstehen, wenn etwas sich [in Wirklichkeit] überhaupt nicht bewegt. So kommen wir zu einer vollständigen Auflösung von dem, was wir Bewegung nennen.

[ 16 ] Was ist dann aber Materie? Ziehen Sie von der Materie ab Farbenglanz, Bewegung [Gestalt und so weiter, also das durch die sinnliche Wahrnehmung Vermittelte], dann bleibt nichts übrig. Wenn wir schon die [durch Außenweltvorgänge im individuellen Bewußtsein hervorgerufenen sekundären, das heißt «subjektiven»] Empfindungen [Farbe, Ton, Wärme, Geschmack, Geruch] in unserem Innern zu suchen haben, so müssen wir auch [die primären, das heißt «objektiven» Empfindungen, Gestalt und Bewegung,] in unser Inneres versetzen, und damit verschwindet die Außenwelt vollständig. Daraus ergeben sich aber große Schwierigkeiten [für die Erkenntnislehre].^9Note

[ 16 ] Was ist dann aber Materie? Ziehen Sie von der Materie ab Farbenglanz, Bewegung [Gestalt und so weiter, also das durch die sinnliche Wahrnehmung Vermittelte], dann bleibt nichts übrig. Wenn wir schon die [durch Außenweltvorgänge im individuellen Bewußtsein hervorgerufenen sekundären, das heißt «subjektiven»] Empfindungen [Farbe, Ton, Wärme, Geschmack, Geruch] in unserem Innern zu suchen haben, so müssen wir auch [die primären, das heißt «objektiven» Empfindungen, Gestalt und Bewegung,] in unser Inneres versetzen, und damit verschwindet die Außenwelt vollständig. Daraus ergeben sich aber große Schwierigkeiten [für die Erkenntnislehre].^9Note

[ 17 ] Nehmen wir an, alles wäre draußen, wie kommen dann die Eigenschaften des Gegenstandes draußen in uns hinein? Wo ist nun der Punkt [wo das Äußere in das Innere übergeht]? Wenn wir alle [sinnlichen Wahrnehmungsinhalte] abziehen, so gibt es kein Draußen mehr. Auf diese Weise versetzt sich die Erkenntnistheorie in die Lage von Münchhausen, der sich am eigenen Haarschopf frei in die Höhe ziehen will.^10Note Nur dann aber, wenn wir annehmen, daß es ein Draußen gibt, nur dann können wir zu [einer Erklärung der] Empfindungen drinnen kommen. Wie kann etwas von außen in unser Inneres hereinkommen und als unsere Vorstellung auftreten?

[ 17 ] Nehmen wir an, alles wäre draußen, wie kommen dann die Eigenschaften des Gegenstandes draußen in uns hinein? Wo ist nun der Punkt [wo das Äußere in das Innere übergeht]? Wenn wir alle [sinnlichen Wahrnehmungsinhalte] abziehen, so gibt es kein Draußen mehr. Auf diese Weise versetzt sich die Erkenntnistheorie in die Lage von Münchhausen, der sich am eigenen Haarschopf frei in die Höhe ziehen will.^10Note Nur dann aber, wenn wir annehmen, daß es ein Draußen gibt, nur dann können wir zu [einer Erklärung der] Empfindungen drinnen kommen. Wie kann etwas von außen in unser Inneres hereinkommen und als unsere Vorstellung auftreten?

[ 18 ] Wir müssen die Frage noch anders aufwerfen. Wir betrachten zuerst einige Analogien. Sie werden keine Möglichkeit haben, eine Beziehung [zwischen Außenwelt und Innenempfindung] zu finden, wenn Sie nicht zu folgendem greifen. Wir kehren zurück zur Betrachtung der geraden Linie mit den Endpunkten A und B. Wir müssen über die erste Dimension hinausgehen, die Linie krümmen, um die Endpunkte zur Deckung zu bringen (Figur 7).

[ 18 ] Wir müssen die Frage noch anders aufwerfen. Wir betrachten zuerst einige Analogien. Sie werden keine Möglichkeit haben, eine Beziehung [zwischen Außenwelt und Innenempfindung] zu finden, wenn Sie nicht zu folgendem greifen. Wir kehren zurück zur Betrachtung der geraden Linie mit den Endpunkten A und B. Wir müssen über die erste Dimension hinausgehen, die Linie krümmen, um die Endpunkte zur Deckung zu bringen (Figur 7).

