The Rudolf Steiner Archive

12. Goethe und die Mathematik

12. Goethe and Mathematics

[ 1 ] Zu den Haupthindernissen, die einer gerechten Würdigung von Goethes Bedeutung für die Wissenschaft entgegenstehen, gehört das Vorurteil, das über sein Verhältnis zur Mathematik besteht. Dieses Vorurteil ist ein doppeltes. Einmal glaubt man, Goethe sei ein Feind dieser Wissenschaft gewesen und habe ihre hohe Bedeutung für das menschliche Erkennen in arger Weise verkannt; und zweitens behauptet man, der Dichter habe jede mathematische Behandlungsweise aus den physikalischen Teilen der Naturlehre, die er gepflegt, nur deshalb ausgeschieden, weil sie ihm, der sich keiner Kultur in der Mathematik erfreute, unbequem war.

[ 1 ] Among the main obstacles standing in the way of a fair assessment of Goethe’s significance for science is the prejudice surrounding his relationship to mathematics. This prejudice is twofold. First, it is believed that Goethe was an enemy of this science and grossly underestimated its great importance for human knowledge; and second, it is claimed that the poet excluded any mathematical approach from the physical aspects of natural science that he studied solely because it was inconvenient for him, as he had no formal training in mathematics.

[ 2 ] Was den ersten Punkt betrifft, so ist dagegen zu sagen, daß Goethe wiederholt in so entschiedener Weise seiner Bewunderung der mathematischen Wissenschaft Ausdruck gegeben hat, daß von einer Geringschätzung derselben durchaus nicht die Rede sein kann. Ja, er will die gesamte Naturwissenschaft von jener Strenge durchdrungen wissen, die der Mathematik eigen ist. «Die Bedächtlichkeit, nur das Nächste ans Nächste zu reihen, oder vielmehr das Nächste aus dem Nächsten zu folgern, haben wir von den Mathematikern zu lernen, und selbst da, wo wir uns keiner Rechnung bedienen, müssen wir immer so zu Werke gehen, als wenn wir dem strengsten Geometer Rechenschaft zu geben schuldig wären..» (Natw. Schr.., 2. Bd.., S. 19) «Ich hörte mich anklagen, als sei ich ein Widersacher, ein Feind der Mathematik überhaupt, die doch niemand höher schätzen kann als ich... .» [Ebenda S. 45]

[ 2 ] As for the first point, it must be said that Goethe repeatedly expressed his admiration for mathematical science in such a decisive manner that there can be absolutely no question of him holding it in low regard. Indeed, he wanted the entire field of natural science to be imbued with the rigor that is characteristic of mathematics. “We have to learn from mathematicians the deliberateness of linking only one thing to the next—or rather, of deducing the next from the previous one—and even where we do not use any calculations, we must always proceed as if we were accountable to the most rigorous geometer...” (Natw. Schr., Vol. 2, p. 19) “I heard myself being accused as if I were an adversary, an enemy of mathematics in general, which yet no one can value more highly than I do... .” [Ibid., p. 45]

[ 3 ] Was den zweiten Vorwurf betrifft, so ist er ein solcher, daß ihn kaum jemand im Ernste erheben kann, der einen Einblick in Goethes Wesen getan hat. Wie oft hat sich denn nicht Goethe gegen das Beginnen problematischer Naturen ausgesprochen, die Zielen zustreben, unbekümmert darum, ob sie sich damit innerhalb der Grenzen ihrer Fähigkeiten bewegen! Und er selbst sollte dieses Gebot überschritten, er sollte naturwissenschaftliche Ansichten aufgestellt haben, mit Hinwegsetzung über seine Unzulänglichkeit in mathematischen Dingen? Goethe wußte, daß der Wege zum Wahren unendlich viele sind, und daß ein jeder jenen wandeln kann, der seinen Fähigkeiten gemäß ist, und er kommt ans Ziel. «Jeder Mensch muß nach seiner Weise denken: denn er findet auf seinem Wege immer ein Wahres, oder eine Art von Wahrem, die ihm durchs Leben hilft; nur er darf sich nicht gehen lassen; er muß sich kontrollieren.. ..» («Sprüche in Prosa» [Natw., Schr.., 4. Bd.., 2. Abt.., S. 460]). «Der geringste Mensch kann komplett sein, wenn er sich innerhalb der Grenzen seiner Fähigkeiten und Fertigkeiten bewegt; aber selbst schöne Vorzüge werden verdunkelt, aufgehoben und vernichtet, wenn jenes unerläßlich geforderte Ebenmaß abgeht..» [Ebenda S. 443]

