The Rudolf Steiner Archive

Dritter Vortrag

Third Lecture

[ 1 ] Wir werden heute, um auf das Ziel zuzusteuern, dem wir in den ersten Tagen unserer Betrachtungen schon nahekommen müssen, noch einige Erscheinungen uns ansehen, welche die Beziehung des Wärmewesens zum sogenannten Aggregatzustand betreffen, also zu dem, was, wie ich Ihnen gestern gesagt habe, in der alten physikalischen Weltanschauung bezeichnet wurde als Erde, Wasser, Luft. Sie wissen ja, daß Erde, Wasser, Luft oder, wie wir es heute nennen, feste, flüssige und gasförmige Körper, in andere überzuführen sind. Dabei zeigt sich aber mit Bezug auf das Wärmewesen eine ganz besondere Erscheinung. Ich will die Erscheinung zunächst beschreiben, und wir wollen sie dann einfach konstatieren: Nehmen wir irgendeinen festen Körper und erwärmen wir ihn, so wird er eben immer wärmer und wärmer, bis er zu einem Punkte kommt, an dem er übergeht aus dem festen in den flüssigen Zustand. Wir können nun, wenn wir ein Thermometer zu Hilfe nehmen, konstatieren, wie, während der Körper immer wärmer und wärmer wird, das Thermometer steigt. In dem Augenblick, in dem der Körper beginnt flüssig zu werden, also zu schmelzen, hört das Thermometer auf zu steigen. Es wartet, bis der ganze Körper flüssig geworden ist, und es steigt erst wieder innerhalb der Flüssigkeit, die aus dem Körper geworden ist. So daß wir sagen können: Während des Vorganges des Schmelzens zeigt sich an dem Thermometer kein Ansteigen der Temperatur. Dabei darf man aber nicht glauben, daß das Wärmewesen selber unbeteiligt ist. Wenn wir nun keine Wärme zuführen würden, so würde das Schmelzen aufhören. Wir müssen also Wärme zuführen, um das Schmelzen bewirken zu können, aber diese Wärme zeigt sich nicht am "Thermometer, sondern es fängt erst an, daß sich wiederum Wärme am Thermometer zeigt, wenn das Schmelzen vollzogen ist und nun weiter erwärmt wird die Flüssigkeit, die aus dem festen Körper entstanden ist. Diese Erscheinungen müssen zunächst einmal genau ins Auge gefaßt werden. Denn Sie sehen, daß durch diese Erscheinungen in dem Fortgang des Aufsteigens der Temperatur eine Unterbrechung eintritt. Wir wollen eine Anzahl solcher Erscheinungen zusammenstellen, die uns dann, ohne daß wir übergehen zu irgendwelchen ausgedachten Theorien, zu einer Anschauung über das Wärmewesen werden führen können. Wir haben hier vorbereitet zunächst diesen festen Körper, Natriumthiosulfat. Wir werden diesen Körper zum Schmelzen bringen. Sie sehen hier eine Temperatur von etwa 25°. Nun handelt es sich darum, daß wir diesem Körper Wärme zuführen, und ich bitte irgend jemand, als Delegierten sich hierher zu begeben, um zu sehen, wie während des Schmelzens dieses Körpers die Temperatur tatsächlich nicht steigt. (Inzwischen ist das Thermometer auf 48°, den Schmelzpunkt des Natriumthiosulfats, gestiegen und dieses ist geschmolzen.) Jetzt steigt das Thermometer rasch, weil das Schmelzen vollzogen ist, während es früher stehenblieb während des ganzen Schmelzvorganges.

