Kosmologie und menschliche Evolution
Notizen und Ausarbeitungen von Mathilde Scholl
Grundkurz Mathematik
GA 91
19 Oktober 1904, Berlin
1. Unterschied Zwischen Rechnung [und] Operation
[ 1 ] Wenn wir die Beziehungen zwischen Größen auffassen, haben wir allgemeine Arithmetik. [Die] besondere Arithmetik beschäftigt sich mit bestimmten Mengen von Einheiten. Algebra ist nach «Algeber» (arabischem Mathematiker) benannt.
[ 2 ] Erste Beziehung zwischen den Zahlen: Addition. Eine Zahl wird um die andere vermehrt: \(a + b\) und so weiter. Dies wird auf eine Reihe ausgedehnt:
\(a + b + c + d + e + f\) und so weiter.
[ 3 ] Zweite Beziehung:
[ 4 ] Subtraktion; man nimmt von einer Zahl eine andere weg: \(a - b\). Dies erweitert: \(a - b - c - d - e\) und so weiter.
[ 5 ] Eine Voraussetzung hierbei ist notwendig, nämlich dass \(a\) größer ist als \(b\).
\(a \gt b\) (dann ist \(a\) größer als \(b\))
\(a = b\) (dann ist \(a\) gleich b)
\(a \lt b\) (dann ist \(a\) kleiner als \(b\))
\(c =\) das Resultat: \(a - b = c\).
[ 6 ] Wenn \(a\) größer ist als \(b\), dann ist die Frage, wie viel bleibt übrig, wenn ich \(b\) von \(a\) wegnehme? \(c\) bleibt übrig. \(c\) ist die Zahl, um welche a größer ist als \(b\). Wenn \(a\) gleich \(b\) ist, dann ist \(c = 0\). Wenn \(a\) kleiner ist als \(b\), dann bleibt auch ein \(c\), zum Beispiel: \(3 - 5 = ?\) Hierbei fragt man, wie viele Einheiten fehlen dem \(a\), wenn \(a\) nicht so groß ist wie \(b\).
| \(3 - 5 = -2\) | \(a - b = -c\) das negative Verhältnis |
|
| \(5 - 3 =\) positiv | \(5 - 3 = +2\) | \(a - b = +c\) |
| \(3 - 5 =\) negativ | \(3 - 5 = -2\) | \(a - b = -c\) |
[ 7 ] [Das bedeutet: Für] eine Zahl, die minus ist, heißt [das]: Es lag eine Subtraktion vor; bei dieser Subtraktion war der Minuend zu klein. — Eine negative Zahl kann man nur als Ergebnis einer Rechnungsoperation verstehen.
[ 8 ] Die Addition kann so sein, dass einige Zahlen einander gleich sind oder alle sich gleich sind.
\(a + b + a + c\) und so weiter, oder
\(a + a + a + a + a + a\) und so weiter
[ 9 ] Wenn bei der Addition alle Zahlen einander gleich sind, haben wir Multiplikation. Die Zahl, die sagt, wie oft die gleiche Zahl steht, heißt Multiplikator.
\(a \times b\) heißt: \(a\) ist \(b\) mal zu addieren.
oder \(a \cdot b\): \(a\) ist mit \(b\) zu multiplizieren.
\(a \cdot b \cdot c \cdot d\) (heißt: \(a\) wird mit \(b\), \(c\), \(d\) und so weiter nacheinander multipliziert.)
[ 10 ] Bei der Subtraktion kann es sein, dass man verschiedene Zahlen abzieht:
\(a - b - c - d - e - f\) und so weiter, oder gleiche, zum Beispiel \(a - b - b - b - b - b\) und so weiter.
[ 11 ] Die Frage ist: Wie oft kann ich b von a abziehen?
\(a : b\) ist Division (oder eine versteckte Subtraktion)
[ 12 ] Der Divisor ist eigentlich ein Minuend. Der Dividend ist eigentlich ein Subtrahend.