[ 3 ] As for the second accusation, it is of such a nature that hardly anyone who has gained insight into Goethe’s character can seriously level it. How often, after all, did Goethe speak out against the tendencies of problematic minds who strive toward goals without regard for whether they are thereby operating within the limits of their abilities! And was he himself supposed to have transgressed this principle—was he supposed to have put forward scientific views while disregarding his own inadequacy in mathematical matters? Goethe knew that there are infinitely many paths to the truth, and that anyone can follow the one that suits their abilities and still reach the goal. “Every person must think in their own way: for on their path they will always find a truth—or a kind of truth—that helps them through life; only they must not let themselves go; they must exercise self-control...” (“Prose Sayings” [Natw., Schr., Vol. 4, Part 2, p. 460]). “Even the humblest person can be complete if he remains within the limits of his abilities and skills; but even beautiful virtues are obscured, nullified, and destroyed when that indispensable balance is lacking...” [Ibid., p. 443]

[ 4 ] Es wäre lächerlich, wenn man behaupten wollte, Goethe habe, um überhaupt etwas zu leisten, sich auf ein Feld begeben, das außerhalb seines Gesichtskreises lag. Es kommt alles darauf an, festzustellen, was Mathematik zu leisten hat, und wo ihre Anwendung auf Naturwissenschaft beginnt. Darüber hat Goethe nun wirklich die gewissenhaftesten Betrachtungen angestellt. Der Dichter entwickelt da, wo es sich darum handelt, die Grenzen seiner produktiven Kraft zu bestimmen, einen Scharfsinn, der nur noch von seinem genialischen Tiefsinn übertroffen wird. Darauf möchten wir vor allem jene aufmerksam machen, die über Goethes wissenschaftliches Denken nichts anderes zu sagen wissen, als daß ihm die logischreflektierende Denkweise abging. Die Art, wie Goethe die Grenze zwischen der naturwissenschaftlichen Methode, die er anwendete, und jener der Mathematiker bestimmte, verrät eine tiefe Einsicht in die Natur der mathematischen Wissenschaft. Er wußte genau, welches der Grund der Gewißheit mathematischer Lehrsätze ist; er hatte sich eine klare Vorstellung darüber gebildet, in welchem Verhältnisse die mathematische zu der übrigen Naturgesetzlichkeit steht.

[ 4 ] It would be ridiculous to claim that Goethe, in order to achieve anything at all, ventured into a field that lay outside his sphere of interest. It all comes down to determining what mathematics is meant to accomplish and where its application to the natural sciences begins. Goethe has indeed given this matter the most thorough consideration. When it comes to defining the limits of his creative power, the poet displays a sharpness of mind surpassed only by his genius and profundity. We would like to draw the attention of those, above all, who have nothing else to say about Goethe’s scientific thinking other than that he lacked a logical, reflective way of thinking. The way in which Goethe defined the boundary between the scientific method he employed and that of mathematicians reveals a deep insight into the nature of mathematical science. He knew exactly what the basis of the certainty of mathematical theorems is; he had formed a clear conception of the relationship between mathematics and the rest of the laws of nature.

[ 5 ] Soll eine Wissenschaft überhaupt einen Erkenntniswert haben, so muß sie uns ein bestimmtes Wirklichkeitsgebiet erschließen. Es muß sich in ihr irgendeine Seite des Weltinhalts ausprägen. Die Art, wie sie das tut, bildet den Geist der betreffenden Wissenschaft. Diesen Geist der Mathematik mußte Goethe kennen, um zu wissen, was in der Naturwissenschaft ohne Hilfe des Kalküls zu erreichen ist, und was nicht. Hier liegt der Punkt, auf den es ankommt. Goethe selbst hat mit aller Bestimmtheit darauf hingewiesen. Die Art, wie er es tut, verrät eine tiefe Einsicht in die Natur des Mathematischen..

[ 5 ] If a science is to have any value as a source of knowledge at all, it must open up a specific realm of reality to us. Some aspect of the content of the world must be expressed within it. The way in which it does so constitutes the spirit of the science in question. Goethe had to understand this spirit of mathematics in order to know what can and cannot be achieved in the natural sciences without the aid of calculus. This is the crucial point. Goethe himself pointed this out with the utmost clarity. The way he does so reveals a deep insight into the nature of mathematics..

