The Rudolf Steiner Archive

Fünfter Vortrag

[ 1 ] Wir haben das letzte Mal versucht, uns eine Vorstellung eines vierdimensionalen Raumgebildes zu verschaffen. Um es uns zu veranschaulichen, haben wir es auf ein dreidimensionales reduziert. Zunächst sind wir davon ausgegangen, ein dreidimensionales Raumgebilde in ein zweidimensionales zu verwandeln. Wir setzten statt der Dimensionen Farben ein. Wir haben die Vorstellung so ausgebildet, daß ein Würfel längs der drei Dimensionen in drei Farben erschien. Dann legten wir die Grenzen eines Würfels auf die Ebene hin, das ergab uns sechs Quadrate in verschiedenen Farben. Durch die Verschiedenheit der Farben der einzelnen Seiten ergaben sich uns die drei verschiedenen Dimensionen im zweidimensionalen Raum. Wir hatten dreierlei Farben, und damit hatten wir die drei Dimensionen repräsentiert.

[ 2 ] Wir haben uns dann vorgestellt, daß wir ein Würfelquadrat in die dritte Dimension hinüberleiten so, wie wenn wir es durch einen farbigen Nebel hinüberleiteten und es auf der anderen Seite wieder erscheint. Wir stellten uns dabei vor, daß wir DurchgangsQuadrate haben, so daß durch diese Quadrate die Würfelquadrate sich hindurchbewegen und sich dadurch [mit der Farbe des Durchgangs-Quadrates] tingieren. So haben wir versucht, uns den [dreidimensionalen] Würfel [vermöge einer zweidimensionalen Farbendarstellung] vorzustellen. [Für die eindimensionale Darstellung der] Flächen haben wir also zwei Grenzfarben und [für die zweidimensionale Darstellung des] Würfels drei Farben. [Um ein vierdimensionales Raumgebilde im dreidimensionalen Raum abzubilden, müssen wir] dann eine vierte Grenzfarbe hinzunehmen.

[ 3 ] Nun müssen wir uns in der gleichen Weise vorstellen, daß ein Würfel, der, analog wie unser Quadrat, zwei verschiedene Farben hat als Grenzseiten, drei verschiedene Farben hat in seinen Grenzflächen. Und schließlich bewegt sich jeder Würfel durch einen anderen Würfel, der die entsprechende vierte Farbe hat. Dabei lassen wir ihn also verschwinden in der vierten Farbendimension. Wir lassen also nach der Analogie von Hinton die jeweiligen Grenz-Würfel durch die neue [vierte] Farbe hindurchgehen, die dann auf der anderen Seite wieder erscheinen, auftauchen in ihrer [ursprünglichen] eigenen Farbe.

[ 4 ] Nun will ich Ihnen eine andere Analogie geben und zunächst die drei Dimensionen wieder auf zwei reduzieren, so daß wir [anschließend] imstande sein werden, vier Dimensionen auf drei zu reduzieren. Dazu müssen wir uns das folgende vorstellen. Der Würfel kann an seinen Grenzflächen zusammengesetzt werden aus seinen sechs Grenz-Quadraten; statt aber nun, wie neulich, die Ausbreitung hintereinander [zusammenhängend] vorzunehmen, wird sie jetzt auf eine andere Weise geschehen. Ich werde auch diese Figur hinzeichnen (Figur 31). Sie sehen, wir‘haben jetzt auf diese Weise den Würfel ausgebreitet in zwei Systeme, deren jedes in der Ebene liegt und aus je drei Quadraten besteht. Nun müssen wir uns klar werden darüber, wie diese verschiedenen Gebiete liegen werden, wenn wir den Würfel wirklich zusammensetzen. Ich bitte Sie, sich das folgende klar zu machen. Wenn ich nun den Würfel aus diesen sechs Quadraten wieder zusammensetzen will, so muß ich die beiden Abteilungen so übereinanderlegen, daß Quadrat 6 über Quadrat 5 zu liegen kommt. Wenn auf diese Weise Quadrat 5 unten zu liegen kommt, muß ich die Quadrate 1 und 2 hochklappen, die Quadrate 3 und 4 dagegen nach unten hinunterklappen (Figur 32). Dabei bekommen wir also gewisse korrespondierende Linien, die sich gegenseitig decken. Die in der Figur mit gleicher Farbe [hier in gleicher Strichqualität und in gleicher Strichzahl] markierten Linien werden zusammenfallen. Das, was hier in der Ebene, im zweidimensionalen Raum, liegt, fällt in gewisser Weise zusammen, wenn ich in den dreidimensionalen Raum übergehe.

