The Rudolf Steiner Archive

Vierzehnte Seminarbesprechung

Fourteenth Seminar Discussion

Paul Baumann entwickelt die Prinzipien des musikalischen Unterrichts [im ersten und zweiten Schuljahr]. Ziel des ersten Jahres: Singen einfacher, möglichst von den Kindern noch nicht gekannter Melodien in einfacher rhythmischer Ausgestaltung. Melodien auf Vokalen aufgebaut. Singen einfacher Kanons (einstimmig). Kenntnis einfacher Konsonanzen und Dissonanzen, möglichst wenig mit Dissonanzen arbeiten. Singen und am Instrument hören lassen. Tonleiter (vorerst nur Dur-Tonleiter), Töne noch nicht benennen. Einfacher Rhythmus. Ziel des zweiten Schuljahres: Singen einfacher Lieder, Volkslieder, zweistimmiges Singen einfacher Kanons, zwei- und dreistimmig. Tonleiter, Durtonleiter (Moll erst später), Tonbezeichnungen zunächst italienisch, dann später auch deutsch. In der zweiten Hälfte des Jahres das Kind mit Soloinstrumenten (Streich-, Blasinstrumenten, Okarina, Flöten) beginnen lassen.

Paul Baumann develops the principles of music instruction [in the first and second grades]. Goal for the first year: Singing simple melodies—preferably ones the children have not yet heard—with simple rhythmic patterns. Melodies based on vowels. Singing simple canons (in unison). Familiarity with simple consonances and dissonances; use dissonances as little as possible. Singing and listening to the instrument. Scales (for now, only major scales); do not yet name the notes. Simple rhythm. Objective for the second school year: Singing simple songs and folk songs; singing simple canons in two-part harmony; singing in two- and three-part harmony. Scales, major scales (minor scales later); note names initially in Italian, then later also in German. In the second half of the year, have the child begin with solo instruments (string and wind instruments, ocarina, flutes).

[ 1 ] Rudolf Steiner: Man sollte nicht versäumen, das Objektive, vom Menschen Abgesonderte, das Instrument, auch hören zu lassen. Immer muß darauf gesehen werden, daß das Kind ziemlich lange vor dem neunten Jahre, in der zweiten Hälfte des zweiten Schuljahres, an das Soloinstrument herankommt, so daß das Klavier sich später anschließen würde für diejenigen, die dafür in Betracht kommen. Das ist ja das Wesentliche, daß wir auf diesem Gebiete richtig anfangen.

[ 1 ] Rudolf Steiner: One should not neglect to also let the child hear the objective, the instrument, which is separate from the human being. Care must always be taken to ensure that the child begins learning a solo instrument well before the age of nine, in the second half of the second school year, so that the piano can be introduced later for those who are suitable candidates. That is, after all, the essential point: that we start off on the right foot in this area.

Karl Stockmeyer gibt eine Fortsetzung der Zinsrechnung mit Übergang zur Buchstabenrechnung und bemerkt, dass vorher Bruchrechnen, Rechnen mit Dezimalzahlen, Regel de tri sowie die Hauptsache des Schlussverfahrens durchgenommen sein muss. Zu beginnen mit der Zinsrechnung ist vor dem 12. Jahr.

Karl Stockmeyer provides a continuation of the lesson on interest calculations, leading into the lesson on letter calculations, and notes that students must first have covered fractions, decimal calculations, the rule of three, and the main points of the process of deduction. Students should begin learning about interest calculations before the age of 12.

Wenn \(E\) = Endkapital, \(A\) = Anfangskapital, \(Z\) = Zins, \(P\) = Prozentsatz, \(T\) = Zeit ist so ist \(E = A + Z\). Da ferner \(Z = \frac{A \cdot P \cdot T}{100}\) so wird \(E = A + \frac{A \cdot P \cdot T}{100}\)

If \(E\) = final capital, \(A\) = initial capital, \(Z\) = interest, \(P\) = percentage, and \(T\) = time, then \(E = A + Z\). Furthermore, since \(Z = \frac{A \cdot P \cdot T}{100}\), we have \(E = A + \frac{A \cdot P \cdot T}{100}\)

[ 2 ] Rudolf Steiner: In dieser Form kann man ja heute nie ein Kapital anlegen. Diese Form hat nur dann einen Realitätswert, wenn \(7\) gleich oder kleiner als ein Jahr ist. Denn in der Realität sind zwei Fälle gegeben: entweder man hebt die Zinsen jährlich ab, dann verbleibt immer das gleiche Anfangskapital, oder man läßt die Zinsen beim Kapital, dann braucht man die Zinseszinsrechnung. Läßt man \(T\) weg, das heißt, rechnet man für ein Jahr, dann ist es real. Es ist notwendig, den Kindern die Realität zu geben.

[ 2 ] Rudolf Steiner: You can never invest capital in this way today. This form only has any practical value if \(7\) is equal to or less than one year. For in reality, there are two possible scenarios: either you withdraw the interest annually, in which case the initial capital always remains the same, or you leave the interest with the principal, in which case you need to use compound interest calculations. If you omit \(T\)—that is, if you calculate for one year—then it is realistic. It is necessary to present reality to the children.

Karl Stockmeyer bespricht weiter die Diskontorechnung, wie sie voraussetzt, dass ein geliehenes Kapital zu einem früheren Zeitpunkt zurückbezahlt wird, als Verpflichtung dazu besteht, und wie die Entschädigung, die dafür beansprucht werden kann, sich berechnet aus dem Zinsenertrag des Kapitals während einer Zeitspanne, die so groß ist wie die, um welche die Zahlung früher erfolgt ist. Es folgt ferner die Besprechung der Rabattrechnung, welche ja eine Prozentrechnung ohne Berücksichtigung der Zeit ist, und dann die Erläuterung des Begriffs des Wechsels (Übungen mit Beispielen aus der Praxis werden empfohlen).

Karl Stockmeyer goes on to discuss the discount calculation, explaining how it assumes that borrowed capital is repaid earlier than required and how the compensation that can be claimed for this is calculated based on the interest earned on the capital over a period equal to the amount by which the payment was made early. This is followed by a discussion of the discount calculation—which is essentially a percentage calculation that does not take time into account—and then an explanation of the concept of a bill of exchange (exercises with real-world examples are recommended).

[ 3 ] Es wird gut sein, stramm darauf hinzuarbeiten, daß der Übergang in die Buchstabenrechnung auch wirklich gemacht wird. Zunächst wird man den Übergang entwickeln von der Addition in die Multiplikation, dann von der Subtraktion in die Division.

[ 3 ] It would be good to work diligently to ensure that the transition to written calculations is actually made. First, the transition from addition to multiplication will be developed, then from subtraction to division.

[ 4 ] Rudolf Steiner erläutert dann den Übergang vom Zahlenrechnen zum Buchstabenrechnen an nachfolgendem Beispiel. Man schreibt zunächst eine Summe von Zahlen hin, in welcher die Addenden alle ungleich sind:

[ 4 ] Rudolf Steiner then explains the transition from arithmetic with numbers to arithmetic with letters using the following example. First, one writes down a sum of numbers in which the addends are all different:

$$20 = 7 + 5 + 6 + 2$$

$$20 = 7 + 5 + 6 + 2$$

[ 5 ] Es können auch einzelne Addenden gleich sein:

[ 5 ] Individual addends can also be equal:

$$25=5+5+9+6$$

$$25=5+5+9+6$$

[ 6 ] Und es können alle Addenden gleich sein:

[ 6 ] And all the addends can be equal:

$$18=6+6+6$$

$$18=6+6+6$$

[ 7 ] Geht man nun in der gestern bereits geschilderten Weise dazu über, die Zahlen durch Buchstaben zu ersetzen, so habe ich einmal die Summe \(S_1 = a + a + a,\) das sind drei \(a\), dreimal \(a=3 \cdot a\); dann, \(S_2 = a + a + a + a + a,\) fünfmal \(a=5 \cdot a\); dann \(S_3 = a + a + a + a + a +a,\) siebenmal \(a =7 \cdot a\) und so weiter.

[ 7 ] If we now proceed, as described yesterday, to replace the numbers with letters, I have, first, the sum \(S_1 = a + a + a\), which is three \(a\), three times \(a = 3 \cdot a\); then, \(S_2 = a + a + a + a + a\), five \(a\)’s, \(5 \cdot a\); then \(S_3 = a + a + a + a + a + a\), seven \(a\)’s, \(7 \cdot a\), and so on.

