The Rudolf Steiner Archive

Über den mehrdimensionalen Raum

[ 1 ] Der Gegenstand, der uns heute beschäftigen soll, wird uns mancherlei Schwierigkeiten machen. Betrachten Sie den Vortrag als eine Episode; er wird ja auf Wunsch gehalten. Wenn man den Gegenstand nur formal in seiner Tiefe erfassen will, so sind einige mathematische Vorkenntnisse nötig. Wenn man ihn aber in seiner Realität erfassen will, so muß man schon sehr tief eindringen in den Okkultismus. Wir können also heute nur sehr oberflächlich davon reden, nur eine Anregung geben für diesen oder jenen.

[ 2 ] Es ist sehr schwierig, überhaupt über die Mehrdimensionalität zu sprechen, weil man sich, wenn man in der Vorstellung sich eine Anschauung von dem machen will, was mehr als drei Dimensionen sind, sich da in abstrakten Gebieten zu ergehen hat, und da müssen die Begriffe sehr präzise und streng gefaßt werden, sonst kommt man ins Bodenlose. Und dahin sind ja auch viele Freunde und Feinde gekommen.

[ 3 ] Der Begriff des mehrdimensionalen Raumes ist ja der Mathematikerwelt gar nicht so fremd, als man gewöhnlich glaubt.® Es gibt in Mathematikerkreisen schon ein Rechnen mit einer mehrdimensionalen Rechnungsart. Natürlich kann der Mathematiker nur in einem sehr begrenzten Sinn von diesem Raum sprechen, er kann nur die Möglichkeit erörtern. Ob er wirklich ist, kann nur der feststellen, der in einen mehrdimensionalen Raum hineinschauen kann. Hier haben wir es schon mit lauter Begriffen zu tun, die, wenn man sie nur genau faßt, wirklich uns Klarheit verschafffen über den Raumbegriff.

[ 4 ] Was ist der Raum? Man sagt gewöhnlich: Um mich herum ist Raum, ich gehe im Raum herum — und so weiter. Wer eine deutlichere Vorstellung haben will, der muß schon auf einige Abstraktionen eingehen. Wir nennen den Raum, in dem wir uns bewegen, dreidimensional. Er hat eine Ausdehnung nach Höhe und Tiefe, nach rechts und links, nach vorne und hinten, er hat Länge, Breite und Höhe. Wenn wir Körper betrachten, so sind diese Körper für uns in diesem dreidimensionalen Raum ausgedehnt, sie haben für uns eine gewisse Länge, eine gewisse Breite und Höhe.

[ 5 ] Wir müssen uns aber mit den Einzelheiten des Raumbegriffes beschäftigen, wenn wir zu einem genaueren Begriff kommen wollen. Sehen wir auf den einfachsten Körper, den Würfel. Er zeigt uns am deutlichsten, was Länge, Breite und Höhe sind. Wir finden eine Grundfläche des Würfels, die in der Länge und Breite sich gleich ist. Bewegen wir die Grundfläche in die Höhe, gerade so weit, wie die Grundfläche breit und lang ist, so bekommen Sie den Würfel, der also ein dreidimensionales Gebilde ist. An dem Würfel können wir am klarsten uns unterrichten über die Einzelheiten eines dreidimensionalen Gebildes. Wir untersuchen die Grenzen des Würfels. Diese werden überall gebildet von Flächen, die von gleich langen Seiten begrenzt werden. Sechs solcher Flächen sind vorhanden.

[ 6 ] Was ist eine Fläche? Schon hier wird der straucheln, der nicht zu ganz scharfen Abstraktionen fähig ist. Man kann zum Beispiel die Grenzen nicht von einem Wachswürfel als feine Wachsschicht abschneiden. Man bekäme dann ja immer noch eine Schicht von gewisser Dicke, erhielte also einen Körper. Auf diese Weise kommen wir nie zur Grenze des Würfels. Die wirkliche Grenze hat nur Länge und Breite, keine Höhe. Die Dicke ist gestrichen. Wir kommen also zu dem formelhaften Satze: Die Fläche ist die Grenze [eines dreidimensionalen Gebildes], bei der eine Dimension fortfällt.

[ 7 ] Was ist nun die Grenze der Fläche, zum Beispiel des Quadrats? Hier müssen wir wieder die äußerste Abstraktion nehmen. [Die Grenze einer Fläche] ist eine Linie, die nur eine Dimension, die Länge, hat. Die Breite ist gestrichen. Was ist die Grenze der Linie? Es ist der Punkt, er hat gar keine Dimension. Man bekommt also jedesmal die Grenze eines Gebildes, indem man eine Dimension fortläßt.

