Notes from Mathilde Scholl 1904–1906
GA 91
4 November 1904, Berlin
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Kosmologie und menschliche Evolution, 1st ed.
3. Dreiecksgeometrie
3. Dreiecksgeometrie
[ 1 ] Dreiecke, die sich genau übereinanderlegen lassen, nennt man kongruent. Wenn sie sich nicht genau übereinanderlegen lassen, sondern sich so verhalten, dass man eins auf das andere legen kann, aber nicht gleich groß, heißen sie ähnlich, wenn die dritten Linien parallel sind und sich teilweise decken.
[ 1 ] Dreiecke, die sich genau übereinanderlegen lassen, nennt man kongruent. Wenn sie sich nicht genau übereinanderlegen lassen, sondern sich so verhalten, dass man eins auf das andere legen kann, aber nicht gleich groß, heißen sie ähnlich, wenn die dritten Linien parallel sind und sich teilweise decken.
[ 2 ] Eine Seite fünf Einheiten lang. Eine Seite sieben Einheiten lang.
[ 2 ] Eine Seite fünf Einheiten lang. Eine Seite sieben Einheiten lang.
[ 3 ] Um ein ähnliches Dreieck zu bekommen, verbinde ich den dritten Punkt und den fünften Punkt, dann bekomme ich zwei parallele Linien.
[ 3 ] Um ein ähnliches Dreieck zu bekommen, verbinde ich den dritten Punkt und den fünften Punkt, dann bekomme ich zwei parallele Linien.
[ 4 ] Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie übereinander gelegt sich so decken, dass sie in einem Winkel sich decken und zwei Seiten parallel laufen.
[ 4 ] Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie übereinander gelegt sich so decken, dass sie in einem Winkel sich decken und zwei Seiten parallel laufen.
[ 5 ] Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie alle Winkel gleich haben. Bei ähnlichen Dreiecken sind die dem gleichen Winkel gegenüberliegenden Seiten in den gleichen Verhältnissen.
[ 5 ] Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie alle Winkel gleich haben. Bei ähnlichen Dreiecken sind die dem gleichen Winkel gegenüberliegenden Seiten in den gleichen Verhältnissen.
[ 6 ] \(2:5 = 4:10\) eine Proportion
\(a:b = c:d\)
[ 6 ] \(2:5 = 4:10\) eine Proportion
\(a:b = c:d\)
[ 7 ] Wenn man die zwei äußeren Glieder oder die zwei inneren Glieder multipliziert, so bekommt man das gleiche Produkt: Dann ist \(a \times d = b \times c\).
[ 7 ] Wenn man die zwei äußeren Glieder oder die zwei inneren Glieder multipliziert, so bekommt man das gleiche Produkt: Dann ist \(a \times d = b \times c\).
[ 8 ] \(a + b = 90°\)
\(c + d = 90°\)
\(d + b = 90°\)
\(c + a = 90°\)
[ 8 ] \(a + b = 90°\)
\(c + d = 90°\)
\(d + b = 90°\)
\(c + a = 90°\)
[ 9 ] Das Quadrat des Lots ist gleich dem Produkt aus den zwei Teilen der Hypotenuse.
[ 9 ] Das Quadrat des Lots ist gleich dem Produkt aus den zwei Teilen der Hypotenuse.
[ 10 ] \(ABD ~ BDC\)
\(AD:BD = BD:DC\)
\(BD \times BD =AD \times DC\)
\(P^2 = d \times D\)
\(P^2 = d' \times D'\)
[ 10 ] \(ABD ~ BDC\)
\(AD:BD = BD:DC\)
\(BD \times BD =AD \times DC\)
\(P^2 = d \times D\)
\(P^2 = d' \times D'\)
[ 11 ] Man kann den Durchmesser auf dem Umfang dreimal hinüberlegen und dann bleibt ein Rest, dieser Rest geht ungefähr \(\frac{1}{7}\) vom Durchmesser. Also der Umfang des Kreises ist \(3 \frac{1}{7}\)-mal so groß wie der Durchmesser.
[ 11 ] Man kann den Durchmesser auf dem Umfang dreimal hinüberlegen und dann bleibt ein Rest, dieser Rest geht ungefähr \(\frac{1}{7}\) vom Durchmesser. Also der Umfang des Kreises ist \(3 \frac{1}{7}\)-mal so groß wie der Durchmesser.
[ 12 ] \(U = 3 \frac{1}{7}\)
\(U = 3,14159[D] = \pi[D]\)
[ 12 ] \(U = 3 \frac{1}{7}\)
\(U = 3,14159[D] = \pi[D]\)