[ 8 ] Ich mache das immerzu, kann es neunmal, einundzwanzigmal, fünfundzwanzigmal machen. Ich mache es \(m\)-mal: S\(S_m = a + a + a + a + a...\) \(m\)-mal -( = m \cdot a.\)

[ 8 ] I do this over and over; I can do it nine times, twenty-one times, twenty-five times. I do it \(m\) times: \(S_m = a + a + a + a + a...\) \(m\) times -( = m \cdot a.\)

[ 9 ] So bekomme ich aus der Unbestimmtheit der Anzahl der Addenden den einen Faktor, während der Addend selbst der andere Faktor ist. Auf diese Weise läßt sich leicht aus der Addition die Multiplikation entwickeln und begreifen. So macht man den Übergang von bestimmten Zahlen zu algebraischen Größen, zu \( a \cdot a = a^2, a \cdot a \cdot a = a^3.\)

[ 9 ] Thus, from the indeterminacy of the number of addends, I obtain one factor, while the addend itself is the other factor. In this way, multiplication can easily be derived from and understood through addition. This is how we make the transition from specific numbers to algebraic quantities, to \( a \cdot a = a^2, a \cdot a \cdot a = a^3.\)

[ 10 ] Ebenso kann man aus der Subtraktion die Division ableiten. Wenn wir \(b\) wegnehmen von einer sehr großen Zahl a, dann bekommen wir den Rest \(r_1.\)

[ 10 ] Similarly, division can be derived from subtraction. If we subtract \(b\) from a very large number \(a\), we get the remainder \(r_1.\)

$$r_1 = a - b$$

$$r_1 = a - b$$

[ 11 ] Nehmen wir nochmals 5 weg, so erhalten wir den Rest

[ 11 ] If we subtract 5 again, we get the remainder

$$r_2 = a - b - b = a - 2b$$

$$r_2 = a - b - b = a - 2b$$

[ 12 ] Ein drittes Mal 5 weggenommen, ergibt \(r_3 = a - b - b - b = a -3b\) und so weiter. Wir können dies so lange machen, bis von der Zahl \(a\) kein Rest mehr übrig bleibt, können es \(n\)- mal machen:

[ 12 ] Subtracting 5 a third time gives \(r_3 = a - b - b - b = a -3b\) and so on. We can continue doing this until there is no remainder left of the number \(a\); we can do this \(n\) times:

$$r_n = a - b - b - b - b ... n = a - nb$$$$r_n = a - b - b - b - b \ldots n = a - nb$$

[ 13 ] Wenn dann kein Rest mehr bleibt, das heißt, der letzte Rest gleich \(0\) ist, so ist

[ 13 ] If there is no remainder left—that is, if the last remainder is \(0\)—then

$$0 = a - nb.$$$$0 = a - nb.$$

[ 14 ] Dann ist a ganz aufgeteilt, weil ja kein Rest bleibt, \(a = nb\). Ich habe \(n\)-mal das \(b\) weggenommen, habe das \(a\) in lauter \(b\) aufgeteilt, \(\frac{a}{b} = n,\) da ist eben das a ganz aufgezehrt. Ich habe gefunden, daß ich das \(n\)-mal machen kann und bin damit übergegangen von der Subtraktion zur Division.

[ 14 ] Then \(a\) is completely factored out, since there is no remainder left: \(a = nb\). I subtracted \(b\) \(n\) times, breaking \(a\) down into a series of \(b\)s; \(\frac{a}{b} = n\), so \(a\) is completely used up. I found that I can do this \(n\) times, and in doing so, I moved from subtraction to division.

[ 15 ] Man kann somit sagen: Es ist die Multiplikation ein besonderer Fall der Addition, die Division ein besonderer Fall der Subtraktion, nur daß man eben nicht nur einmal, sondern wiederholt hinzufügt, beziehungsweise wegnimmt.

[ 15 ] One can therefore say: Multiplication is a special case of addition, and division is a special case of subtraction—except that one adds or subtracts repeatedly rather than just once.

Es kommt die Rede auf negative und imaginäre Zahlen.

The conversation turns to negative and imaginary numbers.

[ 16 ] Rudolf Steiner: Eine negative Zahl ist ein Subtrahend, zu dem kein Minuend mehr da ist; eine Aufforderung zu einer Operation, zu der kein Stoff mehr da ist, die nicht ausgeführt werden kann. - Eugen Dühring wies die imaginären Zahlen als Unsinn zurück und sagte von der Gaußschen Definition des Imaginären, sie sei eine Eselei, keine Realität, ein ausspintisiertes Zeug.

[ 16 ] Rudolf Steiner: A negative number is a subtrahend for which there is no longer a minuend; a call for an operation for which there is no longer any material, and which cannot be carried out. - Eugen Dühring dismissed imaginary numbers as nonsense and said of Gauss’s definition of the imaginary that it was a piece of nonsense, not reality, just some far-fetched rubbish.

[ 17 ] Also man entwickelt immer das Multiplizieren aus der Addition, und dann das Potenzieren aus der Multiplikation. Und weiter das Dividieren aus der Subtraktion, das Radizieren aus der Division.

[ 17 ] So you always derive multiplication from addition, and then exponentiation from multiplication. And then division from subtraction, and taking the root from division.

addieren multiplizieren potenzieren	subtrahieren dividieren radizieren
Divisionsdefinition als Schluss behandeln

add multiply raise to a power	subtract divide take a root
Treat the definition of division as the conclusion

[ 18 ] Erst nach Beginn der Buchstabenrechnung, vom elften bis zwölften Jahre ab, geht man zum Potenzieren und Radizieren über, weil beim Radizieren das Potenzieren eines algebraischen Polynoms eine Rolle spielt.

[ 18 ] It is only after beginning algebra, from the eleventh to the twelfth year, that one moves on to exponents and roots, because the process of raising an algebraic polynomial to a power plays a role in finding roots.

[ 19 ] In diesem Zusammenhang ist weiter durchzunehmen: Brutto-, Netto-, Tara-, Emballagerechnung.

[ 19 ] In this context, the following should also be considered: gross, net, tare, and packaging charges.

Es wird eine Frage gestellt, die Benützung von Formeln betreffend.

A question is asked regarding the use of formulas.

[ 20 ] Rudolf Steiner: Nun handelt es sich aber darum, ob Sie lieber sehr häufig die Formel nicht benützen, sondern immer wieder den Gedankengang machen wollen — wobei Sie ja allerdings Sprachkultur treiben können, das ist ja richtig -, oder aber, ob Sie nicht doch zur Formel übergehen wollen. Wenn Sie es taktvoll machen, daß die Formel gut verstanden wird, ist das auch recht nützlich, um bis zu einem gewissen Grade Sprachkultur daran zu üben.

[ 20 ] Rudolf Steiner: The question now is whether you would prefer to avoid using the formula very often and instead follow the train of thought again and again—which, of course, allows you to cultivate your language skills, as you rightly point out—or whether you would prefer to adopt the formula after all. If you do so tactfully, ensuring that the formula is well understood, this is also quite useful for practicing linguistic refinement to a certain extent.

[ 21 ] Aber von einem gewissen Zeitpunkt an ist es auch gut, die Formel zu etwas Gefühltem beim Kinde zu machen. Die Formel zu etwas zu machen, was inneres Leben hat, so daß zum Beispiel wenn bei

[ 21 ] But at a certain point, it is also good to turn the formula into something the child can feel. To turn the formula into something that has an inner life, so that, for example, when at

$$Z = \frac{K \cdot P \cdot T}{100}$$

$$Z = \frac{K \cdot P \cdot T}{100}$$

[ 22 ] das \(T\) größer wird, das Kind ein Gefühl von dem Anwachsen des Ganzen dabei bekommt.

[ 22 ] As \(T\) increases, the child gains a sense of the whole growing.

[ 23 ] Damit würde also gesagt worden sein, was ich an dieser Stelle sagen wollte, daß man die konkreten Zahlen benützen sollte bei einer solchen Gelegenheit wie bei der Zins- und Prozentrechnung, um den Übergang zur Buchstabenrechnung zu finden, und um daran Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren, Radizieren zu entwickeln. Das sind ja Dinge, die durchaus mit den Kindern schon gemacht werden müssen.

[ 23 ] This would thus have conveyed what I wanted to say at this point: that one should use concrete numbers in situations such as interest and percentage calculations to make the transition to algebraic calculations, and to use them to develop multiplication, division, exponentiation, and root-taking. These are, after all, things that definitely need to be practiced with the children already.

[ 24 ] Nun möchte ich die Frage aufwerfen: Halten Sie es für gut, das Potenzieren und das Wurzelziehen, das Radizieren, schon zu behandeln, bevor Sie Buchstabenrechnung gemacht haben, oder würden Sie es nachher machen?

