The Rudolf Steiner Archive

Dreizehnte Seminarbesprechung

Thirteenth Seminar Discussion

[ 1 ] Sprechübungen:

[ 1 ] Speaking Exercises:

Klipp plapp plick glick
Klingt Klapperrichtig
Knatternd trappend
Rossegetrippel

Clip-clap-click-clack
Sounds just right
Clattering along
The clatter of hooves

[ 2 ] Rudolf Steiner: Auswendig üben!

[ 2 ] Rudolf Steiner: Practice by Heart!

[ 3 ] Aus «Wir fanden einen Pfad» von Christian Morgenstern:

[ 3 ] From “We Found a Path” by Christian Morgenstern:

Wer vom Ziel nicht weiß,
Kann den Weg nicht haben,
Wird im selben Kreis
All sein Leben traben;
Kommt am Ende hin,
Wo er hergerückt,
Hat der Menge Sinn
Nur noch mehr zerstückt.

Wer vom Ziel nichts kennt,
Kann’s doch heut erfahren;
Wenn es ihn nur brennt
Nach dem Göttlich-Wahren;
Wenn in Eitelkeit
Er nicht ganz versunken
Und vom Wein der Zeit
Nicht bis oben trunken.

Denn zu fragen ist
Nach den stillen Dingen,
Und zu wagen ist,
Will man Licht erringen;
Wer nicht suchen kann,
Wie nur je ein Freier,
Bleibt im Trugesbann
Siebenfacher Schleier.

Whoever does not know the goal,
Cannot find the path,
Will trot in the same circle
All his life;
Arrives in the end
Where he started,
Having only further fragmented
The meaning of the whole.

Who knows nothing of the goal,
Can still discover it today;
If only he burns
For the Divine and True;
If in vanity
He is not wholly lost
And by the wine of time
Is not drunk to the brim.

For one must ask
About the silent things,
And one must dare,
If one wishes to attain light;
Whoever cannot seek,
As only a free spirit can,
Remains under the spell of delusion
Behind a sevenfold veil.

Karl Stockmeyer versucht, den Begriff der Fläche für neunjährige Kinder anschaulich zu gestalten. (Quadrate zum Messen von anderen, größeren quadratischen Flächen ausschneiden lassen, Schablonieren.)

Karl Stockmeyer attempts to make the concept of area concrete for nine-year-old children. (Have them cut out squares to measure other, larger square areas; use stencils.)

[ 4 ] Rudolf Steiner: Nicht wahr, es ist gut begreiflich zu machen, daß dann, wenn man 3 Meter als Länge einer Quadratseite hat, die Fläche 9 Quadratmeter ist, aber damit bleiben wir immer in der Sphäre, welche aus solchen anschaulichen Stücken etwas zusammensetzt, und es wird trotzdem sehr schwierig sein, da eine richtige Vorstellung der Fläche hervorzurufen.

[ 4 ] Rudolf Steiner: Isn’t it true that it is easy to understand that if the length of a side of a square is 3 meters, the area is 9 square meters? But this keeps us within the realm of constructing concepts from such concrete examples, and it will still be very difficult to evoke a true mental image of the area.

[ 5 ] Gemeint habe ich: Wie geht man richtig vor, und in welches Lebensalter kann solch ein Vorgehen fallen, um tatsächlich herauszubekommen, daß die Fläche Fläche ist und Fläche wird, wenn man die Länge mit der Breite multipliziert? Wie kommt man dazu, diesen Begriff der Fläche beim Kinde hervorzurufen? — Das hängt davon ab, wo man hineinfallen läßt diesen Unterricht über die Flächen. Da muß gesagt werden: Es ist nicht gut, den Unterricht über die Flächen dorthin fallen zu lassen, wo man die Buchstabenrechnung noch nicht durchgenommen hat. Wir können den Unterricht über die Fläche rationell erst vornehmen, wenn wir schon vorgenommen haben die Buchstabenrechnung. So ist die Antwort: Wir warten mit dem Flächenunterricht, bis wir die Buchstabenrechnung vorgenommen haben.