[ 8 ] Also könnte man sich sagen, und das ist auch der Gedankengang, den viele Mathematiker gegangen sind, besonders auch Riemann,*“ der hier das Gediegenste geleistet hat: Wir nehmen den Punkt, der gar keine, die Linie, die eine, die Fläche, die zwei, den Körper, der drei Dimensionen hat. Nun fragten sich die Mathematiker: Könnte es nicht so sein, daß man rein formal sagen könnte, man kann noch eine vierte Dimension hinzufügen? Dann müßte der [dreidimensionale] Körper die Grenze des vierdimensionalen Gebildes sein, wie die Fläche die Grenze des Körpers, die Linie die Grenze der Fläche und der Punkt die Grenze der Linie ist. Natürlich kommt der Mathematiker dann noch weiter zu fünf-, sechs- und siebendimensionalen Gebilden und so weiter. Wir haben [sogar beliebige] »-dimensionale Gebilde [wo » eine positive ganze Zahl ist].

[ 9 ] Nun kommt schon eine Unklarheit in die Sache, wenn wir sagen: Der Punkt hat gar keine, die Linie hat eine, die Fläche zwei, der Körper drei Dimensionen. Wir können nun einen solchen Körper, zum Beispiel einen Würfel, aus Wachs, Silber, Gold und so weiter machen. Sie sind der Materie nach verschieden. Wir machen sie gleich groß, dann nehmen sie alle den selben Raum ein. Lassen Sie nun alle Materie fort, so bleibt nur ein bestimmter Raumteil, der das Raumbild des Körpers ist, übrig. Diese Raumteile sind [alle untereinander] gleich, aus welchem Stoff der Würfel auch bestand. Diese Raumteile haben auch Länge, Breite und Höhe. Wir können uns nun diese Würfel unendlich ausgedehnt denken und kommen so zu einem unendlich ausgedehnten dreidimensionalen Raum. Der (materielle] Körper ist ja nur ein Teil davon.

[ 10 ] Es fragt sich nun, ob wir ohne weiteres solche begrifflichen Erwägungen, die wir, vom Raume ausgehend, machen, ausdehnen können auf höhere Wirklichkeiten. Der Mathematiker rechnet bei diesen Erwägungen eigentlich nur, und zwar mit Zahlen. Nun fragt es sich, ob man das überhaupt darf. Ich will Ihnen zeigen, eine wie große Verwirrung schon entstehen kann, wenn man mit den Raumgrößen zahlenmäßig rechnet. Warum? Ich brauche Ihnen nur eines zu sagen: Denken Sie sich, Sie haben hier eine quadratische Figur. Ich kann diese Figur, diese Fläche, nach beiden Seiten immer breiter machen und komme so zu einer Fläche, die sich unbegrenzt zwischen zwei Linien ausdehnt (Figur 56).

[ 11 ] Diese Fläche ist doch unendlich groß, ist also >. Jetzt denken Sie sich jemand, der höre, der Flächenraum zwischen diesen beiden Linien ist unendlich [groß]. Da denkt er sich natürlich die Unendlichkeit. Sprechen Sie nun zu ihm von der Unendlichkeit, so kann er sich unter Umständen ganz falsche Vorstellungen davon bilden. Denken Sie sich, ich nehme jetzt noch unten [zu jedem Quadrat je eines dazu, also eine weitere Quadratreihe von] unendlich vielen Quadraten, so erhalte ich eine [andere] Unendlichkeit, die genau doppelt so groß ist, wie die erstere (Figur 57). Es ergibt sich also > = 2 + 0,

[ 12 ] Auf dieselbe Weise könnte ich bekommen: » = 3 + ,

[ 13 ] Sie können überhaupt, wenn Sie mit Zahlen rechnen, ebensogut die Unendlichkeit benutzen wie eine Endlichkeit. So wahr [es ist, daß] der Raum schon im ersten Falle unendlich war, ebenso wahr ist es, daß er nachher 2 + c, 3 - c& und so weiter ist. Wir rechnen hier also zahlenmäßig.