[ 5 ] Das Quadrat besteht aus vier Seiten, der Würfel aus sechs Quadraten, und das vierdimensionale Gebiet müßte dann aus acht Würfeln bestehen.? Dieses vierdimensionale Gebiet nennen wir [nach Hinton] Tessarakt. Nun handelt es sich darum, daß diese acht Würfel nicht wiederum einfach zu einem Würfel zusammengesetzt werden dürfen, sondern daß immer einer [dieser acht Würfel] in entsprechender Weise durch die vierte Dimension durchgehen müßte.

[ 6 ] Will ich nun dasselbe mit dem Tessarakt machen, was ich eben mit dem Würfel getan habe, so muß ich dasselbe Gesetz einhalten. Es handelt sich darum, Analogien zu finden des Dreidimensionalen zum Zweidimensionalen und dann des Vierdimensionalen zum Dreidimensionalen. Wie ich nun hier zwei Systeme von [je drei] Quadraten erhielt, so ergibt sich beim Tessarakt dasselbe mit [zwei Systemen von je vier] Würfeln, wenn ich ein vierdimensionales Tessarakt in den dreidimensionalen Raum abfalte. Das System von acht Würfeln ist sehr geistreich ausgedacht. Dieses Gebilde wird dann so aussehen (Figur 33).

[ 7 ] Dabei sind jedesmal diese vier Würfel im dreidimensionalen Raum genau so zu nehmen, wie diese Quadrate im zweidimensioTa

[ 8 ] nalen Raum. Sie müssen sich nur genau anschauen, was ich hier gemacht habe. Bei dem Abklappen des Würfels in den zweidimensionalen Raum ergab sich ein System von sechs Quadraten; bei der entsprechenden Prozedur am Tessarakt erhalten wir ein System von acht Würfeln (Figur 34). Wir haben die Betrachtung für den dreidimensionalen Raum auf den vierdimensionalen Raum übergeführt. [Dem Hochklappen und Zusammenfügen der Quadrate im dreidimensionalen Raum entspricht das Hochklappen und Zusammenfügen der Würfel im vierdimensionalen Raum.] Bei dem abgeklappten Würfel ergaben sich [in der zweidimensionalen Ebene] verschiedene korrespondierende Linien, die sich beim späteren Wiederhochklappen deckten. Ein gleiches findet statt mit den Flächen unserer einzelnen Würfel des Tessaraktes. [Beim abgeklappten Tessarakt im dreidimensionalen Raum ergeben sich bei den entsprechenden Würfeln korrespondierende Flächen.] Es würde also etwa beim Tessarakt die obere horizontale Fläche des

[ 9 ] Würfels 1 — durch Beobachtung [Vermittlung] der vierten Dimension — mit der vorderen Fläche des Würfels 5 zusammenfallen.

[ 10 ] In gleicher Weise fällt die rechte Fläche des Würfels 1 mit dem vorderen Quadrat des Würfels 4, und ebenso das linke Quadrat des Würfels 1 mit dem vorderen Quadrat des Würfels 3 [sowie das untere Quadrat des Würfels 1 mit dem vorderen Quadrat des Würfels 6] zusammen. [Ganz Entsprechendes gilt für die übrigen Würfelflächen.] Es bleibt übrig der von den sechs anderen eingeschlossene Würfel 7.

[ 11 ] Sie sehen, daß es sich hier wieder darum handelt, Analogien zu finden zwischen der dritten und vierten Dimension. Ebenso wie ein von vier Quadraten eingeschlossenes fünftes Quadrat — wie wir dies an der entsprechenden Figur des vorigen Vortrages gesehen haben (Figur 29) - dem nur zweidimensional schauenden Wesen unsichtbar bleibt, so ist dies hier mit dem siebenten Würfel der Fall: er bleibt dem dreidimensionalen Auge verborgen. Diesem siebenten Würfel entspricht beim Tessarakt ein achter Würfel, der, da wir hier einen vierdimensionalen Körper haben, als Gegenstück zum siebenten in der vierten Dimension liegt.

