Compare GA 295-14 — Rudolf Steiner Archive

The Art of Education
GA 295

5 September 1919, Stuttgart

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Erziehungskunst: Seminarbesprechungen und Lehrplanvorträge

Vierzehnte Seminarbesprechung

Paul Baumann entwickelt die Prinzipien des musikalischen Unterrichts [im ersten und zweiten Schuljahr]. Ziel des ersten Jahres: Singen einfacher, möglichst von den Kindern noch nicht gekannter Melodien in einfacher rhythmischer Ausgestaltung. Melodien auf Vokalen aufgebaut. Singen einfacher Kanons (einstimmig). Kenntnis einfacher Konsonanzen und Dissonanzen, möglichst wenig mit Dissonanzen arbeiten. Singen und am Instrument hören lassen. Tonleiter (vorerst nur Dur-Tonleiter), Töne noch nicht benennen. Einfacher Rhythmus. Ziel des zweiten Schuljahres: Singen einfacher Lieder, Volkslieder, zweistimmiges Singen einfacher Kanons, zwei- und dreistimmig. Tonleiter, Durtonleiter (Moll erst später), Tonbezeichnungen zunächst italienisch, dann später auch deutsch. In der zweiten Hälfte des Jahres das Kind mit Soloinstrumenten (Streich-, Blasinstrumenten, Okarina, Flöten) beginnen lassen.

[ 1 ] Rudolf Steiner: Man sollte nicht versäumen, das Objektive, vom Menschen Abgesonderte, das Instrument, auch hören zu lassen. Immer muß darauf gesehen werden, daß das Kind ziemlich lange vor dem neunten Jahre, in der zweiten Hälfte des zweiten Schuljahres, an das Soloinstrument herankommt, so daß das Klavier sich später anschließen würde für diejenigen, die dafür in Betracht kommen. Das ist ja das Wesentliche, daß wir auf diesem Gebiete richtig anfangen.

Karl Stockmeyer gibt eine Fortsetzung der Zinsrechnung mit Übergang zur Buchstabenrechnung und bemerkt, dass vorher Bruchrechnen, Rechnen mit Dezimalzahlen, Regel de tri sowie die Hauptsache des Schlussverfahrens durchgenommen sein muss. Zu beginnen mit der Zinsrechnung ist vor dem 12. Jahr.

Wenn $E$ = Endkapital, $A$ = Anfangskapital, $Z$ = Zins, $P$ = Prozentsatz, $T$ = Zeit ist so ist $E = A + Z$. Da ferner $Z = \frac{A \cdot P \cdot T}{100}$ so wird $E = A + \frac{A \cdot P \cdot T}{100}$

[ 2 ] Rudolf Steiner: In dieser Form kann man ja heute nie ein Kapital anlegen. Diese Form hat nur dann einen Realitätswert, wenn $7$ gleich oder kleiner als ein Jahr ist. Denn in der Realität sind zwei Fälle gegeben: entweder man hebt die Zinsen jährlich ab, dann verbleibt immer das gleiche Anfangskapital, oder man läßt die Zinsen beim Kapital, dann braucht man die Zinseszinsrechnung. Läßt man $T$ weg, das heißt, rechnet man für ein Jahr, dann ist es real. Es ist notwendig, den Kindern die Realität zu geben.

Karl Stockmeyer bespricht weiter die Diskontorechnung, wie sie voraussetzt, dass ein geliehenes Kapital zu einem früheren Zeitpunkt zurückbezahlt wird, als Verpflichtung dazu besteht, und wie die Entschädigung, die dafür beansprucht werden kann, sich berechnet aus dem Zinsenertrag des Kapitals während einer Zeitspanne, die so groß ist wie die, um welche die Zahlung früher erfolgt ist. Es folgt ferner die Besprechung der Rabattrechnung, welche ja eine Prozentrechnung ohne Berücksichtigung der Zeit ist, und dann die Erläuterung des Begriffs des Wechsels (Übungen mit Beispielen aus der Praxis werden empfohlen).

[ 3 ] Es wird gut sein, stramm darauf hinzuarbeiten, daß der Übergang in die Buchstabenrechnung auch wirklich gemacht wird. Zunächst wird man den Übergang entwickeln von der Addition in die Multiplikation, dann von der Subtraktion in die Division.

[ 4 ] Rudolf Steiner erläutert dann den Übergang vom Zahlenrechnen zum Buchstabenrechnen an nachfolgendem Beispiel. Man schreibt zunächst eine Summe von Zahlen hin, in welcher die Addenden alle ungleich sind:

$$20 = 7 + 5 + 6 + 2$$

[ 5 ] Es können auch einzelne Addenden gleich sein:

$$25=5+5+9+6$$

[ 6 ] Und es können alle Addenden gleich sein:

$$18=6+6+6$$

[ 7 ] Geht man nun in der gestern bereits geschilderten Weise dazu über, die Zahlen durch Buchstaben zu ersetzen, so habe ich einmal die Summe $S_1 = a + a + a,$ das sind drei $a$, dreimal $a=3 \cdot a$; dann, $S_2 = a + a + a + a + a,$ fünfmal $a=5 \cdot a$; dann $S_3 = a + a + a + a + a +a,$ siebenmal $a =7 \cdot a$ und so weiter.