[ 5 ] What I meant was: What is the correct approach, and at what age can such an approach be introduced, in order to actually help children understand that an area is an area and becomes an area when you multiply length by width? How does one go about introducing this concept of area to a child? — That depends on where one introduces this lesson on area. It must be said: It is not good to introduce the lesson on area before the student has completed the lesson on letter calculations. We can only teach area effectively once we have already covered algebraic operations. So the answer is: We wait to teach area until we have covered algebraic operations.

[ 6 ] Und nun weiter die Frage: Wie bringen Sie es dahin, daß Sie mit den Kindern übergehen von der gewöhnlichen Zifferrechnung zur Buchstabenrechnung? Ich will Sie darauf leiten, und dann führen Sie es weiter aus. Sie müssen, ehe Sie zur Buchstabenrechnung übergehen, doch schon mit den Kindern durchgemacht haben die Zinsrechnungen: Zinsen sind gleich Kapital mal Prozent, mal Zeit, dividiert durch 100

[ 6 ] And now, moving on to the question: How do you go about helping the children transition from ordinary numerical calculations to letter-based calculations? I’ll guide you through this, and then you can elaborate further. Before moving on to letter calculations, you must have already worked through interest calculations with the children: Interest equals principal times the percentage, times the time, divided by 100

[ 7 ] $$Zinsen = \frac{Kapital \cdot Prozent \cdot Zeit}{100}$$

[ 7 ] $$Interest = \frac{Principal \cdot Percentage \cdot Time}{100}$$

[ 8 ] Kürzt man auf die Anfangsbuchstaben ab, so kann man schreiben:

[ 8 ] If we abbreviate using the first letters, we can write:

[ 9 ] $$Z = \frac{K \cdot P \cdot T}{100}$$

[ 9 ] $$Z = \frac{K \cdot P \cdot T}{100}$$

[ 10 ] \(T\) = tempus, lateinisch = Zeit, ist die gebräuchlichste Abkürzung für Zeit.

[ 10 ] \(T\) = tempus, Latin for “time,” is the most common abbreviation for time.

[ 11 ] Sie gehen, indem Sie zu dieser Formel kommen, von gewöhnlichen Zahlen aus, und das Kind begreift verhältnismäßig leicht, was das Kapital ist, welches die Prozente sind, welches die Zeit ist und so weiter.

[ 11 ] By arriving at this formula, you start with ordinary numbers, and the child understands relatively easily what capital is, what interest is, what time is, and so on.

Karl Stockmeyer entwickelt die Zinsrechnung in Zahlen (Aufgabe 1).

Karl Stockmeyer develops the interest calculation using numbers (Problem 1).

[ 12 ] Also diesen Vorgang werden Sie dem Kinde klarzumachen versuchen und sich überzeugen, daß die Kinder in ihrer Mehrheit die Sache begriffen haben. Und von da würden Sie zur obigen Form übergehen und immer darauf sehen, daß Regel hineinkommt.

[ 12 ] So you will try to explain this process to the child and make sure that most of the children have understood it. And from there, you would move on to the form described above, always making sure that the rule is incorporated.

[ 13 ] \(K\) ist = Kapital; \(P\) ist = Prozent; \(T\) ist = Zeit (Tempus); \(Z\) ist = Zinsen. Dann ist das oben Angegebene eine Formel, die ich mir bloß als Grundformel merke. Dadurch habe ich schon den ersten Schritt gemacht vom Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn das Kind nun diese Formel hat, so braucht es nur die Zahl einzusetzen in diese Formel, und es muß immer das Richtige herauskommen. Haben Sie die dann daraus abgeleitete Formel:

[ 13 ] \(K\) is = capital; \(P\) is = percent; \(T\) is = time; \(Z\) stands for interest. Then what is stated above is a formula that I simply memorize as a basic formula. By doing so, I have already taken the first step toward transitioning to algebra. Once the child has this formula, they only need to plug the number into it, and the result will always be correct. Do you have the formula derived from this:

$$K = \frac{Z \cdot 100}{T \cdot P}$$

$$K = \frac{Z \cdot 100}{T \cdot P}$$

[ 14 ] so können Sie sich mnemotechnisch merken, daß Sie die drei Buchstaben \(K\), \(P\), \(T\) beliebig miteinander vertauschen können, so daß sich noch folgende Möglichkeiten ergeben:

