The Rudolf Steiner Archive

Der Vierdimensionale Raum

Der Vierdimensionale Raum

[ 1 ] Unser gewöhnlicher Raum hat drei Dimensionen: Länge, Breite und Höhe. Eine Linie ist in einer Dimension ausgedehnt, sie hat nur Länge. Die Tafel ist eine Fläche, hat also zwei Dimensionen: Länge und Breite. Ein Körper dehnt sich nach drei Dimensionen aus. Wie entsteht nun ein Körper aus drei Dimensionen?

[ 1 ] Unser gewöhnlicher Raum hat drei Dimensionen: Länge, Breite und Höhe. Eine Linie ist in einer Dimension ausgedehnt, sie hat nur Länge. Die Tafel ist eine Fläche, hat also zwei Dimensionen: Länge und Breite. Ein Körper dehnt sich nach drei Dimensionen aus. Wie entsteht nun ein Körper aus drei Dimensionen?

[ 2 ] Stellen Sie sich ein Gebilde vor, das gar keine Dimensionalität hat, das ist der Punkt. Er hat null Dimensionen. Wenn ein Punkt sich bewegt und eine Richtung einhält, so entsteht eine gerade Linie, ein eindimensionales Gebilde. Wenn Sie sich die Linie weiterbewegt denken, so entsteht eine Fläche mit Länge und Breite. Wenn Sie schließlich die Fläche sich bewegt denken, so beschreibt sie ein dreidimensionales Gebilde. Auf diesselbe Weise können wir aber nicht mehr aus dem dreidimensionalen Körper [durch Bewegung] ein vierdimensionales Gebilde, eine vierte Dimension erzeugen. Wir müssen versuchen, uns bildlich vorzustellen, wie wir zum Begriff einer vierten Dimension kommen können. [Gewisse] Mathematiker [und Naturwissenschaftler] haben sich versucht gefühlt, die geistige Welt mit unserer sinnlichen Welt in Einklang zu bringen [, indem sie die geistige Welt in einen vierdimensionalen Raum hineinversetzten], so zum Beispiel Zöllner.”

[ 2 ] Stellen Sie sich ein Gebilde vor, das gar keine Dimensionalität hat, das ist der Punkt. Er hat null Dimensionen. Wenn ein Punkt sich bewegt und eine Richtung einhält, so entsteht eine gerade Linie, ein eindimensionales Gebilde. Wenn Sie sich die Linie weiterbewegt denken, so entsteht eine Fläche mit Länge und Breite. Wenn Sie schließlich die Fläche sich bewegt denken, so beschreibt sie ein dreidimensionales Gebilde. Auf diesselbe Weise können wir aber nicht mehr aus dem dreidimensionalen Körper [durch Bewegung] ein vierdimensionales Gebilde, eine vierte Dimension erzeugen. Wir müssen versuchen, uns bildlich vorzustellen, wie wir zum Begriff einer vierten Dimension kommen können. [Gewisse] Mathematiker [und Naturwissenschaftler] haben sich versucht gefühlt, die geistige Welt mit unserer sinnlichen Welt in Einklang zu bringen [, indem sie die geistige Welt in einen vierdimensionalen Raum hineinversetzten], so zum Beispiel Zöllner.”

[ 3 ] Denken Sie sich einen Kreis. Er ist nach allen Seiten hin in der Ebene geschlossen. Wenn jemand verlangt, daß eine Münze von außerhalb des Kreises in den Kreis hineinkommen soll, müssen wir die Kreislinie überschreiten (Figur 46). Falls Sie aber die Kreislinie nicht berühren wollen, so müssen Sie die Münze [in den Raum] heben und dann hineinlegen. Sie müssen dabei notwendigerweise aus der zweiten in die dritte Dimension gehen. Falls wir eine Münze in einen Würfel [oder in eine Kugel] hineinzaubern wollten, so müßten wir [aus der dritten Dimension heraus und] durch die vierte Dimension hindurchgehen.’

[ 3 ] Denken Sie sich einen Kreis. Er ist nach allen Seiten hin in der Ebene geschlossen. Wenn jemand verlangt, daß eine Münze von außerhalb des Kreises in den Kreis hineinkommen soll, müssen wir die Kreislinie überschreiten (Figur 46). Falls Sie aber die Kreislinie nicht berühren wollen, so müssen Sie die Münze [in den Raum] heben und dann hineinlegen. Sie müssen dabei notwendigerweise aus der zweiten in die dritte Dimension gehen. Falls wir eine Münze in einen Würfel [oder in eine Kugel] hineinzaubern wollten, so müßten wir [aus der dritten Dimension heraus und] durch die vierte Dimension hindurchgehen.’

