The Rudolf Steiner Archive

4. Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens

4. Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens

Es lassen sich im Winkel Alpha a Grade auftragen.

Es lassen sich im Winkel Alpha a Grade auftragen.

\(BC:AC\) — Durch das Verhältnis \(BC:AC\) ist das Verhältnis des Winkels Alpha bezeichnet. Das Verhältnis wird der sin. (Sinus) des Winkels genannt. (\(AC:AB =\) Cosinus zu Alpha)
\(BC:AC = \sin(\alpha)\)
\(AB:AC = \cos(\alpha)\)
\(BC:AB \tan(\alpha) = tg \alpha\)(\(BC:AB = \)Tangens \(a\))
\(AB:BC \cot(\alpha)\) (\(AB:BC =\) Kotangens \(a\))

\(BC:AC\) — Durch das Verhältnis \(BC:AC\) ist das Verhältnis des Winkels Alpha bezeichnet. Das Verhältnis wird der sin. (Sinus) des Winkels genannt. (\(AC:AB =\) Cosinus zu Alpha)
\(BC:AC = \sin(\alpha)\)
\(AB:AC = \cos(\alpha)\)
\(BC:AB \tan(\alpha) = tg \alpha\)(\(BC:AB = \)Tangens \(a\))
\(AB:BC \cot(\alpha)\) (\(AB:BC =\) Kotangens \(a\))

[ 1 ] Man kann eine krumme Linie in der Ebene bestimmen, wenn man, sie auf zwei gerade Linien beziehend, die Abstände berechnet. Diese Methode ist zuerst in den letzten Jahrhunderten angewendet worden, von Cartesius an. Diese Methode nennt man analytische Geometrie.

[ 1 ] Man kann eine krumme Linie in der Ebene bestimmen, wenn man, sie auf zwei gerade Linien beziehend, die Abstände berechnet. Diese Methode ist zuerst in den letzten Jahrhunderten angewendet worden, von Cartesius an. Diese Methode nennt man analytische Geometrie.

[ 2 ] \(x^2 + y^2 = r^2 =\) die Gleichung des Kreises.

[ 2 ] \(x^2 + y^2 = r^2 =\) die Gleichung des Kreises.

[ 3 ] Indem man auf ein bestimmtes System von schneidenden Graden die Gesetzmäßigkeit der Entfernung bestimmt, bekommt man den Kreis.

[ 3 ] Indem man auf ein bestimmtes System von schneidenden Graden die Gesetzmäßigkeit der Entfernung bestimmt, bekommt man den Kreis.

[ 4 ] \(0\) ist der Mittelpunkt des Koordinaten-Achsensystems. Die Alten (Ptolemäus) haben den Mittelpunkt der Erde angenommen, Kopernikus aber die Sonne. Er hat alles auf die Sonne bezogen. Er hat aber noch berücksichtigt, dass die Erde eine Eigenbewegung hat zu einer Bewegung um die Sonne und eine wie die Bewegung der Erde um die Sonne. In der Schule wird der dritte Satz des Kopernikus gewöhnlich ausgelassen. Im Sinne des Kopernikus bewegt sich die Erde in Wirklichkeit in einer Schraubenlinie (Stab des Hermes).

[ 4 ] \(0\) ist der Mittelpunkt des Koordinaten-Achsensystems. Die Alten (Ptolemäus) haben den Mittelpunkt der Erde angenommen, Kopernikus aber die Sonne. Er hat alles auf die Sonne bezogen. Er hat aber noch berücksichtigt, dass die Erde eine Eigenbewegung hat zu einer Bewegung um die Sonne und eine wie die Bewegung der Erde um die Sonne. In der Schule wird der dritte Satz des Kopernikus gewöhnlich ausgelassen. Im Sinne des Kopernikus bewegt sich die Erde in Wirklichkeit in einer Schraubenlinie (Stab des Hermes).

[ 5 ] Das System des Ptolemäus bezog sich auf den Astralplan. Die Tat des Kopernikus bedeutet ein Beziehen der relativen Bewegung des Planetensystems auf einen anderen Ausgangspunkt (den physischen Ausgangspunkt).

[ 5 ] Das System des Ptolemäus bezog sich auf den Astralplan. Die Tat des Kopernikus bedeutet ein Beziehen der relativen Bewegung des Planetensystems auf einen anderen Ausgangspunkt (den physischen Ausgangspunkt).