[ 19 ] Denken Sie sich nun den linken Endpunkt A [dieser geraden Linie] mit dem rechten Endpunkt B so zusammengebracht, daß sie sich unten berühren, so daß wir imstande sind, [über die zusammenfallenden Endpunkte hinweg] zum Ausgangspunkt zurückzukehren. Wenn die Linie klein ist, ist auch der entsprechende Kreis klein. Wenn ich die [zunächst gegebene] Linie zum Kreise mache und dann immer größere Linien zu Kreisen mache, dann rückt der Punkt, in welchem sich die Endpunkte treffen, immer weiter von der [ursprünglichen] Linie ab und geht in unendliche Entfernung.

[ 19 ] Denken Sie sich nun den linken Endpunkt A [dieser geraden Linie] mit dem rechten Endpunkt B so zusammengebracht, daß sie sich unten berühren, so daß wir imstande sind, [über die zusammenfallenden Endpunkte hinweg] zum Ausgangspunkt zurückzukehren. Wenn die Linie klein ist, ist auch der entsprechende Kreis klein. Wenn ich die [zunächst gegebene] Linie zum Kreise mache und dann immer größere Linien zu Kreisen mache, dann rückt der Punkt, in welchem sich die Endpunkte treffen, immer weiter von der [ursprünglichen] Linie ab und geht in unendliche Entfernung.

[ 20 ] der [ursprünglichen] Linie ab und geht in unendliche Entfernung. Erst in der unendlichen Entfernung haben [die größer werdenden] Kreislinien ihren Endpunkt. Die Krümmung wird dabei eine immer schwächere, und schließlich werden wir unmöglich mit dem gewöhnlichen Auge die Kreislinie von der Geraden unterscheiden können (Figur 8).

[ 20 ] der [ursprünglichen] Linie ab und geht in unendliche Entfernung. Erst in der unendlichen Entfernung haben [die größer werdenden] Kreislinien ihren Endpunkt. Die Krümmung wird dabei eine immer schwächere, und schließlich werden wir unmöglich mit dem gewöhnlichen Auge die Kreislinie von der Geraden unterscheiden können (Figur 8).

[ 21 ] Ganz entsprechend erscheint uns auch die Erde als ein gerades [flaches] Stück, wenn wir auf ihr gehen, obgleich sie rund ist. Wenn wir uns denken, daß die beiden Hälften der geraden Linie bis in die Unendlichkeit ausgedehnt werden, fällt der Kreis wirklich mit der Geraden zusammen.^11NoteText Dabei kann die gerade Linie als Kreis aufgefaßt werden, dessen Durchmesser unendlich ist. Jetzt können wir uns allerdings vorstellen, daß, wenn wir [die gerade Linie durchlaufen und dabei] in der Linie drinbleiben, wir von der anderen Seite aus der Unendlichkeit [wieder] zurückkommen. Dabei müssen wir aber durch die Unendlichkeit hindurchgehen.

[ 21 ] Ganz entsprechend erscheint uns auch die Erde als ein gerades [flaches] Stück, wenn wir auf ihr gehen, obgleich sie rund ist. Wenn wir uns denken, daß die beiden Hälften der geraden Linie bis in die Unendlichkeit ausgedehnt werden, fällt der Kreis wirklich mit der Geraden zusammen.^11NoteText Dabei kann die gerade Linie als Kreis aufgefaßt werden, dessen Durchmesser unendlich ist. Jetzt können wir uns allerdings vorstellen, daß, wenn wir [die gerade Linie durchlaufen und dabei] in der Linie drinbleiben, wir von der anderen Seite aus der Unendlichkeit [wieder] zurückkommen. Dabei müssen wir aber durch die Unendlichkeit hindurchgehen.

[ 22 ] Denken Sie sich nun statt einer [geometrischen] Linie etwas, was eine Wirklichkeit ist, was sich verbindet mit einer Wirklichkeit. Stellen wir uns vor, daß mit dem Fortschreiten des Punktes C [auf der Kreisperipherie] eine Abkühlung eintritt, daß der Punkt immer kälter und kälter wird, je mehr er sich [von seinem Ausgangsort] entfernt (Figur 9). Lassen wir den Punkt zunächst innerhalb der Kreislinie, und, indem er immer kälter wird, die untere Grenze A, B erreichen. Wenn er auf der anderen Seite zurückkehrt, nimmt die Temperatur wieder zu. Es tritt also auf dem Rückweg der zu dem Hinweg entgegengesetzte Zustand ein. Die Erwärmung nimmt zu, bis die Temperatur bei C wieder erreicht ist, von welcher wir ausgegangen sind. Wie ausgedehnt auch der Kreis sei, es ist immer derselbe Vorgang: ein Abfließen der Wärme und ein Heranfließen derselben. Denken wir uns das auch bei der [unendlich ausgedehnten geraden] Linie: Indem sich die Temperatur [auf der einen Seite immer mehr] verliert, kann sie auf der anderen Seite steigen. Wir haben hier einen Zustand, der sich auf einer Seite verliert, während er sich auf der anderen Seite wieder aufbaut.