[ 14 ] As a mnemonic, you can remember that you can swap the three letters \(K\), \(P\), and \(T\) in any order, resulting in the following possibilities:

$$T = \frac{Z \cdot 100}{T \cdot P} \qquad P = \frac{Z \cdot 100}{K \cdot T}$$

$$T = \frac{Z \cdot 100}{T \cdot P} \qquad P = \frac{Z \cdot 100}{K \cdot T}$$

[ 15 ] Auf diese Weise haben wir dem Kinde Kapitalrechnung beigebracht, und jetzt können wir übergehen zum Buchstabenrechnen. Sie können ruhig sagen: Wir haben gelernt,

[ 15 ] In this way, we have taught the child how to do word problems, and now we can move on to arithmetic problems. You can safely say: We have learned,

[ 16 ] eine Summe 25 war gleich 8 mehr 7 mehr 5 mehr 5,

[ 16 ] The sum of 25 was equal to 8 plus 7 plus 5 plus 5,

$$25 = 8 + 7 + 5 + 5.$$

$$25 = 8 + 7 + 5 + 5.$$

[ 17 ] Nicht wahr, das hat das Kind einmal begriffen. Jetzt, nachdem Sie ihm das auseinandergesetzt haben, können Sie ihm sagen: «Da (statt 25) kann aber auch eine andere Summe stehen, und da (statt 8, 7, 5, 5) können andere Zahlen stehen, so daß wir auch sagen können, da stünde «irgendeine» Zahl. Also stünde da zum Beispiel: \(S\), eine Summe. Und da stünde: \(a + b +c + c\). Aber, wenn da \(c\) stünde anstelle der ersten 5, so muß es auch anstelle der zweiten 5 stehen. Gerade so, wie ich anstelle von beliebigem Kapital K einsetze, setze ich an dieser Stelle den Buchstaben c ein.»

[ 17 ] Isn't that right? The child understood that once. Now that you’ve explained it to them, you can say: “But there (instead of 25) could also be a different sum, and there (instead of 8, 7, 5, 5) could be other numbers, so that we could also say there is ‘any’ number there.” So, for example, there could be: \(S\), a sum. And there could be: \(a + b + c + c\). But if there were a \(c\) there instead of the first 5, then it must also be there instead of the second 5. Just as I substitute the letter c in place of any capital K, I substitute the letter c in this spot.”

[ 18 ] Nachdem Sie in einem konkreten Fall den Übergang von der Zahl zum Buchstaben gezeigt haben, dann können Sie nun auch den Begriff des Multiplizierens entwickeln, und aus diesem konkreten \(9 \cdot 9\) können Sie entwickeln \(a \cdot a\). Oder Sie können aus \(a \cdot 2\) entwickeln \(a \cdot b\) und so weiter. Also das würde der Weg sein, aus diesen Zahlenrechnungen überzugehen zur Buchstabenrechnung. Und aus dieser zur Flächenberechnung, \(a \cdot a = a^2.\)

[ 18 ] Once you have demonstrated the transition from numbers to letters in a specific example, you can then introduce the concept of multiplication, and from this specific example \(9 \cdot 9\), you can derive \(a \cdot a\). Or you can generalize \(a \cdot 2\) to \(a \cdot b\), and so on. So that would be the path from these numerical calculations to algebraic calculations. And from there to area calculations: \(a \cdot a = a^2.\)

[ 19 ] Aufgabe für morgen: Zinsenrechnung, recht geistreich einleuchtend entwickeln für Kinder im elften, zwölften Jahr mit dem, was dazugehört, mit der Umkehrung: Prozent-, Zeit-, Kapitalrechnung. — Dann von da aus entwickeln, wie man beleuchtet Diskontrechnung. Dann wie man dem Kinde beibringt Rabatt- und Emballagerechnung, und wie man ihm beibringt den Begriff und die Berechnung eines Wechsels. Das gehört hinein in das zwölfte und dreizehnte Jahr, so daß es für das ganze Leben bleibt; sonst wird es später immer wieder vergessen. Man kann es ja in einfacher Weise nehmen, aber da hinein gehört es. Wenn jemand dieses ordentlich kann, dann kann er die Methodik des ganzen Rechnens. Zinseszinsrechnung gehört nicht in diese Jahre hinein.