[ 24 ] Now I would like to raise the following question: Do you think it is a good idea to cover exponentiation and taking roots—that is, extracting roots—before you have done letter calculations, or would you do it afterward?

Karl Stockmeyer: Potenzieren vorher, Radizieren nachher.

Karl Stockmeyer: Raise to a Power First, Take the Root Later.

[ 25 ] Rudolf Steiner: Also Sie gehen doch aus und sollten auch in Zukunft davon ausgehen, daß Sie möglichst bald, vom elften, zwölften Jahre ab, mit der Buchstabenrechnung beginnen und dann erst zum Potenzieren, Radizieren übergehen. Denn nach der Buchstabenrechnung läßt sich auf sehr einfache und ökonomische Weise quadrieren, kubieren, potenzieren und wurzelziehen mit den Kindern, während man vorher furchtbar viel Zeit darauf verwendet. Sie werden leicht und ökonomisch unterrichten, wenn Sie zuerst die Buchstabenrechnung mit den Kindern besprochen haben.

[ 25 ] Rudolf Steiner: So you are proceeding as planned, and you should continue to assume that, as soon as possible—starting in the eleventh or twelfth year—you will begin with letter calculations and only then move on to exponentiation and taking roots. For after letter calculation, squaring, cubing, raising to a power, and taking roots can be taught to the children in a very simple and efficient manner, whereas previously an enormous amount of time was spent on these operations. You will be able to teach easily and efficiently once you have first discussed letter calculation with the children.

Hertha Koegel gibt eine [geschichtliche] Ausarbeitung für Schüler der letzten Klasse über Städtegründung und -entwicklung und spricht für die Zeit der Magyareneinfälle von «Deutschland».

Hertha Koegel writes a [historical] paper for high school seniors on the founding and development of cities and refers to the period of the Magyar invasions as “Germany.”

[ 26 ] Rudolf Steiner: Ich würde da doch recht achtgeben, daß nicht unbewußt verwurstelte Vorstellungen entstehen. Es gab natürlich damals, zur Zeit Heinrichs, des sogenannten Städtebauers, kein Deutschland. Man muß sich etwa so ausdrücken: Städte am Rhein oder an der Donau, an den Orten, die später deutsch geworden sind.

[ 26 ] Rudolf Steiner: I would be quite careful not to let unconsciously muddled mental images arise. Of course, back then, during the time of Henry the so-called “City Builder,” there was no such thing as Germany. One must put it something like this: cities on the Rhine or the Danube, in the places that later became German.

Hertha Koegel fährt fort mit ihrer Darstellung und spricht weiter von den Einfällen der Magyaren.

Hertha Koegel continues her account and goes on to discuss the Magyar incursions.

[ 27 ] Nicht wahr, vor dem 10. Jahrhundert hat man es ja auch nicht mit Magyaren zu tun; vorher hat man es bei solchen Einfällen mit Hunnen, Avaren zu tun. Vom 10. Jahrhundert an kann man dann schon sagen «Deutschland».

[ 27 ] After all, before the 10th century, we weren’t dealing with Magyars; before that, such incursions were carried out by the Huns and Avars. From the 10th century onward, we can already speak of “Germany.”

[ 28 ] Sehen Sie, ich würde da zum Beispiel - das ist ja eine Aufgabe, die man vornimmt bei den Schülern der letzten Volksschulklassen — den Kindern einen Begriff der Chronologie beizubringen versuchen. Wenn man so sagt «9., 10. Jahrhundert», da wird die Vorstellung zu wenig konkret. Wie würden Sie das machen, daß eine konkrete Vorstellung von der Zeit bei den Kindern ersteht?

[ 28 ] You see, I would, for example—this is an activity we do with students in the final grades of elementary school—try to teach the children a sense of chronology. When you say something like “9th, 10th century,” the mental image becomes too abstract. How would you go about helping the children develop a concrete mental image of time?

[ 29 ] Sehen Sie, da könnten Sie dem Kinde klarmachen: «Wenn du jetzt so alt bist, wie alt sind deine Mutter, dein Vater? Dann, wie alt sind Großvater und Großmutter?» — Da bringen Sie die ganze Generationenfolge heraus und können dem Kinde klarmachen, daß eine solche von drei Generationen etwa hundert Jahre ausmacht. Also in hundert Jahren wären es drei Generationen. Vor hundert Jahren waren also die Urgroßeltern Kinder. Vor neun Jahrhunderten waren es nicht drei, sondern \(9 \cdot 3 = 27\) Generationen. — «Nimm einmal an», sagt man zum Kinde, «du hältst die Hand deines Vaters, der hält die Hand deines Großvaters, der die Hand deines Urgroßvaters und so fort. Wenn sie nun so nebeneinander stünden, der wievielte Mann wäre Heinrich I., der wievielte Mann würde dann den Magyaren etwa um das Jahr 926 gegenüberstehen? Der siebenundzwanzigste Mensch würde das sein.» - Das würde ich dann recht anschaulich darstellen. Nachdem ich so die Kinder konkret zu der Vorstellung gebracht habe, wie lange das her ist, dann würde ich ihnen schildern die Magyarenzüge. Würde ihnen klarmachen, wie die Magyaren damals Mitteleuropa überfielen. Wie die Magyaren hereinbrachen mit einer Wildheit, so daß alles flüchten mußte bis auf die kleinen Kinder in den Wiegen, die man auf die Gipfel der Berge tragen mußte. Wie dann die hereinbrechenden Magyaren Dörfer und Wälder verbrannten. Recht anschaulich würde ich den Magyarensturm schildern.

[ 29 ] See, you could explain it to the child this way: “If you’re this old now, how old are your mother and father? Then, how old are your grandfather and grandmother?” — That way, you lay out the entire generational sequence and can explain to the child that three generations like that amount to about a hundred years. So in a hundred years, there would be three generations. A hundred years ago, then, the great-grandparents were children. Nine centuries ago, there were not three, but 9:3 = 27 generations. — “Suppose,” you say to the child, “you’re holding your father’s hand, and he’s holding your grandfather’s hand, and he’s holding your great-grandfather’s hand, and so on. If they were all standing side by side like that, which man would be Henry I, and which man would have faced the Magyars around the year 926? It would be the twenty-seventh person.” - I would then illustrate that quite vividly. After I’ve helped the children concretely grasp the mental image of just how long ago that was, I would describe the Magyar invasions to them. I would make it clear to them how the Magyars overran Central Europe back then. How the Magyars swept in with such ferocity that everyone had to flee—except for the small children in their cradles, who had to be carried to the mountain peaks. How the invading Magyars then burned villages and forests. I would describe the Magyar invasion in a very vivid way.

Hertha. Koegel schildert weiter, wie Heinrich aus der Erkenntnis heraus, daß er in dem befestigten Goslar den Magyaren habe widerstehen können, den Entschluß zur Grün dung befestigter Städte gefaßt habe, und daß es auf diese Weise zu zahlreichen Städtegründungen gekommen sei.

Hertha. Koegel goes on to describe how Heinrich, realizing that he had been able to resist the Magyars in the fortified town of Goslar, resolved to establish fortified towns, and that this led to the founding of numerous towns.

[ 30 ] Rudolf Steiner: Könnten Sie diese Darstellung nicht noch einmal kulturhistorisch bringen? Denn das ist etwas monarchisch auffrisierte Geschichtslegende, daß Heinrich diese Städte gegründet habe. Alle diese Städte des 10. Jahrhunderts waren ja in ihrer Grundanlage, in den Märkten, schon da. Sie wurden nur in ihrem Ausbau dadurch gefördert, daß Leute, die in der Nachbarschaft dieser Städte wohnten, sich anschlossen, um eine leichtere Verteidigungsmöglichkeit zu gewinnen gegen die anstürmenden Magyaren, und so diese Orte stärkten. Es waren mehr wirtschaftliche Gründe, die da wirkten und die zur Städtebildung führten. Heinrich hat nicht gar viel dazu getan.

[ 30 ] Rudolf Steiner: Could you please present this account once more from a cultural-historical perspective? Because the idea that Henry founded these cities is nothing more than a historical legend embellished with monarchical flair. All of these 10th-century cities already existed in their basic form—as market towns—at that time. Their expansion was merely spurred by the fact that people living in the vicinity of these towns joined forces to gain an easier means of defense against the invading Magyars, thereby strengthening these settlements. It was primarily economic factors that were at work here and led to the formation of these towns. Henry did not contribute all that much to this.