[ 22 ] Denken Sie sich nun statt einer [geometrischen] Linie etwas, was eine Wirklichkeit ist, was sich verbindet mit einer Wirklichkeit. Stellen wir uns vor, daß mit dem Fortschreiten des Punktes C [auf der Kreisperipherie] eine Abkühlung eintritt, daß der Punkt immer kälter und kälter wird, je mehr er sich [von seinem Ausgangsort] entfernt (Figur 9). Lassen wir den Punkt zunächst innerhalb der Kreislinie, und, indem er immer kälter wird, die untere Grenze A, B erreichen. Wenn er auf der anderen Seite zurückkehrt, nimmt die Temperatur wieder zu. Es tritt also auf dem Rückweg der zu dem Hinweg entgegengesetzte Zustand ein. Die Erwärmung nimmt zu, bis die Temperatur bei C wieder erreicht ist, von welcher wir ausgegangen sind. Wie ausgedehnt auch der Kreis sei, es ist immer derselbe Vorgang: ein Abfließen der Wärme und ein Heranfließen derselben. Denken wir uns das auch bei der [unendlich ausgedehnten geraden] Linie: Indem sich die Temperatur [auf der einen Seite immer mehr] verliert, kann sie auf der anderen Seite steigen. Wir haben hier einen Zustand, der sich auf einer Seite verliert, während er sich auf der anderen Seite wieder aufbaut.

[ 23 ] So bringen wir Leben und Bewegung hinein in die Welt und nähern uns dem, was wir in einem höheren Sinne «Begreifen der Welt» nennen können. Wir haben hier zwei Zustände, die sich bedingen, die voneinander abhängig sind. Für alles aber, was Sie [sinnlich] beobachten können, hat der Vorgang, der, sagen wir, nach rechts verläuft, nichts zu tun mit dem, der von links zurückkommt, und doch bedingen sie sich gegenseitig.^12NoteText

[ 23 ] So bringen wir Leben und Bewegung hinein in die Welt und nähern uns dem, was wir in einem höheren Sinne «Begreifen der Welt» nennen können. Wir haben hier zwei Zustände, die sich bedingen, die voneinander abhängig sind. Für alles aber, was Sie [sinnlich] beobachten können, hat der Vorgang, der, sagen wir, nach rechts verläuft, nichts zu tun mit dem, der von links zurückkommt, und doch bedingen sie sich gegenseitig.^12NoteText

[ 24 ] Wir vergleichen nun den Körper der Außenwelt mit dem Abkühlungszustand und im Gegensatz dazu unsere Innenempfindung mit dem Erwärmungszustand. [Obwohl Außenwelt und Innenempfindung nichts unmittelbar sinnlich Wahrnehmbares gemeinsam haben,] stehen sie in einem Verhältnis zueinander, bedingen sich gegenseitig [in analoger Weise, wie sich die oben geschilderten Prozesse bedingen]. Daraus ergibt sich ein Zusammenhang der Außenwelt [mit unserer Innenwelt], den wir unterstützen können durch ein Bild: [durch das Verhältnis von] Petschaft und Siegellack. Das Petschaft läßt einen genauen Abdruck, eine genaue Wiedergabe des Siegels im Siegellack zurück, ohne daß das Petschaft im Siegellack zurückbleibt [und ohne daß etwas Materielles vom Petschaft in den Siegellack übergeht]. Im Siegellack bleibt also eine getreue Wiedergabe des Siegels zurück. Ganz entsprechend ist es auch beim Zusammenhang von Außenwelt und Innenempfindungen. Nur das Wesentliche [überträgt sich]. Die eine Zustand[sform] bedingt die andere, wobei aber nichts [Materielles] übergeht.^13NoteText