[ 14 ] Wir sehen, der [sich an die zahlenmäßige Erfassung anschließende] Begriff der Unendlichkeit des Raumes gibt uns gar keine Möglichkeit, hier tiefer [in die höheren Wirklichkeiten] einzudringen. Zahlen haben eigentlich gar keine Beziehung zum Raume, verhalten sich ganz neutral zu ihm, wie Erbsen oder irgendwelche anderen Gegenstände. Sie wissen ja nun, daß sich durch Rechnen an der Realität nichts ändert. Hat jemand drei Erbsen, so kann er daran durch die Multiplikation nichts ändern, wenn er auch richtig rechnet. [Die Rechnung] 3 + 3 = 9 gibt noch‘keine neun Erbsen. Eine bloße Überlegung ändert hier nichts, und Rechnen ist eine bloße Überlegung. Ebenso wie die drei Erbsen zurückbleiben, [man in Wirklichkeit keine neun Erbsen erzeugt,] wenn auch richtig multipliziert wird, so muß der dreidimensionale Raum ebenso zurückbleiben, wenn der Mathematiker auch rechnet: zwei-, drei-, vier-, fünfdimensionaler Raum. Sie werden fühlen, daß eine solche mathematische Überlegung etwas sehr Bestechendes hat. Diese Überlegung beweist aber nur, daß der Mathematiker zwar mit einem solchen mehrdimensionalen Raum rechnen könnte; [ob es aber einen mehrdimensionalen Raum tatsächlich gibt, das heißt,] über die Gültigkeit eines solchen Begriffes [für die Wirklichkeit] kann er nichts ausmachen. Das wollen wir uns hier in aller Strenge klarmachen.

[ 15 ] Jetzt wollen wir noch einige andere Überlegungen ins Auge fassen, die von Mathematikerseite sehr scharfsinnig, könnte man sagen, gemacht worden sind. Wir Menschen denken, hören, fühlen und so weiter im dreidimensionalen Raum. Denken wir uns einmal, daß es Wesen gäbe, die nur im zweidimensionalen Raum wahrnehmen könnten, die so organisiert wären, daß sie immer nur in der Fläche bleiben müssen, daß sie nicht aus der zweiten Dimension herauskommen könnten. Solche Wesen sind durchaus denkbar: sie können sich nur nach rechts und links [und nach hinten und vorne] bewegen [und wahrnehmen] und haben keine Ahnung davon, was oben und unten sich befindet.

[ 16 ] Nun könnte es dem Menschen in seinem dreidimensionalen Raum auch so gehen. Er könnte nur für die drei Dimensionen organisiert sein, so daß er die vierte Dimension nur nicht wahrnehmen könnte, die aber für ihn sich ebenso hinzu ergibt, wie für die anderen die dritte sich hinzu ergibt. Nun sagen die Mathematiker, das ist durchaus denkmöglich, den Menschen als solches Wesen zu denken. Nun könnte man aber wieder sagen, das ist nun auch nur so eine Auslegung. Man könnte das gewiß sagen. Aber hier muß man doch wieder etwas genauer zu Werke gehen. So einfach wie im ersten Falle [mit der zahlenmäßigen Erfassung der Unendlichkeit des Raumes] liegt die Sache hier doch nicht. Ich gebe absichtlich heute nur ganz einfache Erörterungen.

[ 17 ] Es ist mit dieser Schlußfolgerung nicht so, wie mit der ersten rein formalen [rechnerischen] Erwägung. Wir kommen hier zu einem Punkte, wo wir einhaken können. Es ist richtig, daß es ein Wesen geben kann, das nur wahrrniehmen kann, was in der Fläche sich bewegt, das keine Ahnung hat, daß es oben oder unten noch etwas gibt. Nun denken Sie sich einmal folgendes: Denken Sie sich, innerhalb der Fläche wird für das Wesen ein Punkt sichtbar, der natürlich wahrnehmbar ist, weil er in der Fläche sich befindet. Bewegt der Punkt sich nur in der Fläche, so bleibt er sichtbar, bewegt er sich aber aus der Fläche heraus, so wird er unsichtbar. Er wäre verschwunden für das Flächenwesen. Denken wir nun, der Punkt tauchte nachher wieder auf, werde also wieder sichtbar, verschwände dann wieder und so weiter. Verfolgen kann das Wesen den [aus der Fläche herausgehenden] Punkt nicht, aber sagen kann sich das Wesen: der Punkt ist inzwischen irgendwo gewesen, wo ich nicht hinschauen kann. Das Flächenwesen könnte nun ein zweifaches tun. Versetzen wir uns einmal in die Seele dieses Flächenwesens. Es könnte einmal sagen: Es gibt eine dritte Dimension, in die der Gegenstand untergetaucht ist, dann ist er nachher wieder aufgetaucht. - Oder es könnte auch sagen: Das sind ganz dumme Wesen, die von einer dritten Dimension sprechen, der Gegenstand ist [in jedem Falle] immer verschwunden, untergegangen und [jedesmal] wieder neu entstanden. - Man müßte dann doch sagen: Das Wesen sündigt gegen den Verstand. Wenn es also nicht ein fortwährendes Verschwinden und Neuentstehen annehmen will, muß sich das Wesen doch sagen: Der Gegenstand ist irgendwo untergetaucht, verschwunden, wo ich nicht hineinschauen kann.