[ 13 ] Es ist ein spezieller Fall der Subtraktion.
[ 14 ] \(a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e \cdot f\)
\(a \cdot a \cdot\) undso weiter, m mal (heißt: dieselbe Zahl immer wieder mit sich selbst multipliziert), wird bezeichnet durch \(a^m\) (\(a m\) mal)
\(a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a\) und so weiter, \(m\) mal (heißt: dieselbe Zahl immer wieder mit sich selbst multipliziert), wird bezeichnet durch \(a^m\) ( \(a m\) mal)
[ 15 ] \(a^m = P\) (\(a m\) mal genommen gibt \(P\) = Potenzierung.)
\(a\) zur mten [Potenz] \(=\) P
[ 16 ] \(a =\) Wurzel, Grundzahl oder Basis.
\(m =\) der Exponent.
\(P =\) die Potenz.
[ 17 ] Die fünfte Rechnungsoperation ist Potenzieren.
[ 18 ] Wenn P bekannt ist und m bekannt ist und a gesucht wird:
\(\sqrt[m]{P} = x\) Radizieren oder Wurzel ziehen.
[ 19 ] abgekürztes Dividieren:
\(P\) = Radikant
\(m =\) Wurzelexponent
\(x(a) =\) Radix
[ 20 ] Wenn \(m\) unbekannt ist, schreibt man \(a^x = P\).
Zu welcher Zahlpotenz muss man a erheben, um \(P\) zu bekommen?
\(x = log_a P\) (eingerückter Exponent ist Logarithmus)
\(2 = log_3 9\) (\(2\) ist gleich log von \(9\) in Bezug auf die Wurzel \(3\))
[ 21 ] Logarithmieren ist die siebte Rechnungsoperation.
[ 22 ] \(a \cdot b\)
\(+a \cdot +b\)
\(+a \cdot +a \cdot +a \cdot +a + b - mal\)
\(+a \cdot +b = +ab\)
\(-a \cdot +b = -ab\)
\(+a \cdot -b = -ab\)
\(-a \cdot -b = +ab\)
[ 23 ] Gleichwertige Zahlen miteinander multipliziert geben ein positives Resultat; ungleichwertige geben ein negatives Resultat.
[ 24 ] \(+a \cdot -b = -c\)
\(+a \cdot +b = +c\)
\(-a \cdot +b = -c\)
\(-a \cdot -b = +c\)
[ 25 ] Gleichartige Zahlen durch einander dividiert geben ein positives, ungleichartige durch einander dividiert geben ein negatives Resultat.
[ 26 ] \(a^b = c\) where \(+a\) und \(+c\)
[ 27 ] oder \(-a\) und \(+c\)
[ 28 ] \(\sqrt[b]{c} = a\)
[ 29 ] \((+a)^+b = +c\)
[ 30 ] \((-a)^+b = +c\)
[ 31 ] \(c\) negative \(= -c\)
\(a^x = -c\)
\(\sqrt[x] - c = a\)
[ 32 ] Um eine negative Potenz zu bezeichnen, müssen imaginäre Zahlen gefunden werden, die weder positiv noch negativ sind.
[ 33 ] Ein Dreieck ist eine von drei geraden Linien begrenzte Figur. Man hat zu unterscheiden die Dreiecke nach Größe ihrer Seite und ihrer Winkel. Wir unterscheiden zunächst ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich sind, nennen es gleichseitiges Dreieck, das auch alle drei Winkel gleich hat. Ein Dreieck, bei dem nur zwei Seiten gleich sind und die dritte ungleich, heißt gleichschenkliges Dreieck. Es hat zwei Winkel gleich, die der ungleichen Seite anliegen. Dann eins, das ungleichseitig ist; dabei sind alle Seiten und Winkel ungleich. Größenverhältnisse der Winkel eines Dreieckes.
