The Rudolf Steiner Archive

Zweiter Vortrag

[ 1 ] Heute will ich einiges Elementare über die Vorstellung des mehrdimensionalen Raumes besprechen [unter anderem in Anschluß an den] geistvollen Hinton.

[ 2 ] Sie erinnern sich, wie wir [das letzte Mal] von der Betrachtung der nullten Dimension bis zur Vorstellung des mehrdimensionalen Raumes kamen. Ich will die Vorstellungen, wie wir vom zweizum dreidimensionalen Raum kommen können, kurz noch einmal wiederholen.

[ 3 ] Was haben wir unter einem Symmetrie-Verhalten zu verstehen? Wie bringe ich eine rote und eine blaue [ebene Figur, die Spiegelbilder voneinander sind,] zur Deckung?

[ 4 ] Das kann ich bei zwei Kreishälften relativ leicht, indem ich den roten [Halb-]Kreis in den blauen hineinschiebe (Figur 10).

[ 5 ] Bei der folgenden [spiegel]symmetrischen Figur gelingt dies nicht so leicht (Figur 11). Ich kann den roten und den blauen Teil [innerhalb der Ebene] nicht zur Deckung bringen, auf welche Weise auch immer ich das Rote in das Blaue hineinzuschieben versuche.

[ 6 ] Aber es gibt ein Mittel [dies trotzdem zu erreichen]: Wenn man aus der Tafel, das heißt aus der zweiten Dimension heraustritt [und die dritte Dimension zu Hilfe nimmt, mit anderen Worten, wenn man] die blaue Figur auf die rote legt [indem man sie durch den Raum um die Spiegelachse dreht].

[ 7 ] Genauso verhält es sich mit einem Paar Handschuhen: Ich kann den einen mit dem anderen nicht zur Deckung bringen, ohne daß ich aus dem [dreidimensionalen] Raum heraustrete. Man muß durch die vierte Dimension gehen.

[ 8 ] Ich habe das letzte Mal gesagt, daß man [die Beziehungen im] Raum flüssig machen muß [wenn man sich eine Vorstellung von der vierten Dimension erarbeiten will], um dadurch ähnliche Verhältnisse zuwege zu bringen, wie man sie hat, wenn man von der zweiten in die dritte Dimension übergeht. In der letzten Stunde haben wir aus Papierstreifen Raumgebilde erzeugt, die sich ineinander verschlingen. Solche Verschlingungen rufen bestimmte Komplikationen herbei. Das ist keine Spielerei, sondern in der Natur kommen fortwährend solche Verschlingungen vor. Wer nachdenkt über Naturprozesse, weiß, daß solche Verschlingungen wirklich in der Natur vorkommen. Materielle Körper bewegen sich in solchen verschlungenen Raumgebilden. Diese Bewegungen sind mit Kräften ausgestattet, so daß die Kräfte sich ebenfalls gegeneinander verschlingen. Nehmen Sie die Bewegung der Erde um die Sonne und dann die Bewegung des Mondes um die Erde. Der Mond durchläuft einen Kreis, der um den Bahnkreis der Erde um die Sonne herumgeschlungen ist. Er beschreibt also eine Schraubenlinie um eine Kreislinie. Wegen der Bewegung der Sonne macht der Mond um diese eine weitere Schraubenlinie. Es ergeben sich also sehr komplizierte Kräftelinien, die sich durch den ganzen Raum erstrecken.

[ 9 ] Die Himmelskörper verhalten sich so zueinander wie die verschlungenen Papierstreifen [von Simony, die wir das letzte Mal betrachtet haben]. Wir müssen uns vergegenwärtigen, daß wir es mit komplizierten Raumbegriffen zu tun haben, die wir nur dann begreifen, wenn wir sie nicht starr werden lassen. Wenn wir den Raum [in seinem Wesen] begreifen wollen, [müssen wir ihn zwar zunächst starr auffassen, ihn dann aber] wieder vollständig flüssig machen. [Man muß wie] bis zur Null [gehen]; darinnen ist der [lebendige] Punkt [zu finden].