[ 1 ] Today, in order to move toward the goal we must already be approaching in the early days of our considerations, we will examine a few more phenomena concerning the relationship between the nature of heat and the so-called states of matter—that is, what, as I told you yesterday, was designated in the old physical worldview as earth, water, and air. As you know, earth, water, and air—or, as we call them today, solid, liquid, and gaseous bodies—can be transformed into one another. In this process, however, a very special phenomenon becomes apparent with regard to the nature of heat. I will first describe this phenomenon, and then we will simply observe it: If we take any solid body and heat it, it simply becomes warmer and warmer until it reaches a point at which it transitions from the solid to the liquid state. Now, if we use a thermometer, we can observe how, as the body gets hotter and hotter, the thermometer rises. The moment the body begins to turn into a liquid—that is, to melt—the thermometer stops rising. It waits until the entire body has become liquid, and it begins to rise again only within the liquid that has formed from the body. Thus, we can say: During the process of melting, the thermometer shows no rise in temperature. However, one must not believe that heat itself is uninvolved. If we were to stop supplying heat, the melting would cease. We must therefore supply heat to bring about melting, but this heat is not indicated on the thermometer; rather, the thermometer begins to show a rise in temperature only after the melting is complete and the liquid that has formed from the solid body is further heated. These phenomena must first be carefully examined. For you can see that these phenomena cause an interruption in the steady rise of the temperature. Let us compile a number of such phenomena, which will then lead us—without resorting to any contrived theories—to an understanding of the nature of heat. We have prepared here, to begin with, this solid substance: sodium thiosulfate. We will bring this substance to a melt. You can see here a temperature of about 25°. Now the task is to apply heat to this substance, and I ask someone to come up here as a representative to observe how, during the melting of this substance, the temperature actually does not rise. (Meanwhile, the thermometer has risen to 48°, the melting point of sodium thiosulfate, and it has melted.) Now the thermometer is rising rapidly because the melting is complete, whereas earlier it remained stationary throughout the entire melting process.

[ 2 ] Nun wollen wir einmal diesen Vorgang uns einfach versinnlichen. Wir können das auf folgende Weise tun. Das Ansteigen der Temperatur wollen wir auffassen als eine Linie, die in dieser Weise ansteigt. Nehmen wir an, wir seien mit der ansteigenden Temperatur bis zum sogenannten Schmelzpunkt gekommen. Hier beginnt der Körper zu schmelzen. Die Temperatur bleibt, soweit sie durch das Thermometer gezeigt wird, stehen. Wenn ich jetzt weiter erhitze, steigt die Temperatur wieder an. Man würde sehen, daß sich durch das Ansteigen der Temperatur, das heißt durch das Zuführen weiterer Wärme, die betreffende Flüssigkeit ausdehnt. Nun handelt es sich darum, daß wir einen solchen flüssig gewordenen Körper weiter erhitzen. Dann steigt die Temperatur wiederum und zwar ‘von demselben Punkte aus, an dem sie beim Schmelzen war (punktierte Linie). Sie steigt, so lange der Körper nun flüssig bleibt. Wir können zu einem zweiten Punkt kommen, in dem die Flüssigkeit beginnt zu sieden, zu verdampfen. Wir haben wieder dieselbe Erscheinung: Das Thermometer hört auf, eineErhöhung der "Temperatur anzuzeigen. So lange, bis die Flüssigkeit verdampft ist. In dem Augenblick, wo die Flüssigkeit verdampft ist, würden wir, wenn wir das Thermometer in den Dampf hineinhalten könnten, wiederum sehen, wie das Thermometer ansteigt (strichpunktierte Linie). Sie könnten hier wiederum beobachten, daß während des Verdampfens das Thermometer nicht ansteigt. Ich habe also hier eine zweite Grenze, an der die Thermometererhöhung stehenbleibt.

[ 2 ] Now let’s simply visualize this process. We can do this in the following way. Let’s think of the rise in temperature as a line that rises in this manner. Suppose we have reached the so-called melting point as the temperature rises. Here, the substance begins to melt. The temperature, as indicated by the thermometer, remains constant. If I continue to heat it now, the temperature rises again. One would observe that, as the temperature rises—that is, as more heat is added—the liquid in question expands. Now, the point is that we continue to heat this body, which has become liquid. Then the temperature rises again, starting “from the same point at which it was during melting” (dotted line). It continues to rise as long as the body remains liquid. We can reach a second point at which the liquid begins to boil and evaporate. We observe the same phenomenon again: the thermometer stops showing an increase in temperature—until the liquid has completely evaporated. The moment the liquid has evaporated, if we could hold the thermometer into the vapor, we would again see the thermometer rise (dashed line). You can observe here once more that during evaporation, the thermometer does not rise. So here I have a second limit at which the rise in temperature stops.