[ 34 ] 2. Nebenwinkel
[ 35 ] Messen des Winkels: Die Winkel werden gemessen nach der verhältnismäßigen Größe des Kreisbogens. Man misst einen Winkel, indem man um den Winkel einen Kreis zieht.
[ 36 ] Man teilt den Kreis zuerst in vier Teile, dann nochmal in zwei Teile, dann jeden derselben in fünf und davon jeden in \(9\) Teile = \(4 \times 2 \times 5 \times 9 = 360°\) (Grad). So viel der Winkel von den \(360°\) hat, so groß ist er.
[ 37 ] Zwei Nebenwinkel machen immer zusammen \(180°\).
[ 38 ] Zwei Scheitelwinkel.
[ 39 ] Man benennt den Winkel, indem man einen Buchstaben hineinschreibt.
[ 40 ] \(\angle a\) heißt Winkel \(a\)
[ 41 ] \(\angle a = \angle b\) als Scheitelwinkel
[ 42 ] \(\angle a + \angle b = 180°\) als Nebenwinkel
[ 43 ] Vier Paar Gegenwinkel
[ 44 ] \(x\) die schneidende Linie
\(y\), \(z\) die geschnittenen Linien
[ 45 ] Wenn zwei gerade Linien von einer dritten geschnitten werden, so entstehen vier Paar Gegenwinkel, nämlich solche, die auf derselben Seite der schneidenden und auf derselben Seite der geschnittenen Linie liegen.
[ 46 ] Wechselwinkel sind solche, die auf verschiedenen Seiten der schneidenden und auf verschiedenen Seiten der geschnittenen Linien liegen. Vier Paar Wechselwinkel.
[ 47 ] Anwinkel sind diejenigen, welche auf derselben Seite der schneidenden und auf verschiedenen Seiten der geschnittenen Linie liegen. Vier Paar Anwinkel.
[ 48 ] \(a\) und \(b\) sind Gegenwinkel
[ 49 ] Wenn zwei Parallele von einer dritten geschnitten werden, so sind die Gegenwinkel alle einander gleich.
[ 50 ] \(b\) und \(a\) sind Wechselwinkel.
[ 51 ] Voraussetzung sei: \(b\) und \(a\) seien Wechselwinkel bei [zwei geschnittenen Parallelen].
[ 52 ] Wechselwinkel zwischen parallelen Geraden müssen immer einander gleich sein.
[ 53 ] \(b\) und \(a\) Wechselwinkel \(=\) Voraussetzung.
[ 54 ] Beweis:
[ 55 ] \((\angle b = \angle c)\)
\(\angle b = \angle c\) als Gegenwinkel
\(\angle a = \angle c\) als Scheitelwinkelergo: \(\angle a = \angle b\)
[ 56 ] Wenn zwei Größen einer Dritten gleich sind, sind sie auch untereinander gleich.
[ 57 ] Dies ist ein Axiom, worauf sich der Beweis stützt. Ein Axiom ist ein Satz, der eines Beweises weder fähig noch bedürftig ist.
[ 58 ]
[ 59 ] \(a\) und \(b\) sind Anwinkel
[ 60 ] Beweis:
[ 61 ] \(\angle a\) und \(\angle b\) sind Anwinkel (Voraussetzung)
\(\angle a = \angle c\) als Gegenwinkel
\(\angle b + \angle c = 180\)° als Nebenwinkel
ergo: \(\angle b + \angle c = 180°\)
Beweis, dass zwei Anwinkel immer \(180°\) sind.
[ 62 ] Axiom: In jeder Rechnungsoperation kann eine Größe durch eine ihr gleiche ersetzt werden, ohne dass in der Rechnungsoperation dadurch etwas geändert wird.
[ 63 ] \(ABC\) ein Dreieck (Voraussetzung)
\(DE || AC\)
\(\angle a = \angle d\) als Wechselwinkel
\(\angle c = \angle e\) als Wechselwinkel
\(\angle b = \angle b\)
[ 64 ] \(\angle d + \angle b + \angle e = 180°\)
ergo: \(\angle a + \angle b + \angle c = 180°\)
[ 65 ] Die Summe der drei Winkel eines beliebigen Dreiecks ist [\(180°\)].