Hertha Koegel fährt fort zu schildern: Übersiedlung eines Teils des Adels in die Städte. Städtebildung, Entwicklung und Ausbau der Städte mit zunehmendem Reichtum. Pflege und Aufschwung von Kunst, Architektur.

Hertha Koegel goes on to describe: the migration of a portion of the nobility to the cities; the formation, development, and expansion of cities as their wealth increased; and the cultivation and flourishing of art and architecture.

[ 31 ] Ich würde Sie nur bitten, recht anschaulich das alles zu bringen, recht lebendig zu verfahren, damit die Kinder innerlich anschauliche Bilder bekommen, so daß die Kinder förmlich alles greifen können. Sie müssen die Phantasie in Anspruch nehmen und solche Dinge benützen, wie ich sie Ihnen gezeigt habe bei dem Konkretmachen der Zeit. Man hat tatsächlich nichts davon, zu wissen, in welchem Jahre zum Beispiel die Schlacht bei Zama gewesen ist und so weiter, aber wenn man sich vorstellt, wenn man weiß, daß Karl der Große zum dreißigsten Vorfahren hinaufreicht, wenn man sich durch die Generationen hindurch die Hände reichen würde, dann erhält man dadurch eine anschauliche, konkrete Vorstellung von der Zeit. Da rückt diese Zeit viel näher — ja freilich, sie rückt viel näher! -, wenn man weiß, daß Karl der Große bis zum dreißigsten Vorfahren hinauf zu finden ist.

[ 31 ] I would simply ask you to present all of this in a very vivid way, to make it come alive, so that the children can form clear mental images and truly grasp everything. You must engage their imagination and use the kinds of methods I have shown you for making time concrete. It’s actually of no use to know, for example, in what year the Battle of Zama took place and so on, but if you imagine—if you know that Charlemagne goes back thirty generations, and if you were to reach out and hold hands across all those generations—then you gain a vivid, concrete mental image of time. That brings this time much closer—yes, indeed, it brings it much closer!—when one knows that Charlemagne can be traced back to the thirtieth ancestor.

Karl Stockmeyer: Wäre es nicht gut, bei solchen Kulturbeschreibungen auch auf das ganz andere Denken und Fühlen der Menschen in diesen Perioden hinzuweisen?

Karl Stockmeyer: Wouldn't it be good, when describing cultures in this way, to also point out the very different ways of thinking and feeling among people during those periods?

[ 32 ] Rudolf Steiner: Ja, darauf habe ich ja immer in meinen Vorträgen und auch sonst hingewiesen. Vor allem auch, daß Sie namentlich den großen Umschwung um das 15. Jahrhundert, das ganz andere Empfinden, Fühlen und Denken der Menschen vor und nach dieser Zeit recht anschaulich machen. Zum Beispiel auch schon Lamprecht, den ich aber damit nicht besonders empfehlen will, ist bemüht, ein ganz anderes Denken, Empfinden und Fühlen der Menschen vor dieser Zeitperiode zu konstatieren. -— Die Dokumente sind daraufhin noch gar nicht benützt worden.

[ 32 ] Rudolf Steiner: Yes, I have always pointed that out in my lectures and elsewhere. Above all, you bring to life quite vividly the great turning point around the 15th century—the completely different ways people perceived, felt, and thought before and after that time. For example, Lamprecht—though I do not particularly wish to recommend him—also endeavors to establish that people’s thinking, perception, and feelings were quite different before this period. — The documents have not yet been used for this purpose.

[ 33 ] Wenn Sie sich ein bißchen hineinfinden wollen in die kulturgeschichtliche Betrachtung, so müssen Sie vor allem entwickeln können einen gewissen Spürsinn, und wenn Sie diesen haben für Weiteres und Engeres, was die Autoren erzählen, für Spießigeres und etwas Weitherzigeres, dann können Sie richtigere Vorstellungen gewinnen für Kulturgeschichtliches.

[ 33 ] If you want to get a feel for cultural-historical analysis, you must first and foremost develop a certain intuition; and once you have this intuition—for both the broader and more specific aspects of what the authors are saying, for the more narrow-minded and the more open-minded—then you can gain a more accurate mental image of cultural history.

[ 34 ] Rudolf Steiner empfiehlt auf eine Anfrage hin zur Anschaffung für die Lehrerbibliothek:

[ 34 ] In response to an inquiry regarding a purchase for the teachers' library, Rudolf Steiner recommends:

Buckle, Geschichte der Zivilisation in England.
Lecky, Geschichte der Aufklärung in Europa.

Buckle, History of Civilization in England.
Lecky, History of the Enlightenment in Europe.

[ 35 ] An diesen kann man die Methode schulen für die kulturgeschichtlichen Betrachtungen. Von Lamprecht kämen in Frage die älteren Teile, aber es ist vieles schief und subjektiv.

[ 35 ] These works can be used to develop a method for cultural-historical analysis. The older sections of Lamprecht’s work might be suitable, but much of it is flawed and subjective.

[ 36 ] Wenn Sie sich diesen Instinkt für die wirklichen treibenden kulturgeschichtlichen Kräfte nicht angeeignet haben, dann werden Sie Gefahr laufen, mit wahrhaft Wildenbruchscher Blödigkeit, mit Wildenbruchscher Dilettantenhaftigkeit zum Beispiel die Kaiser- und Königsdramen und solche Familienkatzbalgereien wie zwischen Ludwig dem Frommen und seinen Söhnen für wesentliche kulturgeschichtliche Ereignisse zu halten.

[ 36 ] If you have not acquired this instinct for the true driving forces of cultural history, then you will run the risk of—with truly Wildenbruch-like stupidity, with Wildenbruch-like dilettantism—regarding, for example, the dramas of emperors and kings and such family squabbles as those between Louis the Pious and his sons as significant events in cultural history.

Auf eine Erwähnung der Schriften Gustav Freytags sagt Rudolf Steiner:

In response to a reference to Gustav Freytag’s writings, Rudolf Steiner says:

[ 37 ] Gustav Freytags «Bilder aus der deutschen Vergangenheit» sind ganz gut, aber man darf sich nicht zu sehr beschmieren lassen von dieser Gemütlichkeit einer für Tanten geschriebenen Geschichtsbetrachtung. Wir müssen gerade heute herauskommen aus dem Denk- und Empfindungsstil, der so bei diesen Leuten der Grenzbotenliteratur der Mitte des 19. Jahrhunderts da war, bei Gustav Freytag, Julian Schmidt und so weiter. Lassalle nannte ihn «Schmulian Jüd»; bei Lassalle klang das nicht antisemitisch.

[ 37 ] Gustav Freytag’s *Pictures from Germany’s Past* is quite good, but one mustn’t let oneself be too swept away by the cozy atmosphere of this historical account written for old ladies. Especially today, we must break free from the style of thought and feeling that was so prevalent among these authors of “border guard” literature in the mid-19th century—Gustav Freytag, Julian Schmidt, and so on. Lassalle called it “Schmulian Jüd”; coming from Lassalle, it didn’t sound anti-Semitic.

Auf die Erwähnung von Houston Stewart Chamberlains «Grundlagen des 19. Jahrhunderts» sagt Rudolf Steiner:

In response to a reference to Houston Stewart Chamberlain’s *The Foundations of the Nineteenth Century*, Rudolf Steiner says:

[ 38 ] Rudolf Steiner: Auch bei Chamberlain muß man erst recht einen guten Instinkt entwickeln, denn ein Viertel bei ihm ist geistreich, und drei Viertel ist wüstes, ungesundes Zeug. Es steht sehr viel sehr Gutes bei ihm, aber man muß alles selber übersehen und selber ein Urteil entwickeln. Die kulturgeschichtlichen Schilderungen sind besser bei Buckle und Lecky. Chamberlain ist mehr so ein Smokingträger. Er ist doch ein etwas eitler Herr, der nicht gerade als Autorität zu gelten hat, der aber doch manches richtig bemerkt hat. Es ist ja auch sein Ende kein schönes gewesen, ich meine den Prozeß mit der «Frankfurter Zeitung».

[ 38 ] Rudolf Steiner: With Chamberlain, too, one must develop a good instinct all the more, for a quarter of what he writes is witty, and three-quarters is wild, unhealthy stuff. There is a great deal of very good material in his work, but one must survey it all for oneself and form one’s own judgment. The descriptions of cultural history are better in Buckle and Lecky. Chamberlain is more of a tuxedo-wearing sort. He is, after all, a somewhat vain gentleman who cannot exactly be considered an authority, but who has nevertheless observed many things correctly. His end, too, was not a pleasant one—I am referring to the lawsuit with the *Frankfurter Zeitung*.