[ 10 ] Wir vergegenwärtigen uns noch einmal fden Aufbau der Dimensionen]. Der Punkt ist nulldimensional, die Linie eindimensional, die Fläche zweidimensional und der Körper dreidimensional. So hat der Würfel die drei Dimensionen: Höhe, Breite und Tiefe. Wie verhalten sich nun die Raumgebilde [verschiedener Dimensionen] zueinander? Denken Sie sich, Sie seien eine gerade Linie, Sie hätten nur eine Dimension, Sie könnten sich nur längs einer geraden Linie bewegen. Falls es solche Wesen gäbe, wie müßte die Raumvorstellung solcher Wesen geartet sein? Solche Wesen würden die Eindimensionalität bei sich nicht wahrnehmen, sondern sie würden sich nur Punkte vorstellen können überall, wo sie auch hinkämen. Denn es gibt in der geraden Linie, wenn wir etwas in ihr zeichnen wollen, nur Punkte. Ein zweidimensionales Wesen würde nur Linien antreffen, würde also nur eindimensionale Wesen wahrnehmen. [Ein dreidimensionales Wesen wie] der Würfel würde zweidimensionale Wesen wahrnehmen, könnte aber nicht seine [eigenen] drei Dimensionen wahrnehmen.

[ 11 ] Der Mensch nun kann seine drei Dimensionen wahrnehmen. Wenn wir richtig folgern, müssen wir uns sagen: Wie ein eindimensionales Wesen nur Punkte wahrnehmen kann, ein zweidimensionales Wesen nur Geraden und ein dreidimensionales Wesen nur Flächen, so muß ein Wesen, das drei Dimensionen wahrnimmt, selbst ein vierdimensionales Wesen sein. Dadurch, daß der Mensch äußere Wesen nach drei Dimensionen abgrenzen kann, mit Räumen aus drei Dimensionen [umgehen kann], muß er vierdimensional sein. Und ebenso, wie ein Würfel nur zwei Dimensionen wahrnehmen kann und nicht seine dritte, so ist klar, daß der Mensch die vierte Dimension, in der er lebt, nicht wahrnehmen kann. Damit haben wir gezeigt, [daß der Mensch ein vierdimensionales Wesen sein muß]. Wir schwimmen im Meere [der vierten Dimension, wie Eis in Wasser].

[ 12 ] Wir kehren noch einmal zur Betrachtung der Spiegelbilder zurück (Figur 11). Diese senkrechte Linie stellt den Querschnitt eines Spiegels dar. Der Spiegel wirft ein Spiegelbild [der Figur auf der linken Seite] zurück. Der Spiegelungsprozeß weist über die zwei Dimensionen hinaus in die dritte Dimension. [Um den unmittelbaren und kontinuierlichen Zusammenhang des Spiegelbildes mit dem Original zu verstehen, müssen wir zu] den zwei Dimensionen eine dritte hinzunehmen.

[ 13 ] [Nun betrachten wir das Verhältnis von Außenraum und Innenvorstellung.] Der Würfel hier außer mir [erscheint als] eine Vorstellung in mir (Figur 12). Die Vorstellung [des Würfels] verhält sich zum Würfel wie ein’ Spiegelbild zum Original. Unser Sinnesapparat [entwirft vom Würfel ein Vorstellungsbild. Will man dieses mit dem Originalwürfel] zur Deckung bringen, so muß man durch die vierte Dimension hindurchgehen. Genauso wie [beim kontinuierlichen Vollzug des zweidimensionalen] Spiegelprozesses zur dritten Dimension übergegangen werden muß, muß unser Sinnesapparat, wenn er imstande sein soll, einen [direkten] Zusammenhang [zwischen Vorstellungsbild und äußerem Gegenstand] herzustellen, vierdimensional sein.

[ 14 ] Wenn Sie nur [zweidimensional] vorstellen würden, so würden Sie [nur] ein Traumbild vor sich haben, aber keine Ahnung davon haben, daß draußen ein Gegenstand ist. Unser Vorstellen ist ein direktes Stülpen unseres Vorstellungsvermögens über [die äußeren Gegenstände vermittels des] vierdimensionalen Raumes.