[ 4 ] Als ich in diesem Leben zu erfassen anfıng, was der Raum eigentlich ist, war es, als ich anfing, neuere [synthetische projektive] Geometrie zu studieren. Da begriff ich, was es für eine Bedeutung hat, wenn man von einem Kreise in eine Linie übergeht (Figur 47). Im intimsten Denken der Seele eröffnet sich die Welt.”

[ 4 ] Als ich in diesem Leben zu erfassen anfıng, was der Raum eigentlich ist, war es, als ich anfing, neuere [synthetische projektive] Geometrie zu studieren. Da begriff ich, was es für eine Bedeutung hat, wenn man von einem Kreise in eine Linie übergeht (Figur 47). Im intimsten Denken der Seele eröffnet sich die Welt.”

[ 5 ] Denken wir uns nun einen Kreis. Wenn wir die Kreislinie verfolgen, können wir auf ihr herum gehen und zu dem ursprünglichen Punkte zurückkehren. Denken wir uns nun den Kreis immer größer und größer werdend [wobei wir eine Tangentenlinie festhalten]. Dabei muß er zuletzt in eine gerade Linie übergehen, da er sich immer mehr verflacht. [Wenn ich die sich vergrößernden Kreise durchlaufe, so gehe ich immer auf der einen Seite] hinunter [und komme dann auf der anderen Seite wieder] herauf und zurück zum Ausgangspunkt. [Bewege ich mich schließlich auf der geraden Linie etwa nach rechts bis ins Unendliche, so] muß ich von der anderen [linken] Seite von der Unendlichkeit wieder zurückkehren, da die gerade Linie sich [bezüglich der Anordnung ihrer Punkte] wie ein Kreis verhält. Daraus sehen wir, daß der Raum keinen Abschluß hat [im selben Sinne, wie die gerade Linie keinen Abschluß hat, das heißt, die Anordnung ihrer Punkte ist dieselbe wie bei einem in sich geschlossenen Kreis. Entsprechend muß man sich den unendlich ausgedehnten Raum als in sich geschlossen denken, so wie die Oberfläche einer Kugel in sich geschlossen ist]. Damit haben Sie den unendlichen Raum dargestellt [im Sinne] eines Kreises, [oder] einer Kugel. Dieser Begriff führt uns dazu, den Raum vorzustellen in seiner Wirklichkeit.

[ 5 ] Denken wir uns nun einen Kreis. Wenn wir die Kreislinie verfolgen, können wir auf ihr herum gehen und zu dem ursprünglichen Punkte zurückkehren. Denken wir uns nun den Kreis immer größer und größer werdend [wobei wir eine Tangentenlinie festhalten]. Dabei muß er zuletzt in eine gerade Linie übergehen, da er sich immer mehr verflacht. [Wenn ich die sich vergrößernden Kreise durchlaufe, so gehe ich immer auf der einen Seite] hinunter [und komme dann auf der anderen Seite wieder] herauf und zurück zum Ausgangspunkt. [Bewege ich mich schließlich auf der geraden Linie etwa nach rechts bis ins Unendliche, so] muß ich von der anderen [linken] Seite von der Unendlichkeit wieder zurückkehren, da die gerade Linie sich [bezüglich der Anordnung ihrer Punkte] wie ein Kreis verhält. Daraus sehen wir, daß der Raum keinen Abschluß hat [im selben Sinne, wie die gerade Linie keinen Abschluß hat, das heißt, die Anordnung ihrer Punkte ist dieselbe wie bei einem in sich geschlossenen Kreis. Entsprechend muß man sich den unendlich ausgedehnten Raum als in sich geschlossen denken, so wie die Oberfläche einer Kugel in sich geschlossen ist]. Damit haben Sie den unendlichen Raum dargestellt [im Sinne] eines Kreises, [oder] einer Kugel. Dieser Begriff führt uns dazu, den Raum vorzustellen in seiner Wirklichkeit.

[ 6 ] Wenn ich mir nun vorstelle, daß ich nicht einfach wesenlos [ins Unendliche] fortgehe, um dann [unverändert von der anderen Seite] zurückzukehren, sondern mir denke, ich habe hier ein ausstrahlendes Licht, so wird dieses [von einem ruhenden Punkt auf der Linie aus gesehen] immer schwächer, indem ich [mit dem Licht] fortgehe, und immer stärker, wenn ich [aus dem Unendlichen mit dem Licht wieder] zurückkehre. Und denken wir, daß dieses Licht nicht nur positiv wirkt, sondern, indem es hier sich [wieder] nähert von der anderen Seite, desto stärker leuchtet, so haben Sie [hier die Qualitäten] positiv und negativ.