[ 12 ] Es laufen alle Analogien darauf hinaus, uns vorzubereiten auf die vierte Dimension. Es zwingt uns nichts, [innerhalb der bloßen Raumesanschauung] zu den gewöhnlichen Dimensionen die anderen Dimensionen [hinzuzufügen]. Im Anschluß an Hinton könnten wir uns auch hier Farben hinzudenken und uns Würfel so zusammengefügt denken, daß die entsprechenden Farben zusammenkommen. Es ist auf eine andere Weise [als durch solche Analogien] kaum möglich, eine Anleitung zu geben, wie man sich ein vierdimensionales Gebilde zu denken hat.

[ 13 ] Nun möchte ich noch auf eine andere Weise [der Darstellung vierdimensionaler Körper im dreidimensionalen Raum] zu sprechen kommen, die Ihnen vielleicht auch noch die Möglichkeit geben wird, das besser einzusehen, um was es sich hier eigentlich handelt. Dieses hier ist ein Oktaeder, das von acht Dreiecken begrenzt ist, wobei die Seitenflächen in stumpfen Winkeln aneinanderstoßen (Figur 35).

[ 14 ] Wenn Sie sich dieses Gebilde hier vorstellen, so bitte ich Sie, mit mir in Gedanken folgende Prozedur vorzunehmen. Sie sehen, hier ist immer eine Fläche von einer anderen geschnitten. Hier zum Beispiel in AB stoßen zwei Seitenflächen zusammen, und hier in EB stoßen zwei zusammen. Der ganze Unterschied zwischen Oktaeder und Würfel liegt im Schnittwinkel der Seitenflächen. Wenn sich Flächen so wie beim Würfel [rechtwinklig] schneiden, so entsteht ein Würfel. Wenn sie sich aber so schneiden wie hier [stumpf], so entsteht ein Oktaeder. Es handelt sich darum, daß wir Flächen unter den verschiedensten Winkeln sich schneiden lassen, dann bekommen wir die verschiedensten Raumgebilde.”

[ 15 ] Denken Sie sich nun, wir könnten hier dieselben Flächen des Oktaeders auch in anderer Weise zum Schneiden bringen. Denken Sie sich diese Fläche hier, zum Beispiel AEB, nach allen Seiten fortgesetzt, und diese untere hier, BCF, auch (Figur 36). Dann ebenso die rückwärts liegenden ADF und EDC. So müssen sich dann diese Flächen ebenfalls schneiden, und zwar schneiden sie sich hier doppelt symmetrisch. Wenn Sie diese Flächen in dieser Weise verlängern, so fallen [vier der ursprünglichen Grenzflächen] fort: ABF, EBC und nach rückwärts EAD und DCF. Von acht Flächen bleiben also vier übrig. Und die vier, die dann bleiben, die geben dieses Tetraeder, das man auch die Hälfte eines Oktaeders nennt. Es ist deshalb die Hälfte eines Oktaeders, weil es die Hälfte der Flächen des Oktaeders zum Schnitt bringt. Es ist also nicht so, daß man das Oktaeder in der Mitte zerschneidet. [Bringt man die übrigen vier Flächen des Oktaeders zum Schnitt, so entsteht ebenfalls ein Tetraeder, das mit dem ersten Tetraeder zusammen genau das Oktaeder als gemeinsames Schnittgebilde besitzt.] In der Stereometrie [geometrischen Kristallographie] bezeichnet man nicht das als die Hälfte, was halbiert wird, sondern das, was durch die Halbierung der [Anzahl der] Flächen entsteht. Beim Oktaeder ist das ganz leicht vorzustellen.

[ 16 ] Wenn Sie sich den Würfel in derselben Weise halbiert denken, wenn Sie sich also hier eine Fläche mit der entsprechenden andern sich schneiden lassen, so bekommen Sie immer wieder einen Würfel. Die Hälfte eines Würfels ist wieder ein Würfel. Daraus möchte ich einen wichtigen Schluß ziehen, will aber dazu noch vorher etwas anderes zu Hilfe nehmen.

[ 17 ] Hier habe ich einen Rhombenzwölfflächner [Rhombendodekaeder] (Figur 37). Sie sehen, daß die Flächen unter gewissen Winkeln aneinandergrenzen. Es ist nun hier zu gleicher Zeit ein System von vier Drähten zu sehen, welche ich Achsendrähte nennen möchte, und die zueinander gegenläufig sind, [das heißt gewisse einander gegenüberliegende Ecken des Rhombendodekaeders miteinander verbinden, also Diagonalen sind]. Diese Drähte stellen nun in einer ähnlichen Weise ein System von Achsen dar, wie Sie es sich vorstellten, daß am Würfel ein System von Achsen ist.