[ 8 ] Ich mache das immerzu, kann es neunmal, einundzwanzigmal, fünfundzwanzigmal machen. Ich mache es $m$-mal: S$S_m = a + a + a + a + a...$ $m$-mal -( = m \cdot a.\)

[ 9 ] So bekomme ich aus der Unbestimmtheit der Anzahl der Addenden den einen Faktor, während der Addend selbst der andere Faktor ist. Auf diese Weise läßt sich leicht aus der Addition die Multiplikation entwickeln und begreifen. So macht man den Übergang von bestimmten Zahlen zu algebraischen Größen, zu $ a \cdot a = a^2, a \cdot a \cdot a = a^3.$

[ 10 ] Ebenso kann man aus der Subtraktion die Division ableiten. Wenn wir $b$ wegnehmen von einer sehr großen Zahl a, dann bekommen wir den Rest $r_1.$

$$r_1 = a - b$$

[ 11 ] Nehmen wir nochmals 5 weg, so erhalten wir den Rest

$$r_2 = a - b - b = a - 2b$$

[ 12 ] Ein drittes Mal 5 weggenommen, ergibt $r_3 = a - b - b - b = a -3b$ und so weiter. Wir können dies so lange machen, bis von der Zahl $a$ kein Rest mehr übrig bleibt, können es $n$- mal machen:

$$r_n = a - b - b - b - b ... n = a - nb$$$$r_n = a - b - b - b - b ... n = a - nb$$

[ 13 ] Wenn dann kein Rest mehr bleibt, das heißt, der letzte Rest gleich $0$ ist, so ist

$$0 = a - nb.$$$$0 = a - nb.$$

[ 14 ] Dann ist a ganz aufgeteilt, weil ja kein Rest bleibt, $a = nb$. Ich habe $n$-mal das $b$ weggenommen, habe das $a$ in lauter $b$ aufgeteilt, $\frac{a}{b} = n,$ da ist eben das a ganz aufgezehrt. Ich habe gefunden, daß ich das $n$-mal machen kann und bin damit übergegangen von der Subtraktion zur Division.

[ 15 ] Man kann somit sagen: Es ist die Multiplikation ein besonderer Fall der Addition, die Division ein besonderer Fall der Subtraktion, nur daß man eben nicht nur einmal, sondern wiederholt hinzufügt, beziehungsweise wegnimmt.

Es kommt die Rede auf negative und imaginäre Zahlen.

[ 16 ] Rudolf Steiner: Eine negative Zahl ist ein Subtrahend, zu dem kein Minuend mehr da ist; eine Aufforderung zu einer Operation, zu der kein Stoff mehr da ist, die nicht ausgeführt werden kann. - Eugen Dühring wies die imaginären Zahlen als Unsinn zurück und sagte von der Gaußschen Definition des Imaginären, sie sei eine Eselei, keine Realität, ein ausspintisiertes Zeug.

[ 17 ] Also man entwickelt immer das Multiplizieren aus der Addition, und dann das Potenzieren aus der Multiplikation. Und weiter das Dividieren aus der Subtraktion, das Radizieren aus der Division.

addieren multiplizieren potenzieren	subtrahieren dividieren radizieren
Divisionsdefinition als Schluss behandeln

addieren multiplizieren potenzieren	subtrahieren dividieren radizieren
Divisionsdefinition als Schluss behandeln

[ 18 ] Erst nach Beginn der Buchstabenrechnung, vom elften bis zwölften Jahre ab, geht man zum Potenzieren und Radizieren über, weil beim Radizieren das Potenzieren eines algebraischen Polynoms eine Rolle spielt.

[ 19 ] In diesem Zusammenhang ist weiter durchzunehmen: Brutto-, Netto-, Tara-, Emballagerechnung.

Es wird eine Frage gestellt, die Benützung von Formeln betreffend.

[ 20 ] Rudolf Steiner: Nun handelt es sich aber darum, ob Sie lieber sehr häufig die Formel nicht benützen, sondern immer wieder den Gedankengang machen wollen — wobei Sie ja allerdings Sprachkultur treiben können, das ist ja richtig -, oder aber, ob Sie nicht doch zur Formel übergehen wollen. Wenn Sie es taktvoll machen, daß die Formel gut verstanden wird, ist das auch recht nützlich, um bis zu einem gewissen Grade Sprachkultur daran zu üben.

[ 21 ] Aber von einem gewissen Zeitpunkt an ist es auch gut, die Formel zu etwas Gefühltem beim Kinde zu machen. Die Formel zu etwas zu machen, was inneres Leben hat, so daß zum Beispiel wenn bei

$$Z = \frac{K \cdot P \cdot T}{100}$$

[ 22 ] das $T$ größer wird, das Kind ein Gefühl von dem Anwachsen des Ganzen dabei bekommt.

[ 23 ] Damit würde also gesagt worden sein, was ich an dieser Stelle sagen wollte, daß man die konkreten Zahlen benützen sollte bei einer solchen Gelegenheit wie bei der Zins- und Prozentrechnung, um den Übergang zur Buchstabenrechnung zu finden, und um daran Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren, Radizieren zu entwickeln. Das sind ja Dinge, die durchaus mit den Kindern schon gemacht werden müssen.

[ 24 ] Nun möchte ich die Frage aufwerfen: Halten Sie es für gut, das Potenzieren und das Wurzelziehen, das Radizieren, schon zu behandeln, bevor Sie Buchstabenrechnung gemacht haben, oder würden Sie es nachher machen?