[ 6 ] Wenn ich mir nun vorstelle, daß ich nicht einfach wesenlos [ins Unendliche] fortgehe, um dann [unverändert von der anderen Seite] zurückzukehren, sondern mir denke, ich habe hier ein ausstrahlendes Licht, so wird dieses [von einem ruhenden Punkt auf der Linie aus gesehen] immer schwächer, indem ich [mit dem Licht] fortgehe, und immer stärker, wenn ich [aus dem Unendlichen mit dem Licht wieder] zurückkehre. Und denken wir, daß dieses Licht nicht nur positiv wirkt, sondern, indem es hier sich [wieder] nähert von der anderen Seite, desto stärker leuchtet, so haben Sie [hier die Qualitäten] positiv und negativ.

[ 7 ] Bei allen Naturwirkungen finden Sie diese zwei Pole, die nichts anderes darstellen, als die entgegengesetzten Wirkungen des Raumes. Daraus bekommen Sie den Begriff, daß der Raum etwas Kraftvolles ist, und daß die Kräfte, die darin wirken, nichts anderes sind als der Ausfluß der Kraft selbst. Dann werden wir nicht zweifeln können, daß sich innerhalb unseres dreidimensionalen Raumes eine Kraft finden könnte, die von innen wirkt. Sie werden sich klar werden, daß alles, was im Raume auftritt, auf wirklichen Verhältnissen im Raume beruht.

[ 7 ] Bei allen Naturwirkungen finden Sie diese zwei Pole, die nichts anderes darstellen, als die entgegengesetzten Wirkungen des Raumes. Daraus bekommen Sie den Begriff, daß der Raum etwas Kraftvolles ist, und daß die Kräfte, die darin wirken, nichts anderes sind als der Ausfluß der Kraft selbst. Dann werden wir nicht zweifeln können, daß sich innerhalb unseres dreidimensionalen Raumes eine Kraft finden könnte, die von innen wirkt. Sie werden sich klar werden, daß alles, was im Raume auftritt, auf wirklichen Verhältnissen im Raume beruht.

[ 8 ] Denken wir zwei Dimensionen miteinander verschlungen, dann hätten wir diese zwei in Beziehung gebracht. Wenn Sie zwei [geschlossene] Ringe miteinander verschlingen wollen, müssen Sie den einen aufdröseln, um den anderen hineinzubringen. Ich werde mir nun aber die innere Mannigfaltigkeit des Raumes bezeugen, indem ich dieses Gebilde [ein rechteckiges Papierband] zweimal um sich selbst verschlinge [das heißt, das eine Ende festhalte und das andere Ende um 360° verdrehe und dann die beiden Enden zusammenhalte]. Ich hefte das Papierband fest mit Stecknadeln zusammen und zerschneide es in der Mitte. Jetzt hängt das eine Band ganz fest in dem anderen drinnen. Vorher war es nur ein Band. Ich habe also hier durch bloße Bandverschlingungen innerhalb der drei Dimensionen dasselbe erzeugt, was ich sonst [nur] durch Hinausgehen in die [vierte] Dimension erreichen kann.“

[ 8 ] Denken wir zwei Dimensionen miteinander verschlungen, dann hätten wir diese zwei in Beziehung gebracht. Wenn Sie zwei [geschlossene] Ringe miteinander verschlingen wollen, müssen Sie den einen aufdröseln, um den anderen hineinzubringen. Ich werde mir nun aber die innere Mannigfaltigkeit des Raumes bezeugen, indem ich dieses Gebilde [ein rechteckiges Papierband] zweimal um sich selbst verschlinge [das heißt, das eine Ende festhalte und das andere Ende um 360° verdrehe und dann die beiden Enden zusammenhalte]. Ich hefte das Papierband fest mit Stecknadeln zusammen und zerschneide es in der Mitte. Jetzt hängt das eine Band ganz fest in dem anderen drinnen. Vorher war es nur ein Band. Ich habe also hier durch bloße Bandverschlingungen innerhalb der drei Dimensionen dasselbe erzeugt, was ich sonst [nur] durch Hinausgehen in die [vierte] Dimension erreichen kann.“