[ 24 ] Wir vergleichen nun den Körper der Außenwelt mit dem Abkühlungszustand und im Gegensatz dazu unsere Innenempfindung mit dem Erwärmungszustand. [Obwohl Außenwelt und Innenempfindung nichts unmittelbar sinnlich Wahrnehmbares gemeinsam haben,] stehen sie in einem Verhältnis zueinander, bedingen sich gegenseitig [in analoger Weise, wie sich die oben geschilderten Prozesse bedingen]. Daraus ergibt sich ein Zusammenhang der Außenwelt [mit unserer Innenwelt], den wir unterstützen können durch ein Bild: [durch das Verhältnis von] Petschaft und Siegellack. Das Petschaft läßt einen genauen Abdruck, eine genaue Wiedergabe des Siegels im Siegellack zurück, ohne daß das Petschaft im Siegellack zurückbleibt [und ohne daß etwas Materielles vom Petschaft in den Siegellack übergeht]. Im Siegellack bleibt also eine getreue Wiedergabe des Siegels zurück. Ganz entsprechend ist es auch beim Zusammenhang von Außenwelt und Innenempfindungen. Nur das Wesentliche [überträgt sich]. Die eine Zustand[sform] bedingt die andere, wobei aber nichts [Materielles] übergeht.^13NoteText

[ 25 ] Wenn wir uns vorstellen, daß es sich so verhält mit [dem Zusammenhang zwischen der] Außenwelt und unseren Eindrücken, kommen wir zu folgendem. [Geometrische] Spiegelbilder im Raume verhalten sich so wie Handschuhe von der linken und der rechten Hand. [Um diese unmittelbar und kontinuierlich miteinander in Beziehung zu setzen,] müssen wir eine neue Dimension des Raumes zu Hilfe nehmen. [Nun verhalten sich Außenwelt und Inneneindruck analog wie geometrische Spiegelbilder, können folglich ebenso nur durch eine weitere Dimension unmittelbar miteinander in Verbindung gebracht werden.] Um nun eine Beziehung herzustellen zwischen Außenwelt und Inneneindrücken, müssen wir also durch eine vierte Dimension gehen, müssen wir in einem dritten Element sein. Nur dort können wir das Gemeinschaftliche [von Außenwelt und Inneneindrücken] suchen, wo wir [mit ihnen] eins sind. [Man kann sich diese Spiegelbilder wie] schwimmend in einem Meere [vorstellen], innerhalb welchem wir die Spiegelbilder zur Deckung bringen können. Und so kommen wir [zunächst rein gedanklich] zu etwas, was über den dreidimensionalen Raum hinweggeht und doch eine Wirklichkeit hat. Wir müssen also unsere Raumvorstellungen ins Leben bringen, sie beleben.

[ 25 ] Wenn wir uns vorstellen, daß es sich so verhält mit [dem Zusammenhang zwischen der] Außenwelt und unseren Eindrücken, kommen wir zu folgendem. [Geometrische] Spiegelbilder im Raume verhalten sich so wie Handschuhe von der linken und der rechten Hand. [Um diese unmittelbar und kontinuierlich miteinander in Beziehung zu setzen,] müssen wir eine neue Dimension des Raumes zu Hilfe nehmen. [Nun verhalten sich Außenwelt und Inneneindruck analog wie geometrische Spiegelbilder, können folglich ebenso nur durch eine weitere Dimension unmittelbar miteinander in Verbindung gebracht werden.] Um nun eine Beziehung herzustellen zwischen Außenwelt und Inneneindrücken, müssen wir also durch eine vierte Dimension gehen, müssen wir in einem dritten Element sein. Nur dort können wir das Gemeinschaftliche [von Außenwelt und Inneneindrücken] suchen, wo wir [mit ihnen] eins sind. [Man kann sich diese Spiegelbilder wie] schwimmend in einem Meere [vorstellen], innerhalb welchem wir die Spiegelbilder zur Deckung bringen können. Und so kommen wir [zunächst rein gedanklich] zu etwas, was über den dreidimensionalen Raum hinweggeht und doch eine Wirklichkeit hat. Wir müssen also unsere Raumvorstellungen ins Leben bringen, sie beleben.