[ 19 ] Assignment for tomorrow: Interest calculations—develop a clever and clear explanation for children in their eleventh and twelfth years, including all related concepts, with the reverse process: percentage, time, and principal calculations. — Then, building on that, explain how to calculate discount. Next, teach the child how to calculate rebates and packaging costs, and how to understand the concept and calculation of a bill of exchange. This should be covered in the twelfth and thirteenth years so that it stays with them for life; otherwise, it will be forgotten time and again later on. One can certainly approach it in a simple way, but it belongs there. If someone can do this properly, then they have mastered the methodology of all arithmetic. Compound interest calculations do not belong in these years.

[ 20 ] Also organisch übergehen in die Buchstabenrechnung bis zum Multiplizieren und von da in die Flächenberechnung.

[ 20 ] Then move organically on to arithmetic with letters, up to multiplication, and from there to area calculations.

[ 21 ] Nun würde ich bitten, daß wir auf die anderen Fragen von gestern eingehen. Denn auch da ist wichtig, daß Sie die Kinder durch Rechnungstellen zur Geistesgegenwart anregen.

[ 21 ] Now I would like to ask that we address the other questions from yesterday. Because there, too, it is important that you encourage the children to think on their feet by giving them problems to solve.

Es folgen die Ausführungen einzelner Kursteilnehmer; zum Beispiel Hannah Lang schlägt die Errichtung eines kleinen Verkaufsstandes vor mit Früchten, [Gemüse], Kartoffeln und so weiter, wobei die Kinder selbstständig einkaufen, verkaufen, bezahlen, [Geld herausgeben], überhaupt selbstständig alles berechnen müssen.

Here are some comments from individual course participants; for example, Hannah Lang suggests setting up a small kiosk selling fruit, [vegetables], potatoes, and so on, where the children would have to shop, sell, pay, [give change], and calculate everything on their own.

[ 22 ] Rudolf Steiner: Dieses Kaufmannsprinzip ist ganz gut für die zweite Klasse. Und es ist gut, darauf zu bestehen, daß derjenige, dem man eine Rechnung gegeben hat, sie auch wirklich selbst löst, und daß man keinen anderen für ihn eintreten läßt. Immer das Interesse aller wachhalten!

[ 22 ] Rudolf Steiner: This business principle is quite good for the second grade. And it is good to insist that the person to whom you have given a bill actually pay it themselves, and that you not let anyone else pay it on their behalf. Always keep everyone’s interest alive!

Es wird über das Kopfrechnen gesprochen; über das Rechnen, ohne zu schreiben.

We're talking about mental math—calculating without writing anything down.

[ 23 ] Rudolf Steiner erzählt, daß Gauß als sechsjähriger Knabe einmal zu folgender Lösung gekommen sei: Gestellt war die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß überlegte sich, daß es vorteilhafter und einfacher sei, um schnell zu dem Resultat zu kommen, die gleichen Zahlen nochmals zu nehmen, sie aber so zu der ersten Reihe von 1 bis 100 anzuordnen, daß man sich die erste Reihe wie gewöhnlich von links nach recht geschrieben 1, 2, 3, 4,5... 100 vorstellen könne, darunter aber dann in umgekehrter Anordnung die zweite Reihe 100, 99,98, 97,96... 1, so daß zu stehen kommen unter die 1 die 100, unter die 2 die 99, unter die 3 die 98. Dann ergäben jedesmal die beiden untereinanderstehenden Zahlen addiert die Summe 101. Die Summe müsse hundertmal genommen werden, ergibt 10100, und müsse dann nur noch — weil man darin ja zweimal die Zahlen von 1 bis 100 addiert hat, einmal vorwärts, einmal rückwärts - halbiert werden, ergibt 5050. So löste Gauß zum nicht geringen Erstaunen seines Lehrers damals im Kopf diese gestellte Aufgabe.