[ 9 ] So etwas ist keine Spielerei, sondern Wirklichkeit. Wenn wir hier die Sonne haben, und hier die Erdbahn um die Sonne, und hier die Mondbahn um die Erde (Figur 48), so müssen wir uns vorstellen, daß sich die Erde um die Sonne bewegt und deshalb die Mondbahn und die Erdbahn genauso verschlungen sind [wie unsere zwei Papierbänder]. Nun hat sich der Mond [im Laufe der Erdenentwicklung] von der Erde abgezweigt. Das ist eine innere Abzweigung, die auf dieselbe Art vor sich gegangen ist [wie die Verschlingung unserer zwei Papierbänder zustande gekommen ist]. [Durch eine solche Betrachtungsweise] wird der Raum in sich lebendig.

[ 9 ] So etwas ist keine Spielerei, sondern Wirklichkeit. Wenn wir hier die Sonne haben, und hier die Erdbahn um die Sonne, und hier die Mondbahn um die Erde (Figur 48), so müssen wir uns vorstellen, daß sich die Erde um die Sonne bewegt und deshalb die Mondbahn und die Erdbahn genauso verschlungen sind [wie unsere zwei Papierbänder]. Nun hat sich der Mond [im Laufe der Erdenentwicklung] von der Erde abgezweigt. Das ist eine innere Abzweigung, die auf dieselbe Art vor sich gegangen ist [wie die Verschlingung unserer zwei Papierbänder zustande gekommen ist]. [Durch eine solche Betrachtungsweise] wird der Raum in sich lebendig.

[ 10 ] Betrachten Sie nun ein Quadrat. Denken Sie es sich so [durch den Raum] bewegt, daß es einen Würfel bildet. Dann muß es in sich selbst vorwärtsschreiten.

[ 10 ] Betrachten Sie nun ein Quadrat. Denken Sie es sich so [durch den Raum] bewegt, daß es einen Würfel bildet. Dann muß es in sich selbst vorwärtsschreiten.

[ 11 ] Ein Würfel ist aus sechs Quadraten zusammengesetzt, sie bilden zusammen die Oberfläche des Würfels. Um den Würfel [in übersichtlicher Weise] zusammenzufügen, lege ich die sechs Quadrate zunächst nebeneinander [in eine Ebene] (Figur 49). Ich kriege den Würfel wieder, wenn ich diese Quadrate aufstülpe. Das sechste muß ich dann oben drauf legen, indem ich durch die dritte Dimension hindurchgehe. Dadurch habe ich nun den Würfel auseinandergelegt in zwei Dimensionen. Ich habe verwandelt ein dreidimensionales Gebilde durch Auseinanderlegen in ein zweidimensionales.

[ 11 ] Ein Würfel ist aus sechs Quadraten zusammengesetzt, sie bilden zusammen die Oberfläche des Würfels. Um den Würfel [in übersichtlicher Weise] zusammenzufügen, lege ich die sechs Quadrate zunächst nebeneinander [in eine Ebene] (Figur 49). Ich kriege den Würfel wieder, wenn ich diese Quadrate aufstülpe. Das sechste muß ich dann oben drauf legen, indem ich durch die dritte Dimension hindurchgehe. Dadurch habe ich nun den Würfel auseinandergelegt in zwei Dimensionen. Ich habe verwandelt ein dreidimensionales Gebilde durch Auseinanderlegen in ein zweidimensionales.

[ 12 ] Denken Sie sich nun, daß die Grenzen eines Würfels Quadrate sind. Habe ich hier einen dreidimensionalen Würfel, so ist er begrenzt von zweidimensionalen Quadraten. Nehmen wir einmal bloß ein einziges Quadrat. Es ist zweidimensional und wird begrenzt von vier eindimensionalen Linien. Ich kann die vier Linien in eine einzige Dimension ausbreiten (Figur 50). Was in der einen Dimension erscheint, werde ich nun rot [ausgezogene Linie] malen und die andere Dimension blau [punktierte Linie] streichen. Jetzt kann ich, statt Länge und Breite zu sagen, von der roten und der blauen Dimension sprechen.

[ 12 ] Denken Sie sich nun, daß die Grenzen eines Würfels Quadrate sind. Habe ich hier einen dreidimensionalen Würfel, so ist er begrenzt von zweidimensionalen Quadraten. Nehmen wir einmal bloß ein einziges Quadrat. Es ist zweidimensional und wird begrenzt von vier eindimensionalen Linien. Ich kann die vier Linien in eine einzige Dimension ausbreiten (Figur 50). Was in der einen Dimension erscheint, werde ich nun rot [ausgezogene Linie] malen und die andere Dimension blau [punktierte Linie] streichen. Jetzt kann ich, statt Länge und Breite zu sagen, von der roten und der blauen Dimension sprechen.