[ 15 ] Der Mensch war im Astralzustand [während früherer Stadien der Menschheitsevolution] nur ein Träumer, er hatte nur solche aufsteigenden Traumbilder.” Er ist dann übergegangen vom Astralreich zum physischen Raum. Damit haben wir den Übergang vom astralen zum [physisch-]materiellen Wesen mathematisch definiert. Bevor dieser Übergang geschah, war der astrale Mensch ein dreidimensionales Wesen und konnte deshalb nicht seine [zweidimensionalen] Vorstellungen auf die objektive [dreidimensionale physisch-materielle] Welt ausdehnen. Aber als er [selbst] physisch[-materiell] geworden ist, hat er noch die vierte Dimension hinzubekommen [und konnte demzufolge auch dreidimensional erleben].

[ 16 ] Durch die eigentümliche Einrichtung unseres Sinnesapparates sind wir imstande, unsere Vorstellungen mit den äußeren Gegenständen zur Deckung zu bringen. Indem wir unsere Vorstellungen auf äußere Dinge beziehen, gehen wir durch den vierdimensionalen Raum durch, stülpen die Vorstellung über den äußeren Gegenstand.

[ 17 ] Wie würden sich die Dinge ausnehmen, wenn wir von der anderen Seite aus schauen könnten, wenn wir in die Dinge hineintreten und sie von dort aus sehen könnten? Um das zu können, müßten wir durch die vierte Dimension hindurch.

[ 18 ] Die Astralwelt selbst ist nicht eine Welt von vier Dimensionen. Aber die astrale Welt zusammen mit ihrer Spiegelung in der physischen Welt ist vierdimensional. Wer imstande ist, die astrale Welt und die physische Welt zugleich zu überschauen, der lebt im vierdimensionalen Raum. Das Verhältnis unserer physischen Welt zur astralen ist ein vierdimensionales.

[ 19 ] Man muß begreifen lernen den Unterschied zwischen Punkt und Sphäre. [In der Wirklichkeit] wäre dieser Punkt nicht passiv, sondern ein nach allen Seiten Licht ausstrahlender Punkt (Figur 13).

[ 20 ] Welches wäre nun das Gegenteil eines solchen Punktes? Genauso wie es einen Gegensatz zu einer Linie gibt, die von links nach rechts geht, nämlich eine Linie, die von rechts nach links geht, so gibt es auch einen Gegensatz zum [Licht ausstrahlenden] Punkt. Wir stellen uns eine riesige, in Wirklichkeit unendlich große, Kugel vor, die von allen Seiten, aber jetzt nach innen, Dunkelheit verbreitet, Dunkelheit hereinschickt (Figur 14). Diese Kugel ist das Gegenteil des [Licht ausstrahlenden] Punktes.

[ 21 ] Das sind zwei wirkliche Gegensätze: Der Licht ausstrahlende Punkt und der unendliche Raum, der nicht ein neutrales dunkles Gebilde ist, sondern der von allen Seiten her den Raum mit Dunkelheit überflutet. [Als Gegensatz ergibt sich so] eine Quelle der Dunkelheit und eine Quelle des Lichts. Wir wissen, daß eine gerade Linie, die sich in die Unendlichkeit verliert, von der anderen Seite nach demselben Punkt zurückkehrt. Ebenso ist es bei einem Punkte, der nach allen Seiten Licht ausstrahlt. Dieses Licht kommt [aus der Unendlichkeit] als sein Gegenteil, als Dunkelheit zurück.

[ 22 ] Nun betrachten wir den umgekehrten Fall. Nehmen Sie den Punkt als Quelle der Dunkelheit. Als Gegensatz ergibt sich ein Raum, der von allen Seiten Helle hereinstrahlt.

[ 23 ] So wie dies neulich [im vorangehenden Vortrag] durchgenommen wurde, so verhält es sich mit dem Punkt; er verliert sich nicht [in der Unendlichkeit, er kommt von der anderen Seite wieder zurück] (Figur 15).