[ 18 ] Ein Komet, wenn er verschwindet, geht durch den vierdimensionalen Raum.“ Wir sehen hier, was wir zu der mathematischen Betrachtung hinzufügen müssen. Es müßte sich im Felde unserer Beobachtungen etwas finden, was immer auftaucht und wieder verschwindet. Dazu braucht man gar nicht hellsehend zu sein. Wäre das Flächenwesen hellsehend, so brauchte es ja nicht [bloß] zu schließen, es wüßte ja aus der Erfahrung, daß es eine dritte Dimension gibt. Ebenso ist es für den Menschen. Solange er nicht hellsehend ist, müßte er sich sagen: Ich bleibe in den drei Dimensionen; sobald ich aber etwas beobachte, das von Zeit zu Zeit verschwindet und wieder auftaucht, so bin ich berechtigt zu sagen: hier gibt es eine vierte Dimension.

[ 19 ] Alles, was bisher gesagt worden ist, ist so unangreifbar wie nur irgend möglich. Und die Bestätigung ist so einfach, daß es dem Menschen in seinem heutigen verblendeten Zustande gar nicht einfallen wird, das zuzugeben. Die Antwort auf die Frage: Gibt es so etwas, was immer verschwindet und wieder auftaucht? — ist so leicht. Denken Sie einmal, es taucht eine Freude in Ihnen auf, und dann verschwindet sie wieder. Es ist unmöglich, daß irgend jemand, der nicht hellsehend ist, sie noch wahrnehmen wird. Nun taucht dieselbe Empfindung durch irgendein Ereignis wieder auf. Nun könnten Sie, genau wie das Flächenwesen, sich in verschiedener Weise verhalten. Entweder [Sie sagen sich,] die Empfindung ist verschwunden irgendwohin, wo ich sie nicht verfolgen kann, oder aber [Sie vertreten die Ansicht, daß] die Empfindung vergeht und immer wieder neu entsteht.

[ 20 ] Es ist nun aber einmal wahr: jeder ins Unbewußte hingeschwundene Gedanke ist ein Beweis dafür, daß etwas verschwindet und [dann] wieder auftaucht. Gegen alles dies ist höchstens folgendes einzuwenden. Wenn Sie sich bemühen, gegen einen solchen Ihnen schon plausiblen Gedanken alles einzuwenden, was von einer materialistischen Anschauung eingewendet werden könnte, so tun Sie ganz recht. Ich will hier einmal den allerspitzfindigsten Einwand machen, alle anderen [Einwände] sind sehr leicht zu widerlegen. Man sagt sich zum Beispiel: alles wird auf rein materialistische Weise erklärt. Nun will ich Ihnen zeigen, daß ganz gut innerhalb der materiellen Vorgänge etwas verschwinden kann, was nachher wieder auftaucht. Stellen Sie sich einmal vor, irgendein Dampfkolben wirkt, stößt immer nach derselben Richtung hin. Er ist als fortschreitender Kolben wahrnehmbar, solange die Kraft wirkt. Nehmen wir nun an, ich setze entgegen einen ganz gleichen, [aber] entgegengesetzt wirkenden Kolben. Dann hebt sich die Bewegung auf, es tritt Stillstand ein. Hier verschwindet also tatsächlich die Bewegung.

[ 21 ] Ganz entsprechend könnte man hier sagen: Für mich ist die Empfindung von Freude nichts anderes, als daß sich etwa im Gehirn Moleküle bewegen. Solange diese Bewegung stattfindet, empfinde ich diese Freude. Nehmen wir nun an, irgend etwas anderes bewirkt im Gehirn eine entgegengesetzte Bewegung der Moleküle, so verschwindet die Freude. Nicht wahr, es könnte jemand, der nicht sehr weit ginge mit seinen Erwägungen, hierin schon einen ganz bedeutungsvollen Einwand [gegen unsere obigen Überlegungen] finden. Aber sehen wir uns einmal an, wie es mit diesem Einwand eigentlich steht. Also genau wie eine [Kolben-] Bewegung durch die entgegengesetzte [Kolbenbewegung] verschwindet, so soll die [der] Empfindung [zugrundeliegende Molekülbewegung] durch die entgegengesetzte [Molekülbewegung] ausgelöscht werden. Was geschieht nun, wenn eine Bewegung des Kolbens die andere auslöscht? Dann verschwinden eben beide Bewegungen. Die zweite Bewegung verschwindet auch sofort. Die zweite Bewegung kann die erste gar nicht auslöschen, ohne daß sie sich [dabei] selbst auslöscht. [Es resultiert ein totaler Stillstand, keinerlei Bewegung bleibt übrig.] Ja, dann kann aber niemals eine [neue] Empfindung die [schon vorhandene] Empfindung auslöschen [ohne selbst zugrunde zu gehen]. Also könnte niemals irgendeine Empfindung, die in meinem Bewußtsein ist, eine andere auslöschen [ohne dabei sich selbst auszulöschen]. Es ist also eine ganz falsche Annahme, daß [überhaupt] eine Empfindung eine andere auslöschen könnte. [Wenn das nämlich der Fall wäre, bliebe keine Empfindung übrig, es träte ein total empfindungsloser Zustand ein.]