Es werden Kautskys Schriften erwähnt.

Kautsky's writings are mentioned.

[ 39 ] Rudolf Steiner: Ja, wenn man in der Regel das Gegenteil von dem annimmt, das er da zeigt. Man bekommt von modernen Sozialisten ein gutes und interessantes Taatsachenmaterial, wenn man sich nicht betäuben läßt von den Theorien, die ihre Schilderungen durchziehen.

[ 39 ] Rudolf Steiner: Yes, if one generally assumes the opposite of what he presents there. One can obtain good and interesting factual material from modern socialists, provided one does not allow oneself to be blinded by the theories that permeate their accounts.

[ 40 ] Ein eigentümliches Bild bietet auch Mehring, wie er erst in seinem Buch, in seiner Geschichte der Sozialdemokratie, auf die Sozialdemokraten schimpft, so lange er Freisinniger war; dann nachher, als er zu den Sozialdemokraten übergetreten war, ändert er das nur um auf die Freisinnigen.

[ 40 ] Mehring also presents a peculiar picture: in his book, *A History of Social Democracy*, he rails against the Social Democrats as long as he was a Liberal; later, after he had joined the Social Democrats, he simply shifted his criticism to the Liberals.

Rudolf Meyer gibt eine etwas umfangreiche Einführung in die Grundbegriffe der mathematischen Geografie [für Schüler im dreizehnten Lebensjahr], Beobachtungen am Sonnenaufgang und an der Sonnenbahn.

Rudolf Meyer provides a somewhat comprehensive introduction to the basic concepts of mathematical geography [for 13-year-old students], including observations of sunrise and the sun's path.

[ 41 ] Rudolf Steiner: Sie können, wenn Sie die Kinder hinausbestellt haben, das später sehr gut in die Zeichnung verwandeln lassen und darauf sehen, daß ein gewisser Parallelismus besteht zwischen der Zeichnung und dem, was die Kinder draußen angesehen haben. Es ist nur ratsam, nicht zuviel auf einmal von diesem Linienhaften zu geben. Es ist sehr wichtig, daß man diese Dinge den Kindern beibringt, aber wenn man zuviel zusammenfaßt, dann bringt man es so weit, daß die Kinder es nicht mehr auffassen. Man kann es einfügen in Geographie und Geometrie. Der ungefähre Abschluß solcher Ausführungen würde sein, daß man den Begriff der Ekliptik und der Koordinaten entwickelt.

[ 41 ] Rudolf Steiner: Once you have sent the children outside, you can later have them translate what they saw into a drawing and ensure that there is a certain parallelism between the drawing and what the children observed outside. It is only advisable not to introduce too much of this linear work all at once. It is very important to teach these things to the children, but if you try to cover too much at once, you’ll reach a point where the children can no longer grasp it. You can incorporate this into geography and geometry. The approximate conclusion of such lessons would be to develop the concepts of the ecliptic and coordinates.

Elfriede Herrmann führt das gleiche Thema, Sonnenaufgang und Sonnenuntergang, für kleinere Kinder aus und versucht, den Gang der Sonne und der Planeten durch eine schematische Zeichnung klarzumachen.

Elfriede Herrmann explores the same topic—sunrise and sunset—for younger children and attempts to illustrate the paths of the sun and the planets using a schematic drawing.

[ 42 ] Rudolf Steiner: Nun, es wird diese Auffassung immer mehr an Bedeutung abnehmen, weil das seither Angenommene über diese Bewegungen nicht ganz richtig ist. In Wirklichkeit hat man es zu tun mit einer solchen Bewegung (Rudolf Steiner zeichnet an die Tafel):

[ 42 ] Rudolf Steiner: Well, this view will become less and less significant, because what has been assumed about these movements up to now is not entirely correct. In reality, we are dealing with a movement like this (Rudolf Steiner draws on the board):

[ 43 ] Da ist zum Beispiel (1. Stellung) einmal hier die Sonne; da ist Saturn, Jupiter, Mars, und da ist Venus, Merkur, Erde. Nun bewegen sich die alle in der angegebenen Richtung (Schraubenlinie) so hintereinander fort, daß, wenn die Sonne dann da herübergekommen ist (2. Stellung), so ist Saturn, Jupiter, Mars hier, Venus, Merkur und die Erde da. Und jetzt dreht sich die Sonne weiter und geht dahin (3. Stellung). Dadurch wird der Schein hervorgerufen, als wenn sich die Erde um die Sonne drehte. In Wahrheit geht die Sonne voran, und die Erde kriecht immer nach.

[ 43 ] For example (1st position), here is the Sun; there are Saturn, Jupiter, and Mars; and there are Venus, Mercury, and Earth. Now they all move in the indicated direction (helical path) one after the other in such a way that, when the Sun has moved over here (2nd position), Saturn, Jupiter, and Mars are here, while Venus, Mercury, and Earth are there. And now the Sun continues to rotate and moves over there (3rd position). This creates the illusion that the Earth is revolving around the Sun. In reality, the Sun leads the way, and the Earth is always trailing behind.

Leonie von Mirbach gibt eine Darstellung aus der altägyptischen Kultur.

Leonie von Mirbach provides an account of ancient Egyptian culture.

[ 44 ] Rudolf Steiner: Vor allem müßte man dazu übergehen, das vorzubringen, was das ganz andere Prinzip der Nachbildung ist. Es besteht bei den alten Ägyptern der Mangel, daß sie unperspektivisch sehen. Es malt der alte Ägypter das Gesicht im Profil und den übrigen Körper en face. Diese Eigentümlichkeit der Auffassung müßte man den Kindern schon beibringen.

[ 44 ] Rudolf Steiner: Above all, we must begin to emphasize what constitutes the entirely different principle of representation. The ancient Egyptians suffered from a lack of perspective in their view of the world. The ancient Egyptians painted the face in profile and the rest of the body full-face. This peculiarity of perception should be taught to children from an early age.

[ 45 ] Dann müßte man herstellen den Zusammenhang des ägyptischen Zeichnens und Malens mit dem naturgeschichtlichen Prinzip, das sie hatten, daß sie die Menschen mit Tierköpfen machten und so weiter. Schon in alten Zeiten ist die Vergleichung des Menschen mit den Tieren sehr weit getrieben worden. Man könnte dann dem Kinde dasjenige beibringen, was veranlagt ist in jedem menschlichen Kopf und was zum Teil das Kind heute noch sieht. Die Ägypter haben noch diese Verwandtschaft der Menschenphysiognomie mit den Tieren wahrgenommen. Sie waren noch auf dieser kindlichen Stufe der Anschauung.

[ 45 ] Then one would have to establish the connection between Egyptian drawing and painting and the natural-historical principle behind them—namely, that they depicted humans with animal heads and so on. Even in ancient times, the comparison of humans with animals was taken to extremes. One could then teach the child what is inherent in every human mind and what the child still perceives to some extent today. The Egyptians still perceived this kinship between human physiognomy and animals. They were still at this childlike stage of perception.

Leonie von Mirbach fragt bei der Besprechung der Pyramiden, was man eigentlich den Kindern darüber sagen solle.

In her discussion of the pyramids, Leonie von Mirbach asks what one should actually tell children about them.

[ 46 ] Rudolf Steiner: Ja, es ist natürlich außerordentlich wichtig, allmählich zu versuchen, auch für die Kinder das Richtige an die Stelle des Falschen zu setzen. Tatsächlich waren die Pyramiden ja Einweihungsstätten. Und da kommt man ja nun dahin, daß man den Kindern den Begriff des höheren ägyptischen Unterrichts, der zu gleicher Zeit eine Einweihung war, beibringt. Man muß etwas erzählen davon, was da vorgegangen ist. Es sind da religiöse Handlungen ausgeführt worden, wie sie heute in den Kirchen ausgeführt werden, die aber zugleich dazu führten, daß das Weltall erkannt werden konnte. Der alte Ägypter hat eben so gelernt, daß ihm vorgezeigt worden ist in feierlichen Handlungen, was sich im Weltall und in der Menschheitsentwickelung vollzieht. Es war religiöse Übung und Unterricht eines. Es war so, daß Unterricht und religiöse Handlung eigentlich zusammenfielen.