[ 18 ] Den Würfel bekommt man, wenn man bei einem System von drei aufeinander senkrecht stehenden Achsen dadurch Schnittflächen hervorbringt, daß in jeder dieser Achsen Stauungen eintreten.

[ 19 ] Läßt man die Achsen unter anderen Winkeln sich schneiden, so bekommt man ein anderes Raumgebilde. Das Rhombendodekaeder hat Achsen, die sich unter anderen als rechten Winkeln schneiden.

[ 20 ] Der Würfel gibt halbiert [wieder] sich selbst. Dies trifft aber nur beim Würfel zu. Das Rhombendodekaeder, in seinen halben Flächen zum Schnitt gebracht, gibt ebenfalls ein anderes Raumgebilde.

[ 21 ] Nehmen wir nun das Verhältnis des Oktaeders zum Tetraeder. Und zwar will ich Ihnen sagen, was da gemeint ist. Das tritt klar hervor, wenn wir allmählich das Oktaeder in das Tetraeder übergehen lassen. Nehmen wir zu diesem Zwecke ein Tetraeder, dem wir, wie an einer Spitze angedeutet, die Ecken abschneiden (Figur 38). Setzen wir dies fort, bis die Schnittflächen sich an den Kanten des Tetraeders begegnen; dann bleibt übrig das angedeutete Oktaeder. So bekommen wir aus einem Raumgebilde, das durch vier Flächen begrenzt ist, ein achtseitiges Gebilde, wenn wir unter entsprechenden Winkeln die Ecken abschneiden.

[ 22 ] Dasselbe, was ich hier mit dem Tetraeder gemacht habe, können Sie wiederum nicht mit dem Würfel machen.*! Der Würfel hat ganz besondere Eigenschaften, nämlich, daß er das Gegenstück ist zum dreidimensionalen Raum. Denken Sie sich den gesamten Weltenraum so gegliedert, daß er drei aufeinander senkrecht stehende Achsen hat. Wenn Sie zu diesen drei Achsen senkrecht stehende Flächen haben, so bekommen Sie unter allen Umständen einen Würfel (Figur 39). Man sagt deshalb, wenn man mit dem Würfel den theoretischen Würfel bezeichnen will, der Würfel sei überhaupt das Gegenstück zum dreidimensionalen Raum. So wie das Tetraeder das Gegenstück ist zum Oktaeder, wenn ich die Seiten des Oktaeders zu bestimmten Schnitten bringe, so ist der einzelne Würfel das Gegenstück zum ganzen Raum.“ Wenn Sie sich den ganzen Raum als positiv denken, so ist der Würfel negativ. Der Würfel ist zum ganzen Raum polar. Der Raum hat im physischen Würfel sein ihm eigentlich korrespondierendes Gebilde.

[ 23 ] Nehmen Sie einmal jetzt an, ich würde den [dreidimensionalen] Raum nicht durch zweidimensionale Ebenen begrenzen, sondern ich würde ihn so begrenzen, daß ich ihn durch sechs Kugeln begrenzen lasse [also durch dreidimensionale Gebilde].

[ 24 ] Ich begrenze zunächst den zweidimensionalen Raum dadurch, daß ich vier ineinandergehende Kreise [also zweidimensionale Gebilde] habe. Sie können sich nun vorstellen, daß diese vier Kreise immer größer und größer werden [indem der Radius immer länger wird und der Mittelpunkt sich immer weiter entfernt]; dann werden sie mit der Zeit alle in eine gerade Linie übergehen (Figur 40). Sie bekommen dann vier sich schneidende Geraden, und statt der vier Kreise ein Quadrat.

[ 25 ] Denken Sie sich nun statt der Kreise Kugeln, und zwar sechs, so daß sie eine Art von Maulbeere bilden (Figur 41). Wenn Sie sich mit den Kugeln dasselbe denken wie mit den Kreisen, daß sie immer größere Durchmesser bekommen, so werden diese sechs Kugeln zuletzt ebenso die Begrenzungsflächen eines Würfels werden, wie die vier Kreise zu Begrenzungslinien eines Quadrates wurden.