[ 23 ] Rudolf Steiner recounts that Gauss, as a six-year-old boy, once arrived at the following solution: The problem was to add the numbers from 1 to 100. Gauss reasoned that, to arrive at the result quickly, it would be more advantageous and simpler to take the same numbers again, but to arrange them in the first sequence from 1 to 100 in such a way that one could visualize the first sequence—written as usual from left to right—as 1, 2, 3, 4, 5... 100, but with the second sequence—100, 99, 98, 97, 96… 1—arranged in reverse order directly below it, so that 100 appears below the 1, 99 below the 2, and 98 below the 3. Then, each time, the two numbers directly below one another, when added together, would yield the sum 101. The sum must be taken a hundred times, resulting in 10,100, and then—since it consists of adding the numbers from 1 to 100 twice, once forward and once backward—it must simply be halved, resulting in 5,050. This is how Gauss solved this problem in his head at the time, much to the astonishment of his teacher.

Karl Stockmeyer führt unter anderen zwei [Arten von Aufgaben] an: Erstens Zeit- und Streckenberechnung, wenn Lokomotiven mit verschieden großem Durchmesser und Radumfang gegeben sind; zweitens Aufgaben mit Voll- und Auslaufenlassen von Gefäßen mit verschieden weiter Ausflussrohre.

Karl Stockmeyer cites, among other things, two [types of problems]: First, calculating time and distance when locomotives with different wheel diameters and circumferences are given; second, problems involving filling and emptying vessels with spouts of varying widths.

Rudolf Meyer gibt noch ein weiteres Beispiel zur Veranschaulichung von Rechnungen mit Maßen.

Rudolf Meyer provides yet another example to illustrate calculations involving measurements.

[ 24 ] Rudolf Steiner: Beim Ausdenken von Rechenaufgaben kann man Phantasie verwenden. Man kann Geistesgegenwart erzeugen durch Bewegungsaufgaben. Sie können mit dem gestrigen Beispiel zur Praxis übergehen, wenn Sie sagen: Ich habe einen Eilboten fortgeschickt mit einem Botenbrief. Der Brief ist gegenstandslos geworden. Ich muß einen anderen Boten fortschicken. Wie schnell muß der weiterkommen, um noch vorher anzukommen, ehe der Brief sein Unheil angerichtet hat? Wenigstens annähernd soll das Kind das berechnen können, das ist ganz gut.

[ 24 ] Rudolf Steiner: You can use your imagination when devising math problems. You can cultivate quick thinking through movement exercises. You can put yesterday’s example into practice by saying: “I sent a courier on his way with a letter. The letter has become meaningless.” I have to send another messenger. How fast must he travel to arrive before the letter has caused any harm? The child should be able to calculate this, at least approximately—that’s quite good.

Ein Teilnehmer weist auf Fehlerrechnungen hin.

A participant points out calculation errors.

[ 25 ] Rudolf Steiner: Solche Fehlerrechnungen sind überhaupt sehr üblich. Es ist üblich, daß man gleich die Fehler miteinrechnet. Nun, in einem Punkte wird heute eine solche Fehlerrechnung gemacht und wird einmal korrigiert werden müssen. Als Kopernikus sein «Kopernikanisches System» aufgestellt hat, stellte er drei Lehrsätze auf. Würde man alle drei benützen, um den Weg der Erde durch den Weltenraum zu skizzieren, so würde man eine ganz andere Bewegung bekommen, als sie jetzt von unseren Astronomen angenommen und auf unseren Schulen gelehrt wird. Diese elliptische Bewegung wird nur dadurch möglich, daß man den dritten Lehrsatz unberücksichtigt läßt. Wenn der Astronom sein Fernrohr hinausrichtet, so stimmen die Dinge nicht. Zu diesem Zweck setzt man auch Fehler in Rechnung; durch die Besselschen Gleichungen werden jedes Jahr Fehler eingesetzt für das, was in der Wirklichkeit nicht stimmt. Die Besselschen Fehlergleichungen, in denen steckt der dritte Satz des Kopernikus.

[ 25 ] Rudolf Steiner: Such error calculations are very common. It is customary to factor in the errors right from the start. Well, there is one point today where such an error calculation is being made, and it will have to be corrected at some point. When Copernicus established his “Copernican System,” he formulated three principles. If one were to use all three to outline the Earth’s path through space, one would arrive at a movement entirely different from what is currently assumed by our astronomers and taught in our schools. This elliptical motion is only possible by disregarding the third principle. When the astronomer points his telescope outward, the observations do not match reality. To account for this, errors are factored in; through Bessel’s equations, errors are incorporated each year to correct for what is actually incorrect. Bessel’s error equations—that is where Copernicus’s third principle lies.