[ 46 ] Rudolf Steiner: Yes, it is, of course, extremely important to gradually try to replace what is wrong with what is right, even for the children. In fact, the pyramids were indeed places of initiation. And so we come to the point where we teach children about the concept of higher Egyptian instruction, which was at the same time an initiation. We must tell them something about what took place there. Religious rituals were performed there, just as they are performed in churches today, but these rituals also led to an understanding of the universe. The ancient Egyptians learned precisely in this way: through solemn rituals, they were shown what takes place in the universe and in the evolution of humanity. Religious practice and instruction were one and the same. In fact, instruction and religious ritual were essentially one and the same.

Leonie von Mirbach beschreibt die Arbeit an den Pyramiden und Obelisken und sagt, daß man annehmen müsse, daß zum Herbeischaffen, Bearbeiten und Einbauen der riesigen Blöcke mehrere Millionen Menschen benötigt sein müßten. Man müsse sich fragen, wie es überhaupt möglich gewesen sei, mit den damaligen technischen Hilfsmitteln die großen, schweren Kalk- und Granitblöcke zu bewegen und aufzuschichten.

Leonie von Mirbach describes the work on the pyramids and obelisks and says that one must assume that several million people would have been needed to transport, cut, and install the enormous blocks. One has to wonder how it was even possible, with the technical tools available at the time, to move and stack the large, heavy limestone and granite blocks.

[ 47 ] Rudolf Steiner: Ja, aber ganz richtige Vorstellungen werden Sie bei den Kindern nur hervorrufen, wenn Sie ihnen sagen, daß, wenn die Menschen mit der heutigen Körperkraft arbeiten würden, man zweieinhalbmal soviel Menschen brauchen würde. Aber in Wahrheit haben die Ägypter ja zweieinhalbmal soviel Körperkräfte gehabt wie unsere heutigen Menschen, wenigstens die, die an den Pyramiden und so weiter gearbeitet haben. Es gab natürlich auch schwächere Menschen.

[ 47 ] Rudolf Steiner: Yes, but you will only give the children a completely accurate mental image if you tell them that if people worked with the physical strength they have today, we would need two and a half times as many people. But in reality, the Egyptians did have two and a half times as much physical strength as people today—at least those who worked on the pyramids and so on. Of course, there were also weaker people.

Leonie von Mirbach fragt, ob auch auf die Mythologie einzugehen wäre.

Leonie von Mirbach asks whether mythology should also be addressed.

[ 48 ] Rudolf Steiner: Ja, nicht wahr, wenn man die ägyptische Mythologie nicht in ihrer wahren Gestalt darstellen kann, so muß man sie eben weglassen. Kann man aber die ägyptische Mythologie in der wahren Gestalt darstellen, dann soll man es tun. In der Waldorfschule wird es ganz gut sein, die richtigen Begriffe von der ägyptischen Mythologie, die Sie ja ganz gut kennen, schon den Kindern beizubringen, wenn man überhaupt darauf eingehen will.

[ 48 ] Rudolf Steiner: Yes, isn’t that right? If one cannot present Egyptian mythology in its true form, then one simply has to leave it out. But if one can present Egyptian mythology in its true form, then one should do so. In the Waldorf school, it would be quite good to teach the children the correct concepts of Egyptian mythology—which you know quite well—if one wishes to address the subject at all.

Alexander Strakosch führt nun aus die Erarbeitung des Begriffes «Geometrischer Ort» an Kreis, Ellipse, Hyperbel, Lemniskate:

Alexander Strakosch now explains the development of the concept of “geometric locus” using the circle, ellipse, hyperbola, and lemniscate as examples:

Wie ist es möglich, dem Kinde den Begriff Ellipse, Hyperbel, Kreis, Lemniskate und den Begriff des geometrischen Ortes beizubringen? Dies kann natürlich erst ziemlich am Ende des Volksschulunterrichtes, also im 14. Lebensjahr geschehen. Der Begriff des geometrischen Ortes ist untrennbar von den genannten Kurven, und diese können geradezu dazu benutzt werden, ihn den Kindern näherzubringen.

How is it possible to teach children the concepts of the ellipse, hyperbola, circle, lemniscate, and the concept of a locus? Of course, this can only happen toward the end of elementary school, that is, at age 14. The concept of a locus is inseparable from the curves mentioned, and these can be used specifically to help children understand it.

Schon im vorhergehenden Unterricht kann vorgebaut werden, indem man auf die Linien hinweist, längs derer gewisse Bedingungen herrschen bzw. erfüllt sind, zum Beispiel zeige man einmal an einem weithin sichtbaren Gegenstand in der Natur, dass es eine Linie gibt, die alle Punkte verbindet, von welchen aus man diesen Punkt gerade noch sieht, indem man mit den Kindern diese Linie aufsucht und dann in eine entworfene Kartenskizze eintragen lässt. Desgleichen mache man aufmerksam auf Vegetationsgrenzen in horizontaler und vertikaler Richtung, zum Beispiel nördlichste Grenze des Weinbaues, Höhengrenze des Getreidebaues und auch auf die Grenze des ewigen Schnees.

You can lay the groundwork as early as the previous lesson by pointing out the lines along which certain conditions apply or are met; for example, by using a natural object visible from a distance to demonstrate that there is a line connecting all the points from which this object is just barely visible—by having the children locate this line and then mark it on a sketch map. Similarly, draw attention to vegetation boundaries in both horizontal and vertical directions—for example, the northernmost limit of viticulture, the altitude limit for grain cultivation, and the boundary of perpetual snow.

Hauptsächlich kann aber im Geometrieunterricht selbst vorgebaut werden durch gewisse einfache Aufgaben, zum Beispiel: Wo liegen die Spitzen aller Dreiecke, die eine gemeinsame Basis und gleichen Flächeninhalt haben? (Auf zwei parallelen Geraden.) Oder: Wo liegen alle Punkte, die von zwei Punkten gleich weit entfernt sind? (Auf einer Geraden, welche senkrecht steht auf der Verbindungslinie der beiden Punkte und diese Verbindungslinie halbiert.) Letztere Aufgabe ist besonders wichtig, weil sie ganz selbstverständlich zum bipolaren (zweipoligen) System hinführt, in welchem die oben genannten Linien dargestellt werden müssen. Man kann nun etwa so zu den Kindern sprechen: Nun wollen wir einmal nicht das Rechnen anwenden auf Zahlenbeispiele, wir wollen hingegen uns die vier Grundrechnungsarten in ihrer Gesetzmäßigkeit anschaulich machen in der Form von geometrischen Gebilden. Wir wollen sie uns geradezu vor die Augen stellen, indem wir die vier Grundrechnungsarten nicht mit Ziffern, sondern auf der Fläche geometrisch ausführen. Die vier Rechnungsarten sind: Addition, Subtraktion usw. Um aber mit dem Addieren beginnen zu können, müssen wir gleiche Gegenstände vor uns haben und uns klarmachen, dass die Einheiten, von denen wir ausgingen und die in jeder Zahl darinnenstecken, eben alle einander gleich gedacht werden müssen, sonst kann man gar nicht anfangen zu zählen. Wir fragen also:

However, in geometry class, models can often be constructed directly through certain simple problems, for example: Where are the vertices of all triangles that share a common base and have the same area? (On two parallel lines.) Or: Where are all the points that are equidistant from two given points? (On a line that is perpendicular to the line connecting the two points and bisects that line.) The latter problem is particularly important because it naturally leads to the bipolar (two-pole) system in which the lines mentioned above must be represented. We can now speak to the children something like this: Let’s not apply arithmetic to numerical examples for once; instead, let’s visualize the four basic arithmetic operations in terms of their underlying principles using geometric figures. Let’s picture them clearly in our minds by performing the four basic arithmetic operations not with digits, but geometrically on a plane. The four arithmetic operations are: addition, subtraction, etc. But in order to begin with addition, we must have identical objects in front of us and realize that the units from which we started—and which are contained in every number—must all be considered equal to one another; otherwise, we cannot even begin to count. So we ask:

Erstens: Wo liegen alle Punkte, die von einem gegebenen Punkte den gleichen Abstand haben? Man stecke einen Nagel in die Tafel, binde ein Stückchen Kreide an einen Faden, den man an dem Nagel befestigt, und beschreibe so einen Kreis; das ist anschaulicher als mit dem Zirkel; dann zeigt man, dass es große und kleine Kreise gibt. Diese Linie heißt der Gleichheitskreis, und alle Punkte, die von einem gegebenen Punkte gleich weit entfernt sind, liegen auf seinem Umfang.

First: Where are all the points that are equidistant from a given point? Drive a nail into the blackboard, tie a piece of chalk to a string, attach the string to the nail, and draw a circle in this way; this is more intuitive than using a compass; then one can show that there are large and small circles. This line is called the circle of equality, and all points that are the same distance from a given point lie on its circumference.