Karl Stockmeyer: Potenzieren vorher, Radizieren nachher.

[ 25 ] Rudolf Steiner: Also Sie gehen doch aus und sollten auch in Zukunft davon ausgehen, daß Sie möglichst bald, vom elften, zwölften Jahre ab, mit der Buchstabenrechnung beginnen und dann erst zum Potenzieren, Radizieren übergehen. Denn nach der Buchstabenrechnung läßt sich auf sehr einfache und ökonomische Weise quadrieren, kubieren, potenzieren und wurzelziehen mit den Kindern, während man vorher furchtbar viel Zeit darauf verwendet. Sie werden leicht und ökonomisch unterrichten, wenn Sie zuerst die Buchstabenrechnung mit den Kindern besprochen haben.

Hertha Koegel gibt eine [geschichtliche] Ausarbeitung für Schüler der letzten Klasse über Städtegründung und -entwicklung und spricht für die Zeit der Magyareneinfälle von «Deutschland».

[ 26 ] Rudolf Steiner: Ich würde da doch recht achtgeben, daß nicht unbewußt verwurstelte Vorstellungen entstehen. Es gab natürlich damals, zur Zeit Heinrichs, des sogenannten Städtebauers, kein Deutschland. Man muß sich etwa so ausdrücken: Städte am Rhein oder an der Donau, an den Orten, die später deutsch geworden sind.

Hertha Koegel fährt fort mit ihrer Darstellung und spricht weiter von den Einfällen der Magyaren.

[ 27 ] Nicht wahr, vor dem 10. Jahrhundert hat man es ja auch nicht mit Magyaren zu tun; vorher hat man es bei solchen Einfällen mit Hunnen, Avaren zu tun. Vom 10. Jahrhundert an kann man dann schon sagen «Deutschland».

[ 28 ] Sehen Sie, ich würde da zum Beispiel - das ist ja eine Aufgabe, die man vornimmt bei den Schülern der letzten Volksschulklassen — den Kindern einen Begriff der Chronologie beizubringen versuchen. Wenn man so sagt «9., 10. Jahrhundert», da wird die Vorstellung zu wenig konkret. Wie würden Sie das machen, daß eine konkrete Vorstellung von der Zeit bei den Kindern ersteht?

[ 29 ] Sehen Sie, da könnten Sie dem Kinde klarmachen: «Wenn du jetzt so alt bist, wie alt sind deine Mutter, dein Vater? Dann, wie alt sind Großvater und Großmutter?» — Da bringen Sie die ganze Generationenfolge heraus und können dem Kinde klarmachen, daß eine solche von drei Generationen etwa hundert Jahre ausmacht. Also in hundert Jahren wären es drei Generationen. Vor hundert Jahren waren also die Urgroßeltern Kinder. Vor neun Jahrhunderten waren es nicht drei, sondern $9 \cdot 3 = 27$ Generationen. — «Nimm einmal an», sagt man zum Kinde, «du hältst die Hand deines Vaters, der hält die Hand deines Großvaters, der die Hand deines Urgroßvaters und so fort. Wenn sie nun so nebeneinander stünden, der wievielte Mann wäre Heinrich I., der wievielte Mann würde dann den Magyaren etwa um das Jahr 926 gegenüberstehen? Der siebenundzwanzigste Mensch würde das sein.» - Das würde ich dann recht anschaulich darstellen. Nachdem ich so die Kinder konkret zu der Vorstellung gebracht habe, wie lange das her ist, dann würde ich ihnen schildern die Magyarenzüge. Würde ihnen klarmachen, wie die Magyaren damals Mitteleuropa überfielen. Wie die Magyaren hereinbrachen mit einer Wildheit, so daß alles flüchten mußte bis auf die kleinen Kinder in den Wiegen, die man auf die Gipfel der Berge tragen mußte. Wie dann die hereinbrechenden Magyaren Dörfer und Wälder verbrannten. Recht anschaulich würde ich den Magyarensturm schildern.

Hertha. Koegel schildert weiter, wie Heinrich aus der Erkenntnis heraus, daß er in dem befestigten Goslar den Magyaren habe widerstehen können, den Entschluß zur Grün dung befestigter Städte gefaßt habe, und daß es auf diese Weise zu zahlreichen Städtegründungen gekommen sei.

[ 30 ] Rudolf Steiner: Könnten Sie diese Darstellung nicht noch einmal kulturhistorisch bringen? Denn das ist etwas monarchisch auffrisierte Geschichtslegende, daß Heinrich diese Städte gegründet habe. Alle diese Städte des 10. Jahrhunderts waren ja in ihrer Grundanlage, in den Märkten, schon da. Sie wurden nur in ihrem Ausbau dadurch gefördert, daß Leute, die in der Nachbarschaft dieser Städte wohnten, sich anschlossen, um eine leichtere Verteidigungsmöglichkeit zu gewinnen gegen die anstürmenden Magyaren, und so diese Orte stärkten. Es waren mehr wirtschaftliche Gründe, die da wirkten und die zur Städtebildung führten. Heinrich hat nicht gar viel dazu getan.