[ 26 ] Der Würfel ist jetzt dadurch entstanden, daß wir sechs Kugeln hatten, die flach geworden sind. Es ist also der Würfel nichts anderes als der Spezialfall für sechs ineinandergreifende Kugeln — ebenso wie das Quadrat nichts anderes ist als der Spezialfall für vier ineinandergreifende Kreise.

[ 27 ] Wenn Sie sich klar sind, daß Sie sich diese sechs Kugeln so vorzustellen haben, daß sie, in die Ebene gebracht, unseren früheren Quadraten entsprechen, wenn Sie sich ein absolut rundes Gebilde übergehend denken in ein gerades, so bekommen Sie die einfachste Raumform. Der Würfel kann vorgestellt werden als die Verflachung von sechs ineinandergeschobenen Kugeln.

[ 28 ] Sie können von einem Punkt eines Kreises sagen, daß er durch die zweite Dimension hindurchgehen muß, wenn er zu einem anderen [Punkt des Kreises] kommen will. Haben Sie aber den Kreis so groß werden lassen, daß er eine gerade Linie bildet, dann kann jeder Punkt des Kreises zu jedem anderen Punkt des Kreises kommen durch die erste Dimension.

[ 29 ] Wir betrachten ein Quadrat begrenzt von Gebilden, welches jedes zwei Dimensionen hat. Solange jedes von den vier Grenzgebilden ein Kreis ist, ist es also zweidimensional. Jedes Grenzgebilde, wenn es eine Gerade geworden ist, ist eindimensional.

[ 30 ] Jede Grenzfläche eines Würfels ist aus einem dreidimensionalen Gebilde so entstanden, daß jeder der sechs Grenzkugeln eine Dimension weggenommen wurde. Eine solche Grenzfläche ist also dadurch entstanden, daß [bei ihr] die dritte Dimension auf zwei reduziert, sozusagen zurückgebogen worden ist. Sie hat also eine Dimension eingebüßt. So ist die zweite Dimension entstanden durch Einbüßung der Tiefen-Dimension. Man könnte also jede Raumesdimension in ihrer Entstehung so vorstellen, daß sie eine entsprechende höhere eingebüßt hat.

[ 31 ] Wie wir ein dreidimensionales Gebilde mit zweidimensionalen Grenzen erhalten, wenn wir dreidimensionale Grenzgebilde auf zweidimensionale reduzieren, so müssen Sie daraus schließen, daß wir, wenn wir den dreidimensionalen Raum betrachten, wir eine jede Richtung als verflacht uns zu denken haben, und zwar verflacht aus einem unendlichen Kreis; so daß Sie, wenn Sie in der einen Richtung fortschreiten könnten, Sie aus der anderen zurückkommen würden. So ist eine jede [gewöhnliche] Raumdimension dadurch entstanden, daß sie die entsprechende andere [Dimension] verloren hat. In unserem dreidimensionalen Raum steckt ein dreiachsiges System. Es sind drei aufeinander senkrecht stehende Achsen, welche die entsprechenden anderen Dimensionen eingebüßt haben und dadurch flach geworden sind.

[ 32 ] Sie bekommen also den dreidimensionalen Raum, wenn Sie eine jede [der drei] Achsen-Richtungen geradebiegen. Wenn man umgekehrt vorgeht, so könnte jeder Raumteil wieder in sich gekrümmt werden. Dann würde [folgende Gedankenreihe] entstehen: Krümmen Sie das eindimensionale Gebilde, so bekommen Sie ein zweidimensionales; durch Krümmen des zweidimensionalen Gebildes bekommen Sie ein dreidimensionales. Krümmen Sie endlich ein dreidimensionales Gebilde, so bekommen Sie ein vierdimensionales Gebilde, so daß das Vierdimensionale auch vorgestellt werden kann als ein in sich gekrümmtes Dreidimensionales.*

[ 33 ] Und damit komme ich von dem Toten zum Lebendigen. Durch dieses Krümmen können Sie den Übergang vom Toten zum Lebendigen finden. Der vierdimensionale Raum ist [beim Übergang ins Dreidimensionale] so spezialisiert, daß er flach geworden ist. Der Tod ist [für das menschliche Bewußtsein] nichts anderes als das Biegen des Dreidimensionalen in das Vierdimensionale. [Für den physischen Leib für sich genommen ist es umgekehrt: Der Tod ist eine Verflachung des Vierdimensionalen in das Dreidimensionale.]