[ 13 ] Aus sechs Quadraten kann ich den Würfel wieder zusammensetzen. Ich gehe also jetzt über von der Zahl vier [der Anzahl der Seitenlinien des Quadrates] zur Zahl sechs [der Anzahl der Seitenflächen des Würfels]. Gehe ich noch einen Schritt weiter, so komme ich von der Zahl sechs [der Anzahl der Seitenflächen des Würfels] zur Zahl acht [der Anzahl «Seitenwürfel» eines vierdimensionalen Gebildes]. Ich ordne nun die acht Würfel so an, daß dadurch im dreidimensionalen Raume das entsprechende Gebilde entsteht zu dem früher [aus sechs Quadraten aufgebauten Gebilde] in der zweidimensionalen Fläche (Figur 51).

[ 13 ] Aus sechs Quadraten kann ich den Würfel wieder zusammensetzen. Ich gehe also jetzt über von der Zahl vier [der Anzahl der Seitenlinien des Quadrates] zur Zahl sechs [der Anzahl der Seitenflächen des Würfels]. Gehe ich noch einen Schritt weiter, so komme ich von der Zahl sechs [der Anzahl der Seitenflächen des Würfels] zur Zahl acht [der Anzahl «Seitenwürfel» eines vierdimensionalen Gebildes]. Ich ordne nun die acht Würfel so an, daß dadurch im dreidimensionalen Raume das entsprechende Gebilde entsteht zu dem früher [aus sechs Quadraten aufgebauten Gebilde] in der zweidimensionalen Fläche (Figur 51).

[ 14 ] Denken Sie sich, ich würde imstande sein, dieses Gebilde so umzustülpen, daß ich es richtig aufdrehe und so zusammenfüge, daß ich mit dem achten Würfel das ganze Gebilde zudecke, dann kriege ich aus den acht Würfeln ein vierdimensionales Gebilde in einem vierdimensionalen Raum. Dieses Gebilde heißt [nach Hinton] das Tessarakt. Es hat als sein Grenzgebilde acht Würfel, ganz entsprechend wie der gewöhnliche Würfel als sein Grenzgebilde sechs Quadrate hat. Das [vierdimensionale] Tessarakt ist also von [acht] dreidimensionalen Würfeln begrenzt.

[ 14 ] Denken Sie sich, ich würde imstande sein, dieses Gebilde so umzustülpen, daß ich es richtig aufdrehe und so zusammenfüge, daß ich mit dem achten Würfel das ganze Gebilde zudecke, dann kriege ich aus den acht Würfeln ein vierdimensionales Gebilde in einem vierdimensionalen Raum. Dieses Gebilde heißt [nach Hinton] das Tessarakt. Es hat als sein Grenzgebilde acht Würfel, ganz entsprechend wie der gewöhnliche Würfel als sein Grenzgebilde sechs Quadrate hat. Das [vierdimensionale] Tessarakt ist also von [acht] dreidimensionalen Würfeln begrenzt.

[ 15 ] Denken Sie sich ein Wesen, das nur in zwei Dimensionen sehen kann, und dieses Wesen würde nun die auseinandergelegten Quadrate anschauen, es würde nur die Quadrate 1, 2, 3, 4 und 6 sehen, nie aber das schraffierte Quadrat 5 in der Mitte (Figur 52). Ganz entsprechend geht es Ihnen mit dem vierdimensionalen Gebilde. [Da Sie nur dreidimensionale Objekte sehen können, so] können Sie den verborgenen Würfel in der Mitte nicht sehen.

[ 15 ] Denken Sie sich ein Wesen, das nur in zwei Dimensionen sehen kann, und dieses Wesen würde nun die auseinandergelegten Quadrate anschauen, es würde nur die Quadrate 1, 2, 3, 4 und 6 sehen, nie aber das schraffierte Quadrat 5 in der Mitte (Figur 52). Ganz entsprechend geht es Ihnen mit dem vierdimensionalen Gebilde. [Da Sie nur dreidimensionale Objekte sehen können, so] können Sie den verborgenen Würfel in der Mitte nicht sehen.