[ 3 ] Nun, zu dieser Erscheinung, die ich Ihnen eben vorgeführt habe, bitte ich Sie, eine andere hinzuzunehmen, die Ihnen aus dem gewöhnlichen Leben sehr gut bekannt sein kann: Wenn wir den festen Körper nehmen, der unseren Ausgangspunkt bildete, so ist dieser, wie Sie wissen, so, daß er seine Form, die er einmal hat, durch sich selbst beibehält (1).

[ 3 ] Now, regarding this phenomenon that I have just demonstrated to you, I ask you to consider another one that may be very familiar to you from everyday life: If we take the solid body that served as our starting point, it is, as you know, such that it retains the shape it once had by its own nature (1).

[ 4 ] Wenn ich irgendeinen festen Körper hierher lege, so bleibt er, wie er ist. Wenn Sie eine Flüssigkeit nehmen, also dasjenige, was durch den Schmelzpunkt hindurchgegangen ist bei der Erwärmung, so wissen Sie, daß ich eine Flüssigkeit nicht hinlegen kann stück weise, sondern ich habe nötig, sie in einem Gefäß zu halten, und sie bleibt in der Form des Gefäßes und bildet oben eine horizontale Niveaufläche (2). Wenn ich ein Gas nehme, Dampf, der durchgegangen ist durch den Siedepunkt, so kann ich den nicht behalten in einem solchen Gefäß. Da geht er mir fort. Einen solchen Dampf kann ich nur aufbehalten in einem Gefäß, das allseitig geschlossen ist, sonst geht mir der Dampf nach allen Seiten hin fort (3). Das gilt wenigstens zunächst für den oberflächlichen Anblick, und wir wollen von diesem oberflächlichen Anblick zunächst einmal ausgehen. Und jetzt bitte ich Sie, folgende Erwägungen mit mir zu machen. Diese Erwägungen stellen wir an, um durch ihr Zusammenbringen zuletzt uns wirklich zu einer Art Erfassung des Wärmewesens hinbegeben zu können. Wodurch habe ich denn überhaupt die ansteigende 'Temperatur konstatiert? Ich habe sie konstatiert durch die Ausdehnung des Quecksilbers. Diese Ausdehnung des Quecksilbers hat sich vollzogen im Raum. Und wenn auch das Quecksilber bei unserer mittleren Temperatur eine Flüssigkeit ist, so müssen wir uns doch klar sein, daß, wenn es auch zusammengehalten wird in dem Gefäß, sich doch die Ausdehnungen nach den drei Dimensionen summieren, und wir bekommen sie als Ausdehnung nur nach der einen Seite heraus. Wir haben doch bei der Ausdehnung des Quecksilbers nach den drei Dimensionen diese nur reduziert auf die eine Dimension hin, so daß wir also das Ansteigen der Temperatur konstatieren durch die Ausdehnung eines Körpers.

[ 4 ] If I place any solid object here, it remains as it is. If you take a liquid—that is, something that has passed through its melting point when heated—you know that I cannot place a liquid in pieces, but rather I must hold it in a vessel, and it takes the shape of the vessel and forms a horizontal surface at the top (2). If I take a gas—steam that has passed through its boiling point—I cannot contain it in such a vessel. It escapes. I can only contain such steam in a vessel that is closed on all sides; otherwise, the steam escapes in all directions (3). This applies, at least at first glance, and let us start from this superficial observation for now. And now I ask you to consider the following points with me. We are making these considerations so that, by bringing them together, we may ultimately arrive at a genuine understanding of the nature of heat. By what means, then, did I actually observe the rising “temperature”? I observed it through the expansion of the mercury. This expansion of the mercury took place in space. And even though mercury is a liquid at our average temperature, we must be clear that, even though it is contained within the vessel, the expansions in all three dimensions add up, and we observe this expansion only in one direction. After all, in the case of mercury’s expansion in all three dimensions, we have reduced this to just one dimension, so that we thus observe the rise in temperature through the expansion of a body.