[ 22 ] Jetzt könnte höchstens noch gesagt werden, daß die erste Empfindung durch die zweite ins Unterbewußtsein gedrängt wird. Aber dann gibt man eben zu, daß etwas besteht, was sich unserer [unmittelbaren] Beobachtung entzieht.

[ 23 ] Wir haben heute gar nicht Rücksicht genommen auf irgendwelche hellseherische Beobachtungen, sondern nur von rein mathematischen Vorstellungen gesprochen. Da wir nun die Möglichkeit einer solchen vierdimensionalen Welt zugegeben haben, so fragen wir uns: Gibt es eine Möglichkeit, so etwas [Vierdimensionales] zu beobachten, ohne daß man hellsehend ist? — Ja, wir müssen dazu aber eine Art Projektion zu Hilfe nehmen. Wenn Sie ein Flächenstück haben, so können Sie es so drehen, daß das Schattenbild zur Linie wird. Ebenso können Sie von einer Linie als Schattenbild einen Punkt bekommen. Für einen [dreidimensionalen] Körper ist das Schattenbild eine [zweidimensionale] Fläche. Ebenso kann man sagen: Also ist es durchaus natürlich, wenn wir uns klar darüber sind, daß es eine vierte Dimension gibt, daß wir sagen: [Dreidimensionale] Körper sind Schattenbilder vierdimensionaler Gebilde.

[ 24 ] Hier sind wir [nun wieder] auf rein geometrische Weise zur Vorstellung [eines vierdimensionalen Raumes] gekommen. [Mit Hilfe der Geometrie] ist dies aber auch noch auf andere Weise möglich. Denken Sie sich ein Quadrat, das ja zwei Dimensionen hat. Denken Sie sich die vier [es begrenzenden] Linien nebeneinandergelegt [, das heißt abgewickelt], so haben Sie [die Grenzgebilde] eines zweidimensionalen Gebildes in eine Dimension auseinandergelegt (Figur 58). Gehen wir weiter. Denken Sie, wir haben eine Linie. Gehen wir ebenso vor wie bei dem Quadrat, so können wir Sie auch auseinanderlegen, und zwar in zwei Punkte [und haben damit die Grenzen eines eindimensionalen Gebildes in

[ 25 ] null Dimensionen auseinandergelegt]. Einen Würfel können Sie sich auch auseinanderlegen, und zwar in sechs Quadrate (Figur 59). Da haben.wir also den Würfel hinsichtlich seiner Grenzen in Flächen auseinandergelegt, so daß wir sagen können: Eine Linie wird in zwei Punkte, eine Fläche in vier Linien, ein Würfel in sechs Flächen auseinandergelegt. Wir haben hier die Zahlenfolge zwei, vier, sechs.

[ 26 ] Jetzt nehmen wir acht Würfel. Genau wie [die obigen Abwicklungen jedesmal aus] auseinandergelegten Grenzen bestehen, so bilden hier die acht Würfel das Grenzgebilde des vierdimensionalen Körpers (Figur 60). Die [Abwicklung dieser] Grenzen bildet ein Doppelkreuz, das, können wir sagen, die Grenzen des regelmäßigen [vierdimensionalen] Körpers angibt. [Dieser Körper, ein vierdimensionaler Würfel, wird nach Hinton Tessarakt genannt.]

[ 27 ] Wir können uns also eine Vorstellung bilden von den Grenzen dieses Körpers, des Tessarakts. Wir haben hier dieselbe Vorstellung von dem vierdimensionalen Körper, wie das zweidimensionale Wesen sie haben könnte von einem Würfel, zum Beispiel durch Auseinanderlegen [das heißt Abwicklung] der Grenzen.