[ 66 ] \(A B C D\) Viereck. Voraussetzung
\(\angle e + \angle a + \angle g = 180°\)
\(\angle f + \angle h + \angle c = 180°\)
\(\angle c + \angle a + \angle g + \angle f + \angle h + \angle c = 360°\)
\(\angle a + \angle b + \angle d + \angle c = 360°\)
ergo: In jedem Viereck ist die Summe der \(4\) Winkel \(360°\)
[ 67 ] Linie: Raumgröße von einer Dimension - Länge
Fläche: Raumgröße von zwei Dimensionen — Länge + Breite
Körper: Raumgröße von drei Dimensionen - Länge + Breite + Dicke
?: Raumgröße von vier Dimensionen
[ 68 ] Ein zweidimensionaler Raum abgegrenzt ist eine Fläche. Ein rechter Winkel hat zwischen den Schenkeln ¼ Kreisbogen.
[ 69 ] Ein Quadrat ist eine Fläche, die begrenzt ist von vier gleichen Linien und die vier rechte Winkel hat.
[ 70 ] Linie mit vier Maßeinheiten, \(e\) eine Längeneinheit, \(ab = 4 \times e\) (\(4 \times\) die Einheit), \(A B = 4 \times e\)
[ 71 ] Man kann eine Länge messen, indem man ausmisst, wie oft die Einheit darauf enthalten ist.
[ 72 ] \(e\) (Größe \(e\)) zum Quadrat ergänzt ist Flächeneinheit. Flächeneinheit ist ein c, das über die Längeneinheit beschrieben ist.
[ 73 ] Flächeneinheit. Frage: Wievielmal größer als die Flächeneinheit ist das ganze Quadrat, wenn die Seite viermal größer ist als die Längeneinheit?
[ 74 ] \(A B C D = AB^2\)
[ 75 ] Man findet die Fläche eines Quadrates, indem man eine Seite mit sich selbst multipliziert und zum Quadrat erhebt.
\(1^2 = 1\)
\(2^2 = 4\)
\(3^2 = 9\)
\(4^2 = 16\)
\(5^2 = 25\)
\(6^2 = 36\)
\(7^2 = 49\)
\(8^2 = 67\)
\(9^2 = 81\)
\(10^2 = 100\)
[ 76 ] Die zwei Seiten eines rechten Winkels bilden die Katheten. Die gegenüberliegende Linie ist die Hypotenuse.
[ 77 ] \(3^2 = 4^2 = 5^2\)
\(BDEC = BC^2\)
\(HEFJ = \angle ABC + HJCE\)
\(CE =BC\)
\(HEFJ = \angle ABC + HJCE\)
\(CE =BC\)
\(ABC = BDG\)
\(JKC = BGK\)
\(BDEC = BGHECB + BGD + HCE\)
\(HEFJ = HJCE + CEF\)
\(HJGB = HBJK + BGK\)
\(HJCE + EEF + BGK + ABKJ =\)\(BGHECJKB + ABC + ABKJ\)
\(BGHEC + ABC + ABJK + JKC\)
\(BEDC = BC^2\)
\(BGE = DCF\)
\(EHD = BAC\)
\(BKCDHG = BKCDHG BGK = JKC\)
folglich
\(BKCDHG + ABC + DFC =\)
\(KKCDHG + BGE + EHD\)
[ 78 ] \(EB = BC\), \(ED = BC\), \(CD = BC\)
\(ABC\), \(BGE\), \(EHD\), \(DFC\) sind rechtwinklige Dreiecke auf gleichen Hypotenusen, folglich gleich, da alle Winkel sich entsprechen; folglich Dreieck \(EGB = DCF\) und \(EHD = ABC\); [unleserlich] \(BGHD:CK\) ist sich selbst gleich.