[ 24 ] [Ganz entsprechend verliert sich ein Punkt, wenn er sich ausdehnt oder hinausstrahlt, nicht im Unendlichen; er kommt als Sphäre aus dem Unendlichen zurück.] Die Sphäre, das Kugelförmige, ist das Gegenteil des Punktes. Im Punkte lebt der Raum. Der Punkt ist das Gegenteil des Raumes.

[ 25 ] Was ist [das Gegenteil] eines Würfels? Nichts anderes als der ganze unendliche Raum, abgerechnet das Stück, das hier [durch den Würfel] herausgeschnitten ist. So daß wir uns den [totalen] Würfel als unendlichen Raum vorstellen müssen plus sein Gegenteil. Ohne Polaritäten kommen wir nicht aus, wenn wir uns die Welt kraftvoll dynamisch vorstellen [wollen]. [Erst so] haben wir die Dinge in ihrem Leben.

[ 26 ] Würde sich der Okkultist den Würfel rot vorstellen, so würde der [übrige] Raum grün sein, denn Rot ist die Gegenfarbe von Grün. Der Okkultist hat nicht nur einfach Vorstellungen für sich selbst, er hat lebendige Vorstellungen, keine abstrakten, toten Vorstellungen. Der Okkultist muß aus sich heraus in die Dinge hineinkommen. Unsere Vorstellungen sind tot, während die Dinge in der Welt lebendig sind. Wir leben mit unseren abstrakten Vorstellungen nicht in den Dingen selber. So müssen wir uns zum Licht ausstrahlenden Stern den unendlichen Raum in der entsprechenden Ergänzungsfarbe hinzu vorstellen. Wenn man solche Übungen macht, kann man sein Denken schulen, bekommt man Vertrauen, wie man sich Dimensionen vorstellen kann.

[ 27 ] Sie wissen, daß das Quadrat eine zweidimensionale Raumgröße ist. Ein Quadrat, zusammengesetzt aus vier rot- und blauschattierten Teilquadraten, ist eine Fläche, die in verschiedene Richtungen verschieden strahlt (Figur 16). Die Fähigkeit, in verschiedene Richtungen verschieden zu strahlen, ist eine dreidimensionale Fähigkeit. Wir haben hier also die drei Dimensionen Länge, Breite und Strahlungsvermögen.

[ 28 ] Was wir hier mit der Fläche machten, denken wir uns auch für den Würfel ausgeführt. Ebenso wie das obige Quadrat aus vier Teilquadraten aufgebaut war, denken wir uns den Würfel aus acht Teilwürfeln aufgebaut (Figur 17). Daraus ergeben sich zunächst die drei Dimensionen Höhe, Breite und Tiefe. Innerhalb jedes [Teil-]Würfels wäre dann zu unterscheiden ein bestimmtes Lichtausstrahlungsvermögen, Daraus ergibt sich zusätzlich zur Höhe, Breite und Tiefe eine weitere Dimension: das Strahlungsvermögen.

[ 29 ] Sie können sich ein Quadrat aus vier Teilquadraten zusammengefügt denken, einen Würfel aus acht verschiedenen Teilwürfeln. Und nun denken Sie sich einen Körper, der nicht Würfel ist, sondern der eine vierte Dimension hat. Wir haben uns die Möglichkeit geschaffen, dies zu verstehen durch das Strahlungsvermögen. Hat jeder [der acht Teilwürfel] ein verschiedenes Strahlungsvermögen, so muß ich, wenn ich bloß den einen Würfel habe, der ein Strahlungsvermögen nur nach einer Seite hat, wenn ich den Würfel erhalten will, der nach allen Seiten strahlt, überall zu dem linksstehenden einen anderen noch hinzufügen, ihn mit einem entgegengesetzten verdoppeln, ich muß ihn aus 16 Würfeln zusammensetzen.

[ 30 ] Nächste Stunde werden wir die Möglichkeit bekommen, wie wir uns einen mehrdimensionalen Raum denken können.