[ 16 ] Denken Sie sich nun den Würfel so auf die Tafel gezeichnet [so daß als Umriß ein regelmäßiges Sechseck entsteht]. Das andere ist hinten verborgen. Dies ist eine Art Schattenbild, eine Projektion des Würfels in den zweidimensionalen Raum (Figur 53). Dieses zweidimensionale Schattenbild eines dreidimensionalen Würfels besteht aus Rhomben, aus schiefen Vierecken [Parallelogramme]. Denken Sie sich den Würfel aus Draht hergestellt, so würden Sie auch die hinteren Rhomben-Vierecke sehen können. Sie haben hier also in der Projektion sechs ineinandergeschobene RhombenVierecke. Auf diese Weise können Sie den ganzen Würfel hineinwerfen in den zweidimensionalen Raum.

[ 16 ] Denken Sie sich nun den Würfel so auf die Tafel gezeichnet [so daß als Umriß ein regelmäßiges Sechseck entsteht]. Das andere ist hinten verborgen. Dies ist eine Art Schattenbild, eine Projektion des Würfels in den zweidimensionalen Raum (Figur 53). Dieses zweidimensionale Schattenbild eines dreidimensionalen Würfels besteht aus Rhomben, aus schiefen Vierecken [Parallelogramme]. Denken Sie sich den Würfel aus Draht hergestellt, so würden Sie auch die hinteren Rhomben-Vierecke sehen können. Sie haben hier also in der Projektion sechs ineinandergeschobene RhombenVierecke. Auf diese Weise können Sie den ganzen Würfel hineinwerfen in den zweidimensionalen Raum.

[ 17 ] Denken Sie sich nun unser Tessarakt gebildet im vierdimensionalen Raum. Wenn Sie dieses Gebilde in den dreidimensionalen Raum hineinwerfen, so müssen Sie vier [sich gegenseitig nicht durchdringende rhombisch] verschobene schiefe Würfel [Parallelepipede] kriegen. Einer dieser rhombisch verschobenen Würfel müßte so gezeichnet werden (Figur 54).

[ 17 ] Denken Sie sich nun unser Tessarakt gebildet im vierdimensionalen Raum. Wenn Sie dieses Gebilde in den dreidimensionalen Raum hineinwerfen, so müssen Sie vier [sich gegenseitig nicht durchdringende rhombisch] verschobene schiefe Würfel [Parallelepipede] kriegen. Einer dieser rhombisch verschobenen Würfel müßte so gezeichnet werden (Figur 54).

[ 18 ] Acht solche verschobenen Rhomben-Würfel müßten [aber] ineinandergesteckt werden, damit man im dreidimensionalen Raum [ein vollständiges] dreidimensionales Bild des vierdimensionalen Tessaraktes erhält. Damit können wir also das [vollständige] dreidimensionale Schattenbild eines solchen Tessaraktes darstellen mit Hilfe von acht [geeignet] ineinander geschobenen Rhomben-Würfeln. [Als Raumgebilde ergibt sich dabei ein Rhombendodekaeder mit vier Raumdiagonalen (Figur 55). So wie bei der RhombenDarstellung des Würfels je drei unmittelbar benachtbarte Rhomben gegenseitig verschoben ineinander zu liegen kommen, man also von den sechs Würfelflächen nur drei in der Projektion sieht, so erscheinen auch bei der Rhombendodekaeder-Darstellung des Tessaraktes nur vier sich nicht gegenseitig durchdringende Rhomben-Würfel als Projektionen der acht Grenz-Würfel, da je vier der unmittelbar benachbarten Rhomben-Würfel die übrigen vier vollkommen überdecken.‘]

[ 18 ] Acht solche verschobenen Rhomben-Würfel müßten [aber] ineinandergesteckt werden, damit man im dreidimensionalen Raum [ein vollständiges] dreidimensionales Bild des vierdimensionalen Tessaraktes erhält. Damit können wir also das [vollständige] dreidimensionale Schattenbild eines solchen Tessaraktes darstellen mit Hilfe von acht [geeignet] ineinander geschobenen Rhomben-Würfeln. [Als Raumgebilde ergibt sich dabei ein Rhombendodekaeder mit vier Raumdiagonalen (Figur 55). So wie bei der RhombenDarstellung des Würfels je drei unmittelbar benachtbarte Rhomben gegenseitig verschoben ineinander zu liegen kommen, man also von den sechs Würfelflächen nur drei in der Projektion sieht, so erscheinen auch bei der Rhombendodekaeder-Darstellung des Tessaraktes nur vier sich nicht gegenseitig durchdringende Rhomben-Würfel als Projektionen der acht Grenz-Würfel, da je vier der unmittelbar benachbarten Rhomben-Würfel die übrigen vier vollkommen überdecken.‘]

[ 19 ] Den dreidimensionalen Schatten eines vierdimensionalen Körpers können wir also konstruieren, wenn auch nicht das Tessarakt selbst. Im selben Sinne sind wir der Schatten von vierdimensionalen Wesen. So muß der Mensch, wenn er vom Physischen zum Astralen steigt, sein Vorstellungsvermögen ausbilden. Denken wir uns ein zweidimensionales Wesen, das sich [intensiv und wiederholt] bemüht, ein solches [dreidimensionales] Schattenbild recht lebhaft vorzustellen. Wenn es sich dann dem Traum überläßt, so quellen dann (...).