Hertha Koegel fährt fort zu schildern: Übersiedlung eines Teils des Adels in die Städte. Städtebildung, Entwicklung und Ausbau der Städte mit zunehmendem Reichtum. Pflege und Aufschwung von Kunst, Architektur.

[ 31 ] Ich würde Sie nur bitten, recht anschaulich das alles zu bringen, recht lebendig zu verfahren, damit die Kinder innerlich anschauliche Bilder bekommen, so daß die Kinder förmlich alles greifen können. Sie müssen die Phantasie in Anspruch nehmen und solche Dinge benützen, wie ich sie Ihnen gezeigt habe bei dem Konkretmachen der Zeit. Man hat tatsächlich nichts davon, zu wissen, in welchem Jahre zum Beispiel die Schlacht bei Zama gewesen ist und so weiter, aber wenn man sich vorstellt, wenn man weiß, daß Karl der Große zum dreißigsten Vorfahren hinaufreicht, wenn man sich durch die Generationen hindurch die Hände reichen würde, dann erhält man dadurch eine anschauliche, konkrete Vorstellung von der Zeit. Da rückt diese Zeit viel näher — ja freilich, sie rückt viel näher! -, wenn man weiß, daß Karl der Große bis zum dreißigsten Vorfahren hinauf zu finden ist.

Karl Stockmeyer: Wäre es nicht gut, bei solchen Kulturbeschreibungen auch auf das ganz andere Denken und Fühlen der Menschen in diesen Perioden hinzuweisen?

[ 32 ] Rudolf Steiner: Ja, darauf habe ich ja immer in meinen Vorträgen und auch sonst hingewiesen. Vor allem auch, daß Sie namentlich den großen Umschwung um das 15. Jahrhundert, das ganz andere Empfinden, Fühlen und Denken der Menschen vor und nach dieser Zeit recht anschaulich machen. Zum Beispiel auch schon Lamprecht, den ich aber damit nicht besonders empfehlen will, ist bemüht, ein ganz anderes Denken, Empfinden und Fühlen der Menschen vor dieser Zeitperiode zu konstatieren. -— Die Dokumente sind daraufhin noch gar nicht benützt worden.

[ 33 ] Wenn Sie sich ein bißchen hineinfinden wollen in die kulturgeschichtliche Betrachtung, so müssen Sie vor allem entwickeln können einen gewissen Spürsinn, und wenn Sie diesen haben für Weiteres und Engeres, was die Autoren erzählen, für Spießigeres und etwas Weitherzigeres, dann können Sie richtigere Vorstellungen gewinnen für Kulturgeschichtliches.

[ 34 ] Rudolf Steiner empfiehlt auf eine Anfrage hin zur Anschaffung für die Lehrerbibliothek:

Buckle, Geschichte der Zivilisation in England.
Lecky, Geschichte der Aufklärung in Europa.

[ 35 ] An diesen kann man die Methode schulen für die kulturgeschichtlichen Betrachtungen. Von Lamprecht kämen in Frage die älteren Teile, aber es ist vieles schief und subjektiv.

[ 36 ] Wenn Sie sich diesen Instinkt für die wirklichen treibenden kulturgeschichtlichen Kräfte nicht angeeignet haben, dann werden Sie Gefahr laufen, mit wahrhaft Wildenbruchscher Blödigkeit, mit Wildenbruchscher Dilettantenhaftigkeit zum Beispiel die Kaiser- und Königsdramen und solche Familienkatzbalgereien wie zwischen Ludwig dem Frommen und seinen Söhnen für wesentliche kulturgeschichtliche Ereignisse zu halten.

Auf eine Erwähnung der Schriften Gustav Freytags sagt Rudolf Steiner:

[ 37 ] Gustav Freytags «Bilder aus der deutschen Vergangenheit» sind ganz gut, aber man darf sich nicht zu sehr beschmieren lassen von dieser Gemütlichkeit einer für Tanten geschriebenen Geschichtsbetrachtung. Wir müssen gerade heute herauskommen aus dem Denk- und Empfindungsstil, der so bei diesen Leuten der Grenzbotenliteratur der Mitte des 19. Jahrhunderts da war, bei Gustav Freytag, Julian Schmidt und so weiter. Lassalle nannte ihn «Schmulian Jüd»; bei Lassalle klang das nicht antisemitisch.

Auf die Erwähnung von Houston Stewart Chamberlains «Grundlagen des 19. Jahrhunderts» sagt Rudolf Steiner:

[ 38 ] Rudolf Steiner: Auch bei Chamberlain muß man erst recht einen guten Instinkt entwickeln, denn ein Viertel bei ihm ist geistreich, und drei Viertel ist wüstes, ungesundes Zeug. Es steht sehr viel sehr Gutes bei ihm, aber man muß alles selber übersehen und selber ein Urteil entwickeln. Die kulturgeschichtlichen Schilderungen sind besser bei Buckle und Lecky. Chamberlain ist mehr so ein Smokingträger. Er ist doch ein etwas eitler Herr, der nicht gerade als Autorität zu gelten hat, der aber doch manches richtig bemerkt hat. Es ist ja auch sein Ende kein schönes gewesen, ich meine den Prozeß mit der «Frankfurter Zeitung».

Es werden Kautskys Schriften erwähnt.

[ 39 ] Rudolf Steiner: Ja, wenn man in der Regel das Gegenteil von dem annimmt, das er da zeigt. Man bekommt von modernen Sozialisten ein gutes und interessantes Taatsachenmaterial, wenn man sich nicht betäuben läßt von den Theorien, die ihre Schilderungen durchziehen.