[ 6 ] Wir wollen auf diese Natur näher eingehen. Gegenstand der Mathematik ist die Größe, das, was ein Mehr oder Weniger zuläßt. Die Größe ist aber nichts an sich selbst Bestehendes. Es gibt im weiten Umkreise menschlicher Erfahrung kein Ding, das nur Größe ist. Neben anderen Merkmalen hat jedes Ding auch solche, die durch Zahlen zu bestimmen sind. Da die Mathematik sich mit Größen beschäftigt, hat sie zu ihrem Gegenstande keine in sich vollendeten Erfahrungsobjekte, sondern nur alles das von ihnen, was sich messen oder zählen läßt. Sie sondert alles, was sich der letzten Operation unterwerfen läßt, von den Dingen ab. So erhält sie eine ganze Welt von Abstraktionen, innerhalb welcher sie dann arbeitet. Sie hat es nicht mit Dingen zu tun, sondern nur mit Dingen, insofern sie Größen sind. Sie muß zugeben, daß sie da nur eine Seite des Wirklichen behandelt, und daß die letztere noch viele andere Seiten hat, über die sie keine Macht hat. Die mathematischen Urteile sind keine Urteile, die wirkliche Objekte voll umfassen, sondern sie haben nur innerhalb der ideellen Welt von Abstraktionen Gültigkeit, die wir selbst als eine Seite der Wirklichkeit von der letzteren begrifflich abgesondert haben. Die Mathematik abstrahiert die Größe und die Zahl von den Dingen, stellt die ganz ideellen Bezüge zwischen Größen und Zahlen her und schwebt so in einer reinen Gedankenwelt. Die Dinge der Wirklichkeit, insofern sie Größe und Zahl sind, erlauben dann die Anwendung der mathematischen Wahrheiten. Es ist also ein entschiedener Irrtum, zu glauben, daß man mit mathematischen Urteilen die Gesamtnatur erfassen könne. Die Natur ist eben nicht bloß Quantum; sie ist auch Quale, und die Mathematik hat es nur mit dem ersteren zu tun. Es müssen sich die mathematische Behandlung und die rein auf das Qualitative ausgehende in die Hände arbeiten; sie werden sich am Dinge, von dem sie jede eine Seite erfassen, begegnen. Goethe bezeichnet dieses Verhältnis mit den Worten: «Die Mathematik ist wie die Dialektik ein Organ des inneren höheren Sinnes; in der Ausübung ist sie eine Kunst wie die Beredsamkeit. Für beide hat nichts Wert als die Form; der Gehalt ist ihnen gleichgültig. Ob die Mathematik Pfennige oder Guineen berechne, die Rhetorik Wahres oder Falsches verteidige, ist beiden vollkommen gleich..» («Sprüche in Prosa»; Natw. Schr.., 4. Bd., 2. Abt.., S. 405). Und «Entwurf einer Farbenlehre» 724 [ebenda 3. Bd.., S. 277]: «Wer bekennt nicht, daß die Mathematik, als eines der herrlichsten menschlichen Organe, der Physik von einer Seite sehr vieles genutzt?» In dieser Erkenntnis sah Goethe die Möglichkeit, daß ein Geist, der sich in Mathematik keiner Kultur erfreut, sich mit physikalischen Problemen befassen kann. Er muß sich auf das Qualitative beschränken.

[ 6 ] Let us examine this nature more closely. The subject matter of mathematics is magnitude—that which admits of more or less. Magnitude, however, is not something that exists in and of itself. Within the broad scope of human experience, there is no thing that is merely magnitude. In addition to other characteristics, every thing also has those that can be determined by numbers. Since mathematics deals with magnitudes, its subject matter is not objects of experience that are complete in themselves, but only those aspects of them that can be measured or counted. It separates from things everything that can be subjected to the ultimate operation. In this way, it acquires a whole world of abstractions within which it then operates. It does not deal with things as such, but only with things insofar as they are magnitudes. It must admit that it deals there only with one aspect of reality, and that the latter still has many other aspects over which it has no power. Mathematical judgments are not judgments that fully encompass real objects; rather, they are valid only within the ideal world of abstractions, which we ourselves have conceptually separated from reality as a aspect of reality. Mathematics abstracts magnitude and number from things, establishes entirely ideal relationships between magnitudes and numbers, and thus hovers in a pure world of thought. The things of reality, insofar as they are magnitude and number, then permit the application of mathematical truths. It is therefore a grave error to believe that one can grasp the entirety of nature through mathematical judgments. Nature is not merely a matter of quantity; it is also a matter of quality, and mathematics deals only with the former. The mathematical approach and the approach focused purely on the qualitative must work their way toward one another; they will meet in the thing of which each grasps one aspect . Goethe describes this relationship with the words: “Mathematics, like dialectics, is an organ of the inner, higher mind; in practice, it is an art like eloquence. For both, nothing has value except form; content is of no concern to them. Whether mathematics calculates pennies or guineas, or rhetoric defends the true or the false, is entirely the same to both…” (“Sayings in Prose”; Natural Writings, Vol. 4, Part 2, p. 405). And “Outline of a Theory of Colors” 724 [ibid., Vol. 3, p. 277]: “Who does not acknowledge that mathematics, as one of the most magnificent human faculties, has been of great benefit to physics from one perspective ?” In this insight, Goethe saw the possibility that a mind that finds no cultural fulfillment in mathematics can nevertheless engage with physical problems. It must limit itself to the qualitative.