[ 19 ] Den dreidimensionalen Schatten eines vierdimensionalen Körpers können wir also konstruieren, wenn auch nicht das Tessarakt selbst. Im selben Sinne sind wir der Schatten von vierdimensionalen Wesen. So muß der Mensch, wenn er vom Physischen zum Astralen steigt, sein Vorstellungsvermögen ausbilden. Denken wir uns ein zweidimensionales Wesen, das sich [intensiv und wiederholt] bemüht, ein solches [dreidimensionales] Schattenbild recht lebhaft vorzustellen. Wenn es sich dann dem Traum überläßt, so quellen dann (...).

[ 20 ] Wenn Sie sich aufbauen im Geiste das Verhältnis der dritten zur vierten Dimension, so arbeiten in Ihnen die Kräfte, die Sie in den [wirklichen, nicht den mathematischen] vierdimensionalen Raum hineinschauen lassen.

[ 20 ] Wenn Sie sich aufbauen im Geiste das Verhältnis der dritten zur vierten Dimension, so arbeiten in Ihnen die Kräfte, die Sie in den [wirklichen, nicht den mathematischen] vierdimensionalen Raum hineinschauen lassen.

[ 21 ] Wir werden immer ohnmächtig sein in der höheren Welt, wenn wir uns nicht hier [in der Welt des gewöhnlichen Bewußtseins] die Fähigkeiten [des Sehens in der höheren Welt] erwerben werden. So wie der Mensch im Mutterleib die Augen zum Sehen in der physisch-sinnlichen Welt ausbildet, so muß der Mensch im Mutterleib der Erde [übersinnliche] Organe ausbilden, dann wird er in der höheren Welt [als Sehender] geboren. Die Ausbildung der Augen im Mutterleib ist ein [erhellendes] Beispiel [für diesen Prozeß].

[ 21 ] Wir werden immer ohnmächtig sein in der höheren Welt, wenn wir uns nicht hier [in der Welt des gewöhnlichen Bewußtseins] die Fähigkeiten [des Sehens in der höheren Welt] erwerben werden. So wie der Mensch im Mutterleib die Augen zum Sehen in der physisch-sinnlichen Welt ausbildet, so muß der Mensch im Mutterleib der Erde [übersinnliche] Organe ausbilden, dann wird er in der höheren Welt [als Sehender] geboren. Die Ausbildung der Augen im Mutterleib ist ein [erhellendes] Beispiel [für diesen Prozeß].

[ 22 ] Der Würfel müßte aus den Dimensionen Länge, Breite und Höhe aufgebaut werden. Das Tessarakt müßte ich aufbauen aus den Dimensionen Länge, Breite, Höhe und einer vierten Dimension.

[ 22 ] Der Würfel müßte aus den Dimensionen Länge, Breite und Höhe aufgebaut werden. Das Tessarakt müßte ich aufbauen aus den Dimensionen Länge, Breite, Höhe und einer vierten Dimension.

[ 23 ] Indem die Pflanze wächst, durchbricht sie den dreidimensionalen Raum. Jedes Wesen, das in der Zeit lebt, durchbricht die drei [gewöhnlichen] Dimensionen. Die Zeit ist die vierte Dimension. Sie steckt unsichtbar in den drei Dimensionen des gewöhnlichen Raumes darinnen. Sie können sie aber nur durch hellseherische Kraft wahrnehmen.

[ 23 ] Indem die Pflanze wächst, durchbricht sie den dreidimensionalen Raum. Jedes Wesen, das in der Zeit lebt, durchbricht die drei [gewöhnlichen] Dimensionen. Die Zeit ist die vierte Dimension. Sie steckt unsichtbar in den drei Dimensionen des gewöhnlichen Raumes darinnen. Sie können sie aber nur durch hellseherische Kraft wahrnehmen.