[ 40 ] Ein eigentümliches Bild bietet auch Mehring, wie er erst in seinem Buch, in seiner Geschichte der Sozialdemokratie, auf die Sozialdemokraten schimpft, so lange er Freisinniger war; dann nachher, als er zu den Sozialdemokraten übergetreten war, ändert er das nur um auf die Freisinnigen.

Rudolf Meyer gibt eine etwas umfangreiche Einführung in die Grundbegriffe der mathematischen Geografie [für Schüler im dreizehnten Lebensjahr], Beobachtungen am Sonnenaufgang und an der Sonnenbahn.

[ 41 ] Rudolf Steiner: Sie können, wenn Sie die Kinder hinausbestellt haben, das später sehr gut in die Zeichnung verwandeln lassen und darauf sehen, daß ein gewisser Parallelismus besteht zwischen der Zeichnung und dem, was die Kinder draußen angesehen haben. Es ist nur ratsam, nicht zuviel auf einmal von diesem Linienhaften zu geben. Es ist sehr wichtig, daß man diese Dinge den Kindern beibringt, aber wenn man zuviel zusammenfaßt, dann bringt man es so weit, daß die Kinder es nicht mehr auffassen. Man kann es einfügen in Geographie und Geometrie. Der ungefähre Abschluß solcher Ausführungen würde sein, daß man den Begriff der Ekliptik und der Koordinaten entwickelt.

Elfriede Herrmann führt das gleiche Thema, Sonnenaufgang und Sonnenuntergang, für kleinere Kinder aus und versucht, den Gang der Sonne und der Planeten durch eine schematische Zeichnung klarzumachen.

[ 42 ] Rudolf Steiner: Nun, es wird diese Auffassung immer mehr an Bedeutung abnehmen, weil das seither Angenommene über diese Bewegungen nicht ganz richtig ist. In Wirklichkeit hat man es zu tun mit einer solchen Bewegung (Rudolf Steiner zeichnet an die Tafel):

[ 43 ] Da ist zum Beispiel (1. Stellung) einmal hier die Sonne; da ist Saturn, Jupiter, Mars, und da ist Venus, Merkur, Erde. Nun bewegen sich die alle in der angegebenen Richtung (Schraubenlinie) so hintereinander fort, daß, wenn die Sonne dann da herübergekommen ist (2. Stellung), so ist Saturn, Jupiter, Mars hier, Venus, Merkur und die Erde da. Und jetzt dreht sich die Sonne weiter und geht dahin (3. Stellung). Dadurch wird der Schein hervorgerufen, als wenn sich die Erde um die Sonne drehte. In Wahrheit geht die Sonne voran, und die Erde kriecht immer nach.

Leonie von Mirbach gibt eine Darstellung aus der altägyptischen Kultur.

[ 44 ] Rudolf Steiner: Vor allem müßte man dazu übergehen, das vorzubringen, was das ganz andere Prinzip der Nachbildung ist. Es besteht bei den alten Ägyptern der Mangel, daß sie unperspektivisch sehen. Es malt der alte Ägypter das Gesicht im Profil und den übrigen Körper en face. Diese Eigentümlichkeit der Auffassung müßte man den Kindern schon beibringen.

[ 45 ] Dann müßte man herstellen den Zusammenhang des ägyptischen Zeichnens und Malens mit dem naturgeschichtlichen Prinzip, das sie hatten, daß sie die Menschen mit Tierköpfen machten und so weiter. Schon in alten Zeiten ist die Vergleichung des Menschen mit den Tieren sehr weit getrieben worden. Man könnte dann dem Kinde dasjenige beibringen, was veranlagt ist in jedem menschlichen Kopf und was zum Teil das Kind heute noch sieht. Die Ägypter haben noch diese Verwandtschaft der Menschenphysiognomie mit den Tieren wahrgenommen. Sie waren noch auf dieser kindlichen Stufe der Anschauung.

Leonie von Mirbach fragt bei der Besprechung der Pyramiden, was man eigentlich den Kindern darüber sagen solle.

[ 46 ] Rudolf Steiner: Ja, es ist natürlich außerordentlich wichtig, allmählich zu versuchen, auch für die Kinder das Richtige an die Stelle des Falschen zu setzen. Tatsächlich waren die Pyramiden ja Einweihungsstätten. Und da kommt man ja nun dahin, daß man den Kindern den Begriff des höheren ägyptischen Unterrichts, der zu gleicher Zeit eine Einweihung war, beibringt. Man muß etwas erzählen davon, was da vorgegangen ist. Es sind da religiöse Handlungen ausgeführt worden, wie sie heute in den Kirchen ausgeführt werden, die aber zugleich dazu führten, daß das Weltall erkannt werden konnte. Der alte Ägypter hat eben so gelernt, daß ihm vorgezeigt worden ist in feierlichen Handlungen, was sich im Weltall und in der Menschheitsentwickelung vollzieht. Es war religiöse Übung und Unterricht eines. Es war so, daß Unterricht und religiöse Handlung eigentlich zusammenfielen.