[ 26 ] Methodisch muß man so verfahren, daß man das Kind nicht bloß beschäftigt mit ausgedachten Beispielen, sondern daß man zu praktischen Beispielen aus dem Leben kommt. Man muß alles ins Praktische auslaufen lassen. Dabei kann man immer durch Folgendes das Vorhergehende befruchten lassen und umgekehrt.

[ 26 ] Methodologically, one must proceed in such a way that the child is not merely occupied with hypothetical examples, but that one arrives at practical examples drawn from real life. Everything must be brought down to the practical level. In doing so, one can always use what follows to enrich what came before, and vice versa.

[ 27 ] In was würden Sie alle diese Bewegungsberechnungen, das Auslaufen von Flüssigkeiten durch kleine Löcher langsam, durch große schnell, die Kreisbewegungsaufgaben an Maschinen mit verschieden großen Rädern - in was würden Sie das auslaufen lassen?

[ 27 ] What would you use to calculate all these motion problems—the flow of liquids through small holes (slowly) and through large ones (quickly), and the circular motion problems involving machines with wheels of different sizes—what would you use to work these out?

[ 28 ] Sie würden am besten dazu übergehen, den Kindern die Uhr zu erklären in ihren verschiedenen Gestalten, als Pendeluhr, Taschenuhr und so weiter.

[ 28 ] It would be best to move on to explaining clocks to the children in their various forms, such as pendulum clocks, pocket watches, and so on.

[ 29 ] Aufgaben für morgen: Erstens: Hertha Kögel, Rudolf Treichler und Leonie von Mirbach sollen ein geschichtliches Thema behandeln nach dem früher gegebenen Musterbeispiel, [kulturgeschichtlich].

[ 29 ] Assignments for tomorrow: First: Hertha Kögel, Rudolf Treichler, and Leonie von Mirhach are to address a historical topic following the model example provided earlier, [in the context of cultural history].

[ 30 ] Zweitens: [Rudolf Meyer, Friedrich Oehlschlegel, Hannah Lang und Johannes Geyer:] Behandlung von irgendetwas aus der allgemeinen Natur, Auf- und Untergang der Sonne, Jahreszeiten [oder dergleichen], das Ihnen naheliegt. Es kommt darauf an, die Unterrichtsmethode geltend zu machen.

[ 30 ] Second: [Rudolf Meyer, Friedrich Oehlschlegel, Hannah Lang, and Johannes Geyer:] Discuss any topic related to the natural world—the rising and setting of the sun, the seasons [or similar subjects]—that comes naturally to you. The key is to emphasize the teaching method.

[ 31 ] Drittens: [Paul Baumann:] Über die Prinzipien des Musikalischen im allerersten Schuljahr.

[ 31 ] Third: [Paul Baumann:] On the Principles of Music in the Very First School Year.

[ 32 ] Viertens: [Herbert Hahn:] Wie ist Poetisches zu gestalten im Englischen und Französischen? Wie ist den Kindern beizubringen das Empfinden des Poetischen in der englischen, der französischen Sprache?

[ 32 ] Fourth: [Herbert Hahn:] How should poetry be presented in English and French? How can children be taught to appreciate poetry in English and French?

[ 33 ] Fünftens: [Alexander Strakosch:] Wie ist es möglich, dem Kinde beizubringen den Begriff der Ellipse, der Hyperbel, des Kreises, der Lemniskate und den Begriff des geometrischen Ortes? — Das alles ist den Kindern beizubringen, unmittelbar bevor sie die Schule verlassen.

[ 33 ] Fifth: [Alexander Strakosch:] How is it possible to teach a child the concepts of the ellipse, the hyperbola, the circle, the lemniscate, and the concept of a locus? — All of this must be taught to children immediately before they leave school.

[ 34 ] Sechstens: irgendetwas aus dem Weltengebäude darstellen.

[ 34 ] Sixth: to depict something from the structure of the world.