[ 24 ] Ein bewegter Punkt erzeugt eine Linie; bewegt sich eine Linie, so entsteht eine Fläche; und bewegt sich ein Fläche, so ensteht der dreidimensionale Körper. Lassen wir nun den dreidimensionalen Raum sich bewegen, so haben wir Wachstum [und Entwicklung]. Sie haben dadurch den vierdimensionalen Raum, die Zeit [hineinprojiziert in den dreidimensionalen Raum als Bewegung, Wachstum, Entwicklung].

[ 24 ] Ein bewegter Punkt erzeugt eine Linie; bewegt sich eine Linie, so entsteht eine Fläche; und bewegt sich ein Fläche, so ensteht der dreidimensionale Körper. Lassen wir nun den dreidimensionalen Raum sich bewegen, so haben wir Wachstum [und Entwicklung]. Sie haben dadurch den vierdimensionalen Raum, die Zeit [hineinprojiziert in den dreidimensionalen Raum als Bewegung, Wachstum, Entwicklung].

[ 25 ] [Die geometrische Betrachtung zum Aufbau der drei gewöhnlichen Dimensionen] finden Sie fortgesetzt im wirklichen Leben. Die Zeit steht senkrecht auf den drei Dimensionen, sie ist die vierte, sie wächst. Wenn Sie die Zeit in sich lebendig machen, entsteht die Empfindung. Vermehren Sie die Zeit in sich, bewegen Sie sie in sich selbst, so haben Sie das empfindende Tierwesen, das in Wahrheit fünf Dimensionen hat. Das Menschenwesen hat in Wahrheit sechs Dimensionen.

[ 25 ] [Die geometrische Betrachtung zum Aufbau der drei gewöhnlichen Dimensionen] finden Sie fortgesetzt im wirklichen Leben. Die Zeit steht senkrecht auf den drei Dimensionen, sie ist die vierte, sie wächst. Wenn Sie die Zeit in sich lebendig machen, entsteht die Empfindung. Vermehren Sie die Zeit in sich, bewegen Sie sie in sich selbst, so haben Sie das empfindende Tierwesen, das in Wahrheit fünf Dimensionen hat. Das Menschenwesen hat in Wahrheit sechs Dimensionen.

[ 26 ] Wir haben vier Dimensionen im Ätherbereich [Astralplan], fünf Dimensionen im Astralbereich [unteres Devachan] und sechs Dimensionen im [oberen] Devachan.

[ 26 ] Wir haben vier Dimensionen im Ätherbereich [Astralplan], fünf Dimensionen im Astralbereich [unteres Devachan] und sechs Dimensionen im [oberen] Devachan.

[ 27 ] So quellen Ihnen die [geistigen] Mannigfaltigkeiten auf. Das Devachan als Schatten in den Astralraum geworfen, gibt uns den Astralkörper, der Astralraum als Schatten in den Ätherraum geworfen, gibt uns den Ätherkörper, und so weiter.

[ 27 ] So quellen Ihnen die [geistigen] Mannigfaltigkeiten auf. Das Devachan als Schatten in den Astralraum geworfen, gibt uns den Astralkörper, der Astralraum als Schatten in den Ätherraum geworfen, gibt uns den Ätherkörper, und so weiter.

[ 28 ] Die Zeit geht nach einer Seite, das ist das Absterben der Natur, und nach der anderen ist es das Wiederaufleben. Die zwei Punkte, wo sie ineinander übergehen, das sind Geburt und Tod.

[ 28 ] Die Zeit geht nach einer Seite, das ist das Absterben der Natur, und nach der anderen ist es das Wiederaufleben. Die zwei Punkte, wo sie ineinander übergehen, das sind Geburt und Tod.

[ 29 ] Die Zukunft kommt uns fortwährend entgegen. Wenn das Leben bloß nach einer Richtung ginge, würde nie etwas Neues entstehen. Der Mensch hat auch Genie — das ist seine Zukunft, seine Intuitionen, die ihm entgegenströmen. Die verarbeitete Vergangenheit ist [der von der anderen Seite herkommende Strom; sie bestimmt] das Wesen [, wie es bisher geworden ist].

[ 29 ] Die Zukunft kommt uns fortwährend entgegen. Wenn das Leben bloß nach einer Richtung ginge, würde nie etwas Neues entstehen. Der Mensch hat auch Genie — das ist seine Zukunft, seine Intuitionen, die ihm entgegenströmen. Die verarbeitete Vergangenheit ist [der von der anderen Seite herkommende Strom; sie bestimmt] das Wesen [, wie es bisher geworden ist].