Leonie von Mirbach beschreibt die Arbeit an den Pyramiden und Obelisken und sagt, daß man annehmen müsse, daß zum Herbeischaffen, Bearbeiten und Einbauen der riesigen Blöcke mehrere Millionen Menschen benötigt sein müßten. Man müsse sich fragen, wie es überhaupt möglich gewesen sei, mit den damaligen technischen Hilfsmitteln die großen, schweren Kalk- und Granitblöcke zu bewegen und aufzuschichten.

[ 47 ] Rudolf Steiner: Ja, aber ganz richtige Vorstellungen werden Sie bei den Kindern nur hervorrufen, wenn Sie ihnen sagen, daß, wenn die Menschen mit der heutigen Körperkraft arbeiten würden, man zweieinhalbmal soviel Menschen brauchen würde. Aber in Wahrheit haben die Ägypter ja zweieinhalbmal soviel Körperkräfte gehabt wie unsere heutigen Menschen, wenigstens die, die an den Pyramiden und so weiter gearbeitet haben. Es gab natürlich auch schwächere Menschen.

Leonie von Mirbach fragt, ob auch auf die Mythologie einzugehen wäre.

[ 48 ] Rudolf Steiner: Ja, nicht wahr, wenn man die ägyptische Mythologie nicht in ihrer wahren Gestalt darstellen kann, so muß man sie eben weglassen. Kann man aber die ägyptische Mythologie in der wahren Gestalt darstellen, dann soll man es tun. In der Waldorfschule wird es ganz gut sein, die richtigen Begriffe von der ägyptischen Mythologie, die Sie ja ganz gut kennen, schon den Kindern beizubringen, wenn man überhaupt darauf eingehen will.

Alexander Strakosch führt nun aus die Erarbeitung des Begriffes «Geometrischer Ort» an Kreis, Ellipse, Hyperbel, Lemniskate:

Wie ist es möglich, dem Kinde den Begriff Ellipse, Hyperbel, Kreis, Lemniskate und den Begriff des geometrischen Ortes beizubringen? Dies kann natürlich erst ziemlich am Ende des Volksschulunterrichtes, also im 14. Lebensjahr geschehen. Der Begriff des geometrischen Ortes ist untrennbar von den genannten Kurven, und diese können geradezu dazu benutzt werden, ihn den Kindern näherzubringen.

Schon im vorhergehenden Unterricht kann vorgebaut werden, indem man auf die Linien hinweist, längs derer gewisse Bedingungen herrschen bzw. erfüllt sind, zum Beispiel zeige man einmal an einem weithin sichtbaren Gegenstand in der Natur, dass es eine Linie gibt, die alle Punkte verbindet, von welchen aus man diesen Punkt gerade noch sieht, indem man mit den Kindern diese Linie aufsucht und dann in eine entworfene Kartenskizze eintragen lässt. Desgleichen mache man aufmerksam auf Vegetationsgrenzen in horizontaler und vertikaler Richtung, zum Beispiel nördlichste Grenze des Weinbaues, Höhengrenze des Getreidebaues und auch auf die Grenze des ewigen Schnees.

Hauptsächlich kann aber im Geometrieunterricht selbst vorgebaut werden durch gewisse einfache Aufgaben, zum Beispiel: Wo liegen die Spitzen aller Dreiecke, die eine gemeinsame Basis und gleichen Flächeninhalt haben? (Auf zwei parallelen Geraden.) Oder: Wo liegen alle Punkte, die von zwei Punkten gleich weit entfernt sind? (Auf einer Geraden, welche senkrecht steht auf der Verbindungslinie der beiden Punkte und diese Verbindungslinie halbiert.) Letztere Aufgabe ist besonders wichtig, weil sie ganz selbstverständlich zum bipolaren (zweipoligen) System hinführt, in welchem die oben genannten Linien dargestellt werden müssen. Man kann nun etwa so zu den Kindern sprechen: Nun wollen wir einmal nicht das Rechnen anwenden auf Zahlenbeispiele, wir wollen hingegen uns die vier Grundrechnungsarten in ihrer Gesetzmäßigkeit anschaulich machen in der Form von geometrischen Gebilden. Wir wollen sie uns geradezu vor die Augen stellen, indem wir die vier Grundrechnungsarten nicht mit Ziffern, sondern auf der Fläche geometrisch ausführen. Die vier Rechnungsarten sind: Addition, Subtraktion usw. Um aber mit dem Addieren beginnen zu können, müssen wir gleiche Gegenstände vor uns haben und uns klarmachen, dass die Einheiten, von denen wir ausgingen und die in jeder Zahl darinnenstecken, eben alle einander gleich gedacht werden müssen, sonst kann man gar nicht anfangen zu zählen. Wir fragen also:

Erstens: Wo liegen alle Punkte, die von einem gegebenen Punkte den gleichen Abstand haben? Man stecke einen Nagel in die Tafel, binde ein Stückchen Kreide an einen Faden, den man an dem Nagel befestigt, und beschreibe so einen Kreis; das ist anschaulicher als mit dem Zirkel; dann zeigt man, dass es große und kleine Kreise gibt. Diese Linie heißt der Gleichheitskreis, und alle Punkte, die von einem gegebenen Punkte gleich weit entfernt sind, liegen auf seinem Umfang.