[ 26 ] Oskar Simony^14NoteText hat versucht, diese belebten Raumgebilde mit Modellen darzustellen. [Wie wir gesehen haben, kommt man] von der Betrachtung des Nulldimensionalen [schrittweise] zur Möglichkeit, sich den vierdimensionalen Raum vorzustellen. [Anhand der Betrachtung spiegelsymmetrischer Körper, das heißt mit Hilfe der] Symmetrieverhältnisse, können wir diesen Raum zuerst [am leichtesten] erkennen. [Ein anderes Mittel, die Besonderheiten des empirischen dreidimensionalen Raumes im Verhältnis zum vierdimensionalen Raum zu studieren, bieten die Verknotungen von Kurven und Bändern.] Was versteht man unter Symmetrieverhältnissen? Dadurch, daß wir Raumgebilde miteinander verschlingen, rufen wir bestimmte Komplikationen herbei. [Diese Komplikationen sind Besonderheiten des dreidimensionalen Raumes; sie kommen in vierdimensionalen Räumen nicht vor.^15NoteText

[ 26 ] Oskar Simony^14NoteText hat versucht, diese belebten Raumgebilde mit Modellen darzustellen. [Wie wir gesehen haben, kommt man] von der Betrachtung des Nulldimensionalen [schrittweise] zur Möglichkeit, sich den vierdimensionalen Raum vorzustellen. [Anhand der Betrachtung spiegelsymmetrischer Körper, das heißt mit Hilfe der] Symmetrieverhältnisse, können wir diesen Raum zuerst [am leichtesten] erkennen. [Ein anderes Mittel, die Besonderheiten des empirischen dreidimensionalen Raumes im Verhältnis zum vierdimensionalen Raum zu studieren, bieten die Verknotungen von Kurven und Bändern.] Was versteht man unter Symmetrieverhältnissen? Dadurch, daß wir Raumgebilde miteinander verschlingen, rufen wir bestimmte Komplikationen herbei. [Diese Komplikationen sind Besonderheiten des dreidimensionalen Raumes; sie kommen in vierdimensionalen Räumen nicht vor.^15NoteText

[ 27 ] Lassen Sie uns ein paar praktische Denkübungen machen. Wenn wir einen Bandring in der Mitte durchschneiden, erhalten wir zwei solche Ringe. Zerschneiden wir nun entsprechend ein Band, dessen Enden um 180° verdreht und dann verklebt worden sind, so erhalten wir einen einzigen verdrehten Ring, der nicht zerfällt. Verdrehen wir die Band-Enden um 360° vor dem Zusammenkleben, so ergeben sich beim Zerschneiden zwei ineinander verschlungene Ringe. Verdrehen wir schließlich die Band-Enden um 720°, so ergibt sich durch denselben Prozeß ein Knoten.^16NoteText

[ 27 ] Lassen Sie uns ein paar praktische Denkübungen machen. Wenn wir einen Bandring in der Mitte durchschneiden, erhalten wir zwei solche Ringe. Zerschneiden wir nun entsprechend ein Band, dessen Enden um 180° verdreht und dann verklebt worden sind, so erhalten wir einen einzigen verdrehten Ring, der nicht zerfällt. Verdrehen wir die Band-Enden um 360° vor dem Zusammenkleben, so ergeben sich beim Zerschneiden zwei ineinander verschlungene Ringe. Verdrehen wir schließlich die Band-Enden um 720°, so ergibt sich durch denselben Prozeß ein Knoten.^16NoteText

[ 28 ] Wer nachdenkt über Naturvorgänge, weiß, daß solche Windungen in der Natur vorkommen; [in der Wirklichkeit sind] solche verschlungenen Raumgebilde mit Kräften versehen. Nehmen Sie etwa die Bewegung der Erde um die Sonne, und dann die Bewegung des Mondes um die Erde. Man sagt, der Mond beschreibe um die Erde einen Kreis, doch [wenn man genauer hinsieht] ist es eine Linie, die wieder [um einen Kreis, den Bahnkreis der Erde,] herumgeschlungen ist, also eine Schraubenlinie um eine Kreislinie. Und dann haben wir die Sonne, die so schnell durch den Weltenraum eilt, daß der Mond noch um sie eine [zusätzliche] Schraubenbewegung macht. Es sind also sehr komplizierte Kräftelinien, die sich im Raume erstrecken. Wir müssen uns vergegenwärtigen, daß wir es mit komplizierten Raumbegriffen zu tun haben, die wir nur dann begreifen, wenn wir sie nicht starr werden lassen, wenn wir sie flüssig haben.