[ 6 ] In Dantes Göttlicher Komödie ist alles auf den Astralplan bezogen; da ist die Erde der Mittelpunkt.

[ 6 ] In Dantes Göttlicher Komödie ist alles auf den Astralplan bezogen; da ist die Erde der Mittelpunkt.

[ 7 ] An dem Winkel kann man erkennen die Krümmung der Linie. Der Mathematiker bestimmt den Winkel nach der Tangente. Mit jedem neuen Abstand wird die Tangente anders, größer oder kleiner.

[ 7 ] An dem Winkel kann man erkennen die Krümmung der Linie. Der Mathematiker bestimmt den Winkel nach der Tangente. Mit jedem neuen Abstand wird die Tangente anders, größer oder kleiner.

[ 8 ] tan a ist bei sehr kleinen Abständen absolut variabel in Bezug auf die Kurve. Dann heißt tan a ein Differentialquotient. Man geht über von endlichen Größen zu unendlich kleinen Größen. Newton nannte es auch Flexionsrechnung (Bewegungsrechnung). Leibniz machte die Entdeckung zu gleicher Zeit. Es war notwendig, auf dem physischen Plan selbst das Unendliche zu finden.

[ 8 ] tan a ist bei sehr kleinen Abständen absolut variabel in Bezug auf die Kurve. Dann heißt tan a ein Differentialquotient. Man geht über von endlichen Größen zu unendlich kleinen Größen. Newton nannte es auch Flexionsrechnung (Bewegungsrechnung). Leibniz machte die Entdeckung zu gleicher Zeit. Es war notwendig, auf dem physischen Plan selbst das Unendliche zu finden.

[ 9 ] \(\tan(\alpha) = \frac{x}{y}\) (wenn \(a\) und \(b\) veränderlich sind)

[ 9 ] \(\tan(\alpha) = \frac{x}{y}\) (wenn \(a\) und \(b\) veränderlich sind)

[ 10 ] Zwei ins Unendliche gehende Linien, dazwischen eine unendlich große Fläche.

[ 10 ] Zwei ins Unendliche gehende Linien, dazwischen eine unendlich große Fläche.

Fl. \((ab) = \infty\) (unendlich groß)
Fl. \((ac)= \infty =2 \infty\)
(Die eine Unendlichkeit durch die andere dividiert gibt \(2\))
\(\frac{\infty}{\infty} = 2\)

Fl. \((ab) = \infty\) (unendlich groß)
Fl. \((ac)= \infty =2 \infty\)
(Die eine Unendlichkeit durch die andere dividiert gibt \(2\))
\(\frac{\infty}{\infty} = 2\)

[ 11 ] Eine unendliche gerade Linie ist ein Kreis. Dies ist aber im dreidimensionalen Raum nicht möglich, weil dazu eine unendliche Zeit gehörte. Wenn es sich nicht um einen dreidimensionalen, sondern um einen zweidimensionalen Raum handelt, dann ist die Sache anders. Dann ist die Zeit selbst die vierte Dimension. Dann findet nicht nur ein Bewegen nach dieser Richtung statt, sondern auch eine andere Veränderung. Man nehme an, man bewege sich in einer Richtung (eine Kugel, die immer größer und größer wird). Dann wird, wenn die Kugel eine bestimmte Größe erreicht hat, es möglich sein, dass die Kugel auf der anderen Seite auseinanderläuft. Dann müssen aber Kräfte dagewesen sein, die sie zusammengehalten haben. Im Astralraum kommt die Wirkung als vierte Dimension hinzu.

[ 11 ] Eine unendliche gerade Linie ist ein Kreis. Dies ist aber im dreidimensionalen Raum nicht möglich, weil dazu eine unendliche Zeit gehörte. Wenn es sich nicht um einen dreidimensionalen, sondern um einen zweidimensionalen Raum handelt, dann ist die Sache anders. Dann ist die Zeit selbst die vierte Dimension. Dann findet nicht nur ein Bewegen nach dieser Richtung statt, sondern auch eine andere Veränderung. Man nehme an, man bewege sich in einer Richtung (eine Kugel, die immer größer und größer wird). Dann wird, wenn die Kugel eine bestimmte Größe erreicht hat, es möglich sein, dass die Kugel auf der anderen Seite auseinanderläuft. Dann müssen aber Kräfte dagewesen sein, die sie zusammengehalten haben. Im Astralraum kommt die Wirkung als vierte Dimension hinzu.