Zweitens: Wo liegen alle Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten immer gleich groß ist, also:

$$a + b = c?$$

Hier müssen wir zwei Punkte machen, von denen aus wir die in ihrer Summe gleichen, aber voneinander im Allgemeinen verschiedenen Abstände gleichsam in den Raum werfen können, gerade wie wir zwei Zahlen haben müssen, die wir addieren. Würden wir die Abstände von einem Punkte auftragen, so würden wir ja nur eine Zahl an der andern messen, sie mit ihr vergleichen, aber nicht addieren. Je nachdem wir die zwei Punkte näher oder weiter auseinandersetzen, können wir bei fest beibehaltenem c verschiedene Formen der Ellipse (so heißt diese Linie) erhalten.

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Wir stecken zwei Stifte in die Tafel, binden einen Faden mit seinen beiden Enden an je einen derselben, aber so, dass er nicht gespannt ist, sondern ziemlich durchhängt; dann spannen wir den Faden durch ein Stück Kreide und bewegen dieses so, wie es der stets gespannt zu erhaltende Faden erheischt, und erhalten so die Ellipse. Die beiden festen Punkte, in die wir die Stifte stecken, werden Brennpunkte genannt. (Man ist vom Kreis her gewöhnt, sich mehr oberflächlich an die immer gleich bleibende äußere Form zu halten; bei der Betrachtung der verschiedenen Formen der Ellipse muss man lernen, sich in den Charakter der der Ellipse eigenen Krümmung hineinzufühlen.)

Drittens: Bei der Darstellung der Subtraktionslinie, der Hyperbel, bedarf es einer kleinen Vorbereitung; diese Linie ist der geometrische Ort aller Punkte, für welche die Differenz der Abstände von zwei gegebenen Punkten gleich ist. Man nimmt also zwei Stück Schnüre und bindet sie in gleichen Abständen mit einem Faden zusammen, sodass schließlich zwei ungleiche Enden übrig bleiben, deren Differenz uns darstellt die gleichbleibende Differenz aller Radien-Vektoren (Lichtstrahlen) - das sind die Linien, die von irgendeinem Punkt der Kurve zu den beiden Brennpunkten führen.

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Stecken wir wieder die zwei Stifte in die Tafel, befestigen an je einem die ungleichen Enden, spannen die Schnüre mit der Kreide und machen dort einen Punkt, so ist das ein Punkt der Hyperbel. Dasselbe wiederholen wir nach unten und erhalten einen Punkt, der symmetrisch zum ersten liegt, mit Bezug auf die Verbindungslinie des Brennpunktes, dann schneiden wir den ersten Bund auf, spannen die Schnüre von Neuem und erhalten einen zweiten Punkt und den zu ihm symmetrischen usw., so lange die Schnur oder die Tafel reicht. Verbindet man alle diese Punkte, so erhält man eine Linie, die nicht geschlossen ist wie Kreis und Ellipse, sondern sich nach beiden Seiten immer mehr von den Brennpunkten entfernt. Da man nun die Subtraktion auf zweierlei Arten ausführen kann, obliegt es noch, die beiden Enden bezüglich der Befestigung an den Stiften zu vertauschen. Wiederholt man dann denselben Vorgang, so erhält man den zweiten Ast der Hyperbel, er ist symmetrisch zum ersten mit Bezug auf eine Gerade, die im Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Brennpunkte senkrecht steht. Beide Äste zusammen bilden erst die Hyperbel, die auch wieder je nach Wahl der Brennpunkte und der Konstanten verschiedenen Charakter annehmen kann. Es wird also hier die Anforderung gestellt, zwei nicht zusammenhängende Linien als eine Kurve zu empfinden, ein weiterer Schritt in das Sich-Hineinleben in Gesetzmäßigkeiten.

Viertens: Noch reicher in ihrer geometrischen Erscheinungsform stellt sich die Multiplikation dar. Hier nimmt die Kurve je nach Wahl der Konstanten, des konstanten Produktes und der Entfernung der Brennpunkte drei verschiedene Formen an. Die erste Form ähnelt der Ellipse, hat aber natürlich einen ganz anderen Krümmungscharakter, die zweite hat beiläufig die Gestalt einer liegenden Acht, die dritte besteht aus zwei Ästen, von denen aber jeder wieder eine geschlossene Kurve darstellt. Diese letztere Form unterscheidet sich von der zweiten im Wesentlichen dadurch, dass das Mittelstück nicht im dreidimensionalen Raum liegt; wenn wir die Kurve in der zweiten Form einführen, kommen wir kontinuierlich von einem Punkt zum andern, tun wir das bei der dritten Form, so müssen wir im Sinne der Pfeile, dort, wo die punktierte Linie ist, einen Sprung aus dem Raume heraus und wieder in den Raum machen. Die beiden Stücke sind nicht offen, wie die Äste der Hyperbel, die in unendlicher Entfernung, aber innerhalb der Ebene auseinanderlaufen, es gibt auch nicht Punkte außerhalb der Konstruktionsebene, aber innerhalb des Raumes, die Kurve verlässt den Raum.

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Rudolf Steiner fügt hinzu, dass sich die beiden Striche zueinander verhalten wie Herz und Zirbeldrüse.