[ 5 ] Gehen wir von dieser Betrachtung aus, die wir zugrunde gelegt haben, und sehen wir uns das Folgende an: Nehmen wir einmal eine Linie (siehe Zeichnung) — man kann eine Linie natürlich nur denken und sagen Sie sich, auf dieser Linie lägen eine Anzahl Punkte, \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) und so weiter. Wenn Sie zu diesen Punkten kommen wollen, so können Sie durchaus in dieser Linie bleiben. Wenn Sie zum Beispiel hier stehen \((a)\), können Sie zu dem Punkt \(c\) gelangen, indem Sie die Linie durchlaufen. Sie können zurücklaufen und wiederum den Punkt \(a\) erreichen. Kurz, wenn ich die Punkte \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) erreichen will, kann ich durchaus in der Linie bleiben. Anders liegt das, wenn wir den Punkt \(e\) oder den Punkt \(f\) ins Auge fassen. Sie können nicht bei der Linie verbleiben, wenn Sie zu dem Punkt \(e\) und zu dem Punkt \(f\) gelangen wollen. Sie müssen aus der Linie herausgehen, um zu dem Punkt \(e\) und zu dem Punkt \(f\) zu gelangen. Sie müssen also irgendwie auf der Linie laufen und dann aus der Linie heraustreten, um zu diesen Punkten zu gelangen.

[ 5 ] Let’s start from this observation, which we have taken as our basis, and consider the following: Let’s take a line (see drawing)—of course, a line can only be imagined—and suppose that there are a number of points on this line: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), and so on. If you want to reach these points, you can certainly stay on this line. For example, if you’re standing here at \((a)\), you can reach point \(c\) by moving along the line. You can walk back and reach point \(a\) again. In short, if I want to reach the points \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), I can certainly stay on the line. The situation is different if we consider point \(e\) or point \(f\). You cannot stay on the line if you want to reach points \(e\) and \(f\). You must step off the line to reach points \(e\) and \(f\). So you have to walk along the line for a while and then step off the line to reach these points.

[ 6 ] Jetzt nehmen Sie an, Sie betrachten eine Fläche, sagen wir die Fläche der Tafel, und ich registriere wiederum auf der Fläche der Tafel eine Anzahl Punkte: \(a\), \(b\), \(c\). Um diese Punkte zu erreichen, können Sie durchaus in der Fläche der Tafel bleiben. Wenn Sie hier sind \((\times)\), können Sie den Weg machen, der gar nicht aus der Tafel herausgeht, zu jedem dieser Punkte. Sie können aber nicht, wenn Sie in der Tafel verbleiben wollen, zu dieser Spitze, die hier ist (vor der Tafel) und die einen weiteren Punkt darstellt, gelangen. Da müssen Sie aus der Tafel herausgehen. Auf diese Weise ist es möglich, sich eine Anschauung über die Dimensionalität des Raumes zu machen, indem man sich sagt: Für Punkte, die in der ersten Dimension liegen, ist es möglich, durch diese eine Dimension auch zu ihnen zu gelangen. Für Punkte aber, die außerhalb der einen Dimension liegen, kann man nicht, ohne aus dieser Dimension zu gehen, zu diesen Punkten gelangen. Ebenso kann man nicht zu Punkten, die in der dritten Dimension liegen, durch ein Durchlaufen der Fläche gelangen. Was tritt ein, wenn ich nur von den Punkten \(e\) und \(f\) mit Bezug auf die eine Dimension rede, in der die Punkte \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) liegen? Denken Sie sich einmal ein Wesen, welches in der Lage wäre, nur eine einzige Dimension zu beobachten, welches keine Vorstellung hätte von einer zweiten und dritten Dimension. Ein solches Wesen würde, geradeso wie Sie im dreidimensionalen Raume sich bewegen, sich nur in der einen Dimension bewegen. In dem Augenblick, wo dieses Wesen den Punkt a mitnimmt (siehe Zeichnung) bis hierher \((b)\) und der Punkt dann abweicht und nach \(e\) geht, in dem Augenblick würde der Inhalt dieses Punktes für dieses Wesen einfach verschwinden. Er ist nicht da für ein solches Wesen, das nur wahrnehmen könnte in einer solchen Dimension, in dem Augenblick, wo er aus dieser einen Dimension herausgeht. Ebenso sind alle Punkte, die außerhalb der beiden Dimensionen der Fläche liegen, nicht da für ein Wesen, das nur in den zwei Dimensionen der Fläche wahrnehmen kann. Und wenn ein Punkt, der in der Fläche liegt, sich einfallen läßt, aus der Fläche herauszugehen, so würde dieses Wesen kein Mittel haben, um diesen Punkt weiter zu verfolgen. Er würde aus dem Bereich seines Raumes verschwinden. Ein solches Wesen, ein Wesen, das nur wahrnehmen könnte in einer einzigen Dimension, was würde es denn für eine Geometrie haben? Es würde nur eine eindimensionale Geometrie haben. Es würde nur innerhalb der einen Dimension von Entfernungen und dergleichen und ihren Gesetzen reden können. Ein Wesen, das nur in zwei Dimensionen wahrnehmen kann, würde nur von den Gesetzen der ebenen Figuren sprechen können, würde nur eine zweidimensionale Geometrie haben. Wir Menschen haben eine dreidimensionale Geometrie zunächst. Ein Wesen mit einer eindimensionalen Geometrie hätte gar keine Möglichkeit, irgendwie dasjenige geometrisch zu versinnlichen, was ein Punkt tut, der aus der einen Dimension hinausgeht. Ein Wesen mit einer zweidimensionalen Geometrie hätte keine Möglichkeit, das zu verfolgen, was ein Punkt tut, der aus den zwei Dimensionen herausgeht und nachher da ist (vor der Tafel). Wir Menschen - ich sage es noch einmal — haben eine dreidimensionale Geometrie. Nun könnte ich ebensogut, weil ich es ja eigentlich zu tun habe, wie schon früher gesagt, bei der Ausdehnung des Quecksilbers mit drei Dimensionen, die nur auf eine Dimension reduziert sind, könnte ich, wie ich hier, nur durch die Tafel veranlaßt, auf zwei Dimensionen eine Linie gezogen habe, sie auch so ziehen, daß ich sie auf ein Raumkoordinatensystem bezöge. Ich hätte hier eine Abszissenachse, eine Ordinatenachse und senkrecht darauf eine dritte Achse, und ich würde diese Linie als eine Raumlinie ziehen können. In dem Augenblick, in dem ich ankomme entweder bei dem Schmelzpunkt oder Siedepunkt, bin ich nicht in der Lage, irgendwie mit dem Ziehen dieser Linie fortzufahren.