Zweitens: Wo liegen alle Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten immer gleich groß ist, also:

Second: Where are all the points for which the sum of the distances from two given points is always the same, that is:

$$a + b = c?$$

$$a + b = c?$$

Hier müssen wir zwei Punkte machen, von denen aus wir die in ihrer Summe gleichen, aber voneinander im Allgemeinen verschiedenen Abstände gleichsam in den Raum werfen können, gerade wie wir zwei Zahlen haben müssen, die wir addieren. Würden wir die Abstände von einem Punkte auftragen, so würden wir ja nur eine Zahl an der andern messen, sie mit ihr vergleichen, aber nicht addieren. Je nachdem wir die zwei Punkte näher oder weiter auseinandersetzen, können wir bei fest beibehaltenem c verschiedene Formen der Ellipse (so heißt diese Linie) erhalten.

Here we must define two points from which we can, as it were, project into space distances that are equal in sum but generally different from one another—just as we must have two numbers to add together. If we were to plot the distances from a single point, we would merely be measuring one number against another, comparing it to that number, but not adding them together. Depending on whether we place the two points closer together or farther apart—while keeping c constant—we can obtain various shapes of the ellipse (that is the name of this curve).

Wir stecken zwei Stifte in die Tafel, binden einen Faden mit seinen beiden Enden an je einen derselben, aber so, dass er nicht gespannt ist, sondern ziemlich durchhängt; dann spannen wir den Faden durch ein Stück Kreide und bewegen dieses so, wie es der stets gespannt zu erhaltende Faden erheischt, und erhalten so die Ellipse. Die beiden festen Punkte, in die wir die Stifte stecken, werden Brennpunkte genannt. (Man ist vom Kreis her gewöhnt, sich mehr oberflächlich an die immer gleich bleibende äußere Form zu halten; bei der Betrachtung der verschiedenen Formen der Ellipse muss man lernen, sich in den Charakter der der Ellipse eigenen Krümmung hineinzufühlen.)

We insert two pins into the board, tie a string with its two ends to each of the pins, but in such a way that it is not taut but hangs down quite loosely; then we thread the string through a piece of chalk and move the chalk as required by the string, which must remain taut at all times, and in this way obtain the ellipse. The two fixed points where we insert the pins are called foci. (When considering circles, we are accustomed to focusing more superficially on their consistently unchanging outer shape; when examining the various forms of the ellipse, we must learn to appreciate the nature of the curvature inherent to the ellipse.)

Drittens: Bei der Darstellung der Subtraktionslinie, der Hyperbel, bedarf es einer kleinen Vorbereitung; diese Linie ist der geometrische Ort aller Punkte, für welche die Differenz der Abstände von zwei gegebenen Punkten gleich ist. Man nimmt also zwei Stück Schnüre und bindet sie in gleichen Abständen mit einem Faden zusammen, sodass schließlich zwei ungleiche Enden übrig bleiben, deren Differenz uns darstellt die gleichbleibende Differenz aller Radien-Vektoren (Lichtstrahlen) - das sind die Linien, die von irgendeinem Punkt der Kurve zu den beiden Brennpunkten führen.

Third: The representation of the line of subtraction—the hyperbola—requires a little preparation; this line is the set of all points for which the difference in distances from two given points is equal. So take two pieces of string and tie them together at equal intervals with a thread, so that two unequal ends remain, the difference between which represents the constant difference of all radius vectors (rays of light)—that is, the lines leading from any point on the curve to the two focal points.

Stecken wir wieder die zwei Stifte in die Tafel, befestigen an je einem die ungleichen Enden, spannen die Schnüre mit der Kreide und machen dort einen Punkt, so ist das ein Punkt der Hyperbel. Dasselbe wiederholen wir nach unten und erhalten einen Punkt, der symmetrisch zum ersten liegt, mit Bezug auf die Verbindungslinie des Brennpunktes, dann schneiden wir den ersten Bund auf, spannen die Schnüre von Neuem und erhalten einen zweiten Punkt und den zu ihm symmetrischen usw., so lange die Schnur oder die Tafel reicht. Verbindet man alle diese Punkte, so erhält man eine Linie, die nicht geschlossen ist wie Kreis und Ellipse, sondern sich nach beiden Seiten immer mehr von den Brennpunkten entfernt. Da man nun die Subtraktion auf zweierlei Arten ausführen kann, obliegt es noch, die beiden Enden bezüglich der Befestigung an den Stiften zu vertauschen. Wiederholt man dann denselben Vorgang, so erhält man den zweiten Ast der Hyperbel, er ist symmetrisch zum ersten mit Bezug auf eine Gerade, die im Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Brennpunkte senkrecht steht. Beide Äste zusammen bilden erst die Hyperbel, die auch wieder je nach Wahl der Brennpunkte und der Konstanten verschiedenen Charakter annehmen kann. Es wird also hier die Anforderung gestellt, zwei nicht zusammenhängende Linien als eine Kurve zu empfinden, ein weiterer Schritt in das Sich-Hineinleben in Gesetzmäßigkeiten.

If we insert the two pins back into the board, attach the unequal ends to each one, stretch the strings with the chalk, and mark a point there, that is a point on the hyperbola. We repeat the same process downward and obtain a point that is symmetrical to the first with respect to the line connecting the foci; then we cut open the first loop, stretch the strings again, and obtain a second point and the point symmetrical to it, and so on, as long as the string or the board allows. If we connect all these points, we obtain a line that is not closed like a circle or an ellipse, but rather moves farther and farther away from the foci on both sides. Since subtraction can be performed in two different ways, we still need to swap the two ends with respect to their attachment to the pins. If one then repeats the same process, one obtains the second branch of the hyperbola; it is symmetric to the first with respect to a straight line that is perpendicular to the line connecting the two foci. Only together do both branches form the hyperbola, which can also take on different characteristics depending on the choice of foci and constants. The challenge here, then, is to perceive two unrelated lines as a single curve—a further step toward immersing oneself in mathematical laws.

Viertens: Noch reicher in ihrer geometrischen Erscheinungsform stellt sich die Multiplikation dar. Hier nimmt die Kurve je nach Wahl der Konstanten, des konstanten Produktes und der Entfernung der Brennpunkte drei verschiedene Formen an. Die erste Form ähnelt der Ellipse, hat aber natürlich einen ganz anderen Krümmungscharakter, die zweite hat beiläufig die Gestalt einer liegenden Acht, die dritte besteht aus zwei Ästen, von denen aber jeder wieder eine geschlossene Kurve darstellt. Diese letztere Form unterscheidet sich von der zweiten im Wesentlichen dadurch, dass das Mittelstück nicht im dreidimensionalen Raum liegt; wenn wir die Kurve in der zweiten Form einführen, kommen wir kontinuierlich von einem Punkt zum andern, tun wir das bei der dritten Form, so müssen wir im Sinne der Pfeile, dort, wo die punktierte Linie ist, einen Sprung aus dem Raume heraus und wieder in den Raum machen. Die beiden Stücke sind nicht offen, wie die Äste der Hyperbel, die in unendlicher Entfernung, aber innerhalb der Ebene auseinanderlaufen, es gibt auch nicht Punkte außerhalb der Konstruktionsebene, aber innerhalb des Raumes, die Kurve verlässt den Raum.

Fourth: Multiplication presents an even richer variety of geometric forms. Here, depending on the choice of constants, the constant product, and the distance between the foci, the curve takes on three different forms. The first form resembles an ellipse but, of course, has a completely different curvature; the second incidentally takes the shape of a horizontal figure-eight; the third consists of two branches, each of which, in turn, forms a closed curve. This latter form differs from the second essentially in that the central section does not lie in three-dimensional space; when we trace the curve in the second form, we move continuously from one point to another, but when we do so in the third form, we must—in the direction of the arrows, where the dotted line appears—make a jump out of space and back into space. The two segments are not open, like the branches of a hyperbola that diverge at infinite distance but remain within the plane; nor are there points outside the plane of construction but within space—the curve leaves space.

Rudolf Steiner fügt hinzu, dass sich die beiden Striche zueinander verhalten wie Herz und Zirbeldrüse.

Rudolf Steiner adds that the two lines relate to each other like the heart and the pineal gland.