Alexander Strakosch weiter: Am lebendigsten wird dies, wenn man die Konstruktion selbst ausführt - , was ja im Unterricht ohnehin geschehen muss und dann erlebt, wie sich die realen Punkte zu den zwei geschlossenen Ästen zusammenschließen und dann die Punkte imaginär werden, das heißt die Zirkelschnitte sich nicht mehr treffen. Die Bedingungen der Konstruktion sind, dass das Produkt der Radien-Vektoren stets gleich bleibe, also \{a \dot b = c \dot c\). Wir können also auch schreiben a $\dot b = c^2$ und erhalten so einen Ausdruck, welcher auf der einen Seite ein Rechteck $a \dot b$, auf der anderen Seite ein ihm flächengleiches Quadrat $c^2$ darstellt. Wir erhalten also alle Radien-Vektoren oder Leitstrahlen, indem wir alle oder wenigstens eine genügende Anzahl von Rechtecken konstruieren, die dem gegebenen Quadrate flächengleich sind, die Seiten je eines solchen Rechteckes sind dann zwei zusammengehörige Leitstrahlen, die von den beiden Brennpunkten nach oben und unten auf getragen immer je vier Punkte auf der Kurve geben. Mit Rücksicht auf die Vertauschbarkeit der Faktoren bei der Multiplikation muss man eben einmal vom rechten und dann einmal vom linken Brennpunkt aus auftragen, das heißt in den Zirkel nehmen und damit einen Kreis beschreiben, dasselbe sodann mit $b$.

Die Konstruktion wird mit Hilfe der bekannten Dreiecksverwandlung ausgeführt, da sich jedes Parallelogramm aus zwei kongruenten entsprechend zur Diagonale liegenden Dreiecken zusammengesetzt denken lässt.

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Es ist ein Dreieck ABC in ein anderes von bestimmter Grundlinie $a$, aber gleicher Fläche zu verwandeln. Man verbindet den Endpunkt $B’$ der neuen Grundlinie mit der Spitze $C$ und erhält so ein Dreieck $AB’C$, dass nun das schraffierte Dreieck $B’CA$ größer ist als das ursprüngliche. Zieht man nun eine Parallele zu $B’C$ durch $B$, so erhält man ein Trapez $BB’CD$, und die Dreiecke $B’CB$ und $B’CD$ sind flächengleich; die Grundlinie ist gemeinsam und die Höhen gleich, weil ihre Spitzen $D$ und $B$ auf einer Parallele zur gemeinsamen Grundlinie $B’C$ liegen. Wenn wir also zu dem Dreieck $ABC$ ein Dreieck $B’CB$ hinzufügen und dann ein diesem zweiten Dreieck flächengleiches $B’DB$ fortnehmen, so erhalten wir ein dem ursprünglichen Dreieck $ABC$ flächengleiches $AB’D$; man sieht also in dem gegebenen Quadrat $= c^2$ eine Diagonale, vollführt jetzt mit dem einen sich ergebenen Dreieck nochmals die eben angeführte Verwandlung und erhält so eine Reihe von Leitstrahlen.

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Eine zweite Konstruktion ist noch einfacher und beruht auf dem Satz von den geometrischen Proportionalen. In nachstehender Figur verhält sich $a : c = c : b$, also $a - b = c^2$.

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Da der Winkel im Halbkreis ein rechter ist, so lässt man also das beim Zeichnen verwandelte Dreieck sich um seine obere Spitze C drehen und erhält so zu beiden Seiten des Punktes D Abschnitte auf der durch A und B bestimmten Waagrechten: $a’$, $b’$, $a”$, $b”$, welche wieder Paare von Leitstrahlen darstellen.

Fünftens: Schließlich haben wir noch die Division darzustellen. Jedes Verhältnis kann man ansehen als eine nicht ausgeführte Division. Wir erhalten eine Reihe von Proportionen, wenn wir die zwei Schenkel eines spitzen Winkels mit einer Schar von parallelen Geraden schneiden.

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Es sind dann immer die durch die Winkelschenkel an den Parallelen abgeschnittenen Strecken und die Länge des Schenkels bis zu der betreffenden Parallele proportional.

AltName

Die Konstruktion ergibt einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Verbindungslinie der Brennpunkte liegt, aber mit keinem derselben zusammenfällt. (Man könnte natürlich auch hier die Brennpunkte bzw. die Leitstrahlen vertauschen, wie wir es vorher getan haben, und würden dann einen zweiten Kreis erhalten. In diesem Falle, wo es sich eben um die Darstellung der Division, also einer nicht umkehrbaren Rechnungsart handelt, hat aber der zweite Kreis keine Bedeutung.) Es ist wichtig, darauf hinzuweisen, wie verschieden der Einheitskreis und der Divisionskreis ihrer Entstehung und Wesenheit nach sind. Der Erstere ist von einem Mittelpunkt aus gebildet und umfasst die von ihm eingeschlossene Fläche ohne jede Beziehung zu dem außer ihm liegenden Teil der Ebene; der Letztere ist ganz von außen her entstanden, die imaginären Punkte liegen alle außerhalb der von ihm eingeschlossenen Fläche, er schneidet gleichsam aus der ganzen Ebene ein negatives Stück heraus. Diese Gegenüberstellung enthält ein wichtiges Gefühlsmoment -[...] der Kreis der gleichen Teile und der Kreis der Teilung [sind] als Operationen in beiden Fällen formal dasselbe Gebilde, wesentlich aber grundverschieden und sogar polar entgegengesetzt.

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The Art of EducationGA 295

Vierzehnte Seminarbesprechung

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