[ 6 ] Now suppose you are looking at a surface—let’s say the surface of the blackboard—and I mark a number of points on that surface: \(a\), \(b\), \(c\). To reach these points, you can certainly remain on the surface of the blackboard. If you are here \((\times)\), you can take a path that never leaves the blackboard to reach any of these points. However, if you want to remain on the blackboard, you cannot reach this point here (in front of the blackboard), which represents another point. To get there, you must leave the blackboard. In this way, it is possible to gain an intuition about the dimensionality of space by saying to oneself: For points that lie within the first dimension, it is possible to reach them through that single dimension. For points, however, that lie outside that single dimension, one cannot reach them without leaving that dimension. Similarly, one cannot reach points lying in the third dimension by traversing the plane. What happens if I speak only of the points \(e\) and \(f\) with respect to the single dimension in which the points \(a\), \(b\), \(c\), and \(d\) lie? Imagine a being that is capable of observing only a single dimension, one that has no mental image of a second or third dimension. Such a being would move only within that one dimension, just as you move in three-dimensional space. The moment this being moves point \(a\) (see diagram) to this point \((b)\) and the point then diverges and moves toward \(e\), at that very moment the content of that point would simply vanish for this being. It is not there for such a being, which could only perceive within that single dimension, the moment it leaves that one dimension. Similarly, all points lying outside the two dimensions of the plane do not exist for a being that can perceive only within the two dimensions of the plane. And if a point lying on the plane were to leave the plane, this being would have no way of continuing to track that point. It would disappear from the realm of its space. Such a being—a being capable of perceiving only within a single dimension—what kind of geometry would it possess? It would possess only one-dimensional geometry. It would be able to speak only of distances and the like within that single dimension, and of their laws. A being capable of perceiving only in two dimensions would be able to speak only of the laws of plane figures; it would possess only two-dimensional geometry. We humans, for our part, possess three-dimensional geometry. A being with one-dimensional geometry would have absolutely no way of geometrically conceptualizing what a point does when it moves beyond that single dimension. A being with two-dimensional geometry would have no way of following what a point does when it moves out of the two dimensions and ends up there (in front of the blackboard). We humans—I’ll say it again—have three-dimensional geometry. Now I might just as well—since this is, after all, what I’m actually doing, as I mentioned earlier—in the case of the expansion of mercury with three dimensions reduced to just one dimension, I might, just as I have drawn a line here in two dimensions—prompted only by the blackboard—draw it in such a way that I relate it to a spatial coordinate system. I would have an x-axis here, a y-axis, and a third axis perpendicular to them, and I would be able to draw this line as a spatial line. The moment I reach either the melting point or the boiling point, I am unable to continue drawing this line in any way.