[ 28 ] Wer nachdenkt über Naturvorgänge, weiß, daß solche Windungen in der Natur vorkommen; [in der Wirklichkeit sind] solche verschlungenen Raumgebilde mit Kräften versehen. Nehmen Sie etwa die Bewegung der Erde um die Sonne, und dann die Bewegung des Mondes um die Erde. Man sagt, der Mond beschreibe um die Erde einen Kreis, doch [wenn man genauer hinsieht] ist es eine Linie, die wieder [um einen Kreis, den Bahnkreis der Erde,] herumgeschlungen ist, also eine Schraubenlinie um eine Kreislinie. Und dann haben wir die Sonne, die so schnell durch den Weltenraum eilt, daß der Mond noch um sie eine [zusätzliche] Schraubenbewegung macht. Es sind also sehr komplizierte Kräftelinien, die sich im Raume erstrecken. Wir müssen uns vergegenwärtigen, daß wir es mit komplizierten Raumbegriffen zu tun haben, die wir nur dann begreifen, wenn wir sie nicht starr werden lassen, wenn wir sie flüssig haben.

[ 29 ] Vergegenwärtigen wir uns das Gesagte noch einmal: Das Nulldimensionale ist der Punkt, das Eindimensionale ist die Linie, das Zweidimensionale die Fläche und das Dreidimensionale der Körper. Wie verhalten sich diese Raumbegriffe zueinander?

[ 29 ] Vergegenwärtigen wir uns das Gesagte noch einmal: Das Nulldimensionale ist der Punkt, das Eindimensionale ist die Linie, das Zweidimensionale die Fläche und das Dreidimensionale der Körper. Wie verhalten sich diese Raumbegriffe zueinander?

[ 30 ] Denken Sie sich, Sie wären ein Wesen, welches überhaupt nur längs einer geraden Linie sich bewegen kann. Wie müßten die Raumvorstellungen von solchen Wesen geartet sein, die selber nur eindimensional sind? Sie würden die Eindimensionalität bei sich nicht wahrnehmen, sondern nur Punkte sich vorstellen. Denn es gibt in der geraden Linie, wenn wir in ihr etwas zeichnen wollen, nur Punkte, Ein zweidimensionales Wesen könnte Linien antreffen, also eindimensionale Wesen unterscheiden. Ein dreidimensionales Wesen, etwa der Würfel, würde die zweidimensionalen Wesen wahrnehmen. Der Mensch nun kann drei Dimensionen wahrnehmen. Wenn wir richtig folgern, müssen wir uns sagen: Wie ein eindimensionales Wesen nur Punkte wahrnehmen kann, wie ein zweidimensionales Wesen nur eine Dimension, und ein dreidimensionales Wesen nur zwei Dimensionen wahrnehmen kann, so kann ein Wesen, das drei Dimensionen wahrnimmt, nur ein vierdimensionales Wesen sein. Dadurch, daß ein Mensch äußere Wesen nach drei Dimensionen abgrenzen kann, mit Räumen aus drei Dimensionen [umgehen kann], muß er vierdimensional sein. Und ebenso wie ein Würfel nur zwei Dimensionen wahrnehmen kann und nicht seine dritte, so ist es wahr, daß der Mensch die vierte Dimension, in der er lebt, nicht wahrnehmen kann.

[ 30 ] Denken Sie sich, Sie wären ein Wesen, welches überhaupt nur längs einer geraden Linie sich bewegen kann. Wie müßten die Raumvorstellungen von solchen Wesen geartet sein, die selber nur eindimensional sind? Sie würden die Eindimensionalität bei sich nicht wahrnehmen, sondern nur Punkte sich vorstellen. Denn es gibt in der geraden Linie, wenn wir in ihr etwas zeichnen wollen, nur Punkte, Ein zweidimensionales Wesen könnte Linien antreffen, also eindimensionale Wesen unterscheiden. Ein dreidimensionales Wesen, etwa der Würfel, würde die zweidimensionalen Wesen wahrnehmen. Der Mensch nun kann drei Dimensionen wahrnehmen. Wenn wir richtig folgern, müssen wir uns sagen: Wie ein eindimensionales Wesen nur Punkte wahrnehmen kann, wie ein zweidimensionales Wesen nur eine Dimension, und ein dreidimensionales Wesen nur zwei Dimensionen wahrnehmen kann, so kann ein Wesen, das drei Dimensionen wahrnimmt, nur ein vierdimensionales Wesen sein. Dadurch, daß ein Mensch äußere Wesen nach drei Dimensionen abgrenzen kann, mit Räumen aus drei Dimensionen [umgehen kann], muß er vierdimensional sein. Und ebenso wie ein Würfel nur zwei Dimensionen wahrnehmen kann und nicht seine dritte, so ist es wahr, daß der Mensch die vierte Dimension, in der er lebt, nicht wahrnehmen kann.