Alexander Strakosch weiter: Am lebendigsten wird dies, wenn man die Konstruktion selbst ausführt - , was ja im Unterricht ohnehin geschehen muss und dann erlebt, wie sich die realen Punkte zu den zwei geschlossenen Ästen zusammenschließen und dann die Punkte imaginär werden, das heißt die Zirkelschnitte sich nicht mehr treffen. Die Bedingungen der Konstruktion sind, dass das Produkt der Radien-Vektoren stets gleich bleibe, also \{a \dot b = c \dot c\). Wir können also auch schreiben a \(\dot b = c^2\) und erhalten so einen Ausdruck, welcher auf der einen Seite ein Rechteck \(a \dot b\), auf der anderen Seite ein ihm flächengleiches Quadrat \(c^2\) darstellt. Wir erhalten also alle Radien-Vektoren oder Leitstrahlen, indem wir alle oder wenigstens eine genügende Anzahl von Rechtecken konstruieren, die dem gegebenen Quadrate flächengleich sind, die Seiten je eines solchen Rechteckes sind dann zwei zusammengehörige Leitstrahlen, die von den beiden Brennpunkten nach oben und unten auf getragen immer je vier Punkte auf der Kurve geben. Mit Rücksicht auf die Vertauschbarkeit der Faktoren bei der Multiplikation muss man eben einmal vom rechten und dann einmal vom linken Brennpunkt aus auftragen, das heißt in den Zirkel nehmen und damit einen Kreis beschreiben, dasselbe sodann mit \(b\).

Alexander Strakosch continues: This becomes most vivid when you carry out the construction yourself—which, of course, must be done in class anyway—and then observe how the real points converge into the two closed branches, after which the points become imaginary, meaning that the compass cuts no longer intersect. The conditions for the construction are that the product of the radius vectors must always remain constant, i.e., \{a \dot b = c \dot c\}. We can therefore also write a \(\dot b = c^2\), which gives us an expression representing, on one side, a rectangle \(a \dot b\), and on the other side, a square \(c^2\) with the same area. We thus obtain all radius vectors—or guiding rays—by constructing all, or at least a sufficient number, of rectangles that have the same area as the given square; the sides of each such rectangle are then two corresponding guiding rays, which, when extended upward and downward from the two foci, each yield four points on the curve. Taking into account the commutativity of the factors in the multiplication, one must first draw from the right focal point and then from the left focal point; that is, place the point in the compass and use it to describe a circle, then repeat the same process with \(b\).

Die Konstruktion wird mit Hilfe der bekannten Dreiecksverwandlung ausgeführt, da sich jedes Parallelogramm aus zwei kongruenten entsprechend zur Diagonale liegenden Dreiecken zusammengesetzt denken lässt.

The construction is performed using the well-known triangle transformation, since every parallelogram can be thought of as composed of two congruent triangles lying along the diagonal.

Es ist ein Dreieck ABC in ein anderes von bestimmter Grundlinie \(a\), aber gleicher Fläche zu verwandeln. Man verbindet den Endpunkt \(B’\) der neuen Grundlinie mit der Spitze \(C\) und erhält so ein Dreieck \(AB’C\), dass nun das schraffierte Dreieck \(B’CA\) größer ist als das ursprüngliche. Zieht man nun eine Parallele zu \(B’C\) durch \(B\), so erhält man ein Trapez \(BB’CD\), und die Dreiecke \(B’CB\) und \(B’CD\) sind flächengleich; die Grundlinie ist gemeinsam und die Höhen gleich, weil ihre Spitzen \(D\) und \(B\) auf einer Parallele zur gemeinsamen Grundlinie \(B’C\) liegen. Wenn wir also zu dem Dreieck \(ABC\) ein Dreieck \(B’CB\) hinzufügen und dann ein diesem zweiten Dreieck flächengleiches \(B’DB\) fortnehmen, so erhalten wir ein dem ursprünglichen Dreieck \(ABC\) flächengleiches \(AB’D\); man sieht also in dem gegebenen Quadrat \(= c^2\) eine Diagonale, vollführt jetzt mit dem einen sich ergebenen Dreieck nochmals die eben angeführte Verwandlung und erhält so eine Reihe von Leitstrahlen.

A triangle ABC is to be transformed into another triangle with a given base \(a\) but the same area. Connect the endpoint \(B’\) of the new base to vertex \(C\) to form a triangle \(AB’C\), such that the hatched triangle \(B’CA\) is now larger than the original one. If we now draw a line parallel to \(B’C\) through \(B\), we obtain a trapezoid \(BB’CD\), and the triangles \(B’CB\) and \(B’CD\) have equal areas; they share a common base and have equal heights because their vertices \(D\) and \(B\) lie on a line parallel to the common base \(B’C\). So if we add a triangle \(B’CB\) to the triangle \(ABC\) and then remove a triangle \(B’DB\) with the same area as this second triangle, we obtain a triangle \(AB’D\) with the same area as the original triangle \(ABC\); Thus, in the given square \(= c^2\), we draw a diagonal; we then perform the transformation just described once more on the resulting triangle and thereby obtain a series of guiding rays.

Eine zweite Konstruktion ist noch einfacher und beruht auf dem Satz von den geometrischen Proportionalen. In nachstehender Figur verhält sich \(a : c = c : b\), also \(a - b = c^2\).

A second construction is even simpler and is based on the theorem of geometric proportions. In the figure below, \(a : c = c : b\), so \(a - b = c^2\).

Da der Winkel im Halbkreis ein rechter ist, so lässt man also das beim Zeichnen verwandelte Dreieck sich um seine obere Spitze C drehen und erhält so zu beiden Seiten des Punktes D Abschnitte auf der durch A und B bestimmten Waagrechten: \(a’\), \(b’\), \(a”\), \(b”\), welche wieder Paare von Leitstrahlen darstellen.

Since the angle in the semicircle is a right angle, we rotate the triangle—which was transformed during the drawing process—around its upper vertex C. This yields segments on either side of point D along the horizontal line defined by A and B: \(a’\), \(b’\), \(a”\), \(b”\), which again represent pairs of guide rays.

Fünftens: Schließlich haben wir noch die Division darzustellen. Jedes Verhältnis kann man ansehen als eine nicht ausgeführte Division. Wir erhalten eine Reihe von Proportionen, wenn wir die zwei Schenkel eines spitzen Winkels mit einer Schar von parallelen Geraden schneiden.

Fifth: Finally, we must represent division. Every ratio can be viewed as an unperformed division. We obtain a series of proportions when we intersect the two sides of an acute angle with a set of parallel lines.

Es sind dann immer die durch die Winkelschenkel an den Parallelen abgeschnittenen Strecken und die Länge des Schenkels bis zu der betreffenden Parallele proportional.

In this case, the segments cut off by the sides of the triangle at the parallels and the length of the side up to the respective parallel are always proportional.

Die Konstruktion ergibt einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Verbindungslinie der Brennpunkte liegt, aber mit keinem derselben zusammenfällt. (Man könnte natürlich auch hier die Brennpunkte bzw. die Leitstrahlen vertauschen, wie wir es vorher getan haben, und würden dann einen zweiten Kreis erhalten. In diesem Falle, wo es sich eben um die Darstellung der Division, also einer nicht umkehrbaren Rechnungsart handelt, hat aber der zweite Kreis keine Bedeutung.) Es ist wichtig, darauf hinzuweisen, wie verschieden der Einheitskreis und der Divisionskreis ihrer Entstehung und Wesenheit nach sind. Der Erstere ist von einem Mittelpunkt aus gebildet und umfasst die von ihm eingeschlossene Fläche ohne jede Beziehung zu dem außer ihm liegenden Teil der Ebene; der Letztere ist ganz von außen her entstanden, die imaginären Punkte liegen alle außerhalb der von ihm eingeschlossenen Fläche, er schneidet gleichsam aus der ganzen Ebene ein negatives Stück heraus. Diese Gegenüberstellung enthält ein wichtiges Gefühlsmoment -[...] der Kreis der gleichen Teile und der Kreis der Teilung [sind] als Operationen in beiden Fällen formal dasselbe Gebilde, wesentlich aber grundverschieden und sogar polar entgegengesetzt.

The construction results in a circle whose center lies on the line connecting the focal points but does not coincide with any of them. (Of course, one could also swap the focal points or the guiding rays here, as we did before, and would then obtain a second circle. In this case, however—since we are dealing with the representation of division, that is, an irreversible type of calculation—the second circle has no significance.) It is important to point out how different the unit circle and the division circle are in terms of their origin and nature. The former is formed from a center point and encompasses the area enclosed by it without any relation to the part of the plane lying outside it; the latter arises entirely from the outside; the imaginary points all lie outside the area enclosed by it; it cuts out, as it were, a negative portion from the entire plane. This juxtaposition contains an important emotional element—[...] the circle of equal parts and the circle of division [are], as operations, formally the same structure in both cases, but essentially fundamentally different and even polar opposites.