[ 7 ] Es gäbe, theoretisch, hypothetisch ausgedrückt eine Möglichkeit, fortzufahren. Nehmen wir einmal an, ich könnte die Sache so machen: Sagen wir, das Ansteigen der Temperatur würde durch diese Linie dargestellt (siehe Zeichnung). Ich müßte dann, indem irgendwelche Faktoren gleichbleiben, anderes hier verändern und könnte dann von einem anderen Punkt oben fortfahren. So würde ich noch einen Anhaltspunkt haben, in meiner Welt zu bleiben. Aber einen solchen Anhaltspunkt habe ich nicht. Denn ich muß einfach, wenn ich diese Temperaturkurve zeichne, von demselben Punkte ausgehen, auf dem die Temperatur steht, nachdem der betreffende Körper geschmolzen oder verdampft ist ( \(x\) \(x\) in der Zeichnung), von demselben Punkt, auf dem sie angekommen ist, wenn das Schmelzen oder Verdampfen begonnen hat. Sie sehen daraus, daß ich hier mit Schmelzpunkt und Siedepunkt einfach zu etwas genötigt bin, das sich mit nichts vergleichen läßt als mit der Lage, in der ein eindimensionales Wesen ist, wenn ihm ein Punkt aus seiner einen Dimension heraus in die zweite Dimension hinein verschwindet, oder ein zweidimensionales Wesen, wenn ihm ein Punkt in die dritte Dimension verschwindet. Wenn der Punkt wiederum hereinkommt und von derselben Stelle aus weitergeht, wenn also der Punkt \(a\) hierher verschleppt ist (siehe Zeichnung), hinausgeht, und nun gewartet wird und der Punkt wiederum zurückkommt, so muß ich von derselben Stelle seinen Lauf weiterverfolgen in der einen Dimension drinnen. Rein erscheinungsgemäß gesprochen, liegt mir ja nichts anderes vor, wenn mir die Erwärmung verschwindet beim Schmelzpunkt und Siedepunkt, als daß meine Temperaturkurve unterbrochen wird und ich sie von demselben Punkte aus nach einiger Zeit fortsetzen muß. Aber dasjenige, was während der Unterbrechung mit der Wärme geschieht, das fällt ebenso aus dem Bereich heraus, in dem ich meine Kurve ziehe — und ich sage ausdrücklich, ich kann sie als Raumkurve ziehen. Es ist zunächst - ich sage zunächst — Analogie vorhanden zwischen diesem Verschwinden des Punktes a aus der ersten in die zweite Dimension hinein und dem, was da geschieht mit der durch das "Thermometer angezeigten Wärme, während das Thermometer stillsteht beim Schmelzpunkt und Siedepunkt.

[ 7 ] Theoretically, hypothetically speaking, there would be a way to proceed. Let’s assume I could do it this way: Let’s say the rise in temperature were represented by this line (see diagram). I would then have to—while keeping certain factors constant—change other things here and could then continue from a different point at the top. That way, I would still have a point of reference to stay in my world. But I do not have such a point of reference. For when I draw this temperature curve, I must simply start from the same point at which the temperature stands after the body in question has melted or evaporated (\(x\) \(x\) in the diagram)—the same point at which it had reached when the melting or evaporation began. You can see from this that, when it comes to the melting point and boiling point, I am simply forced into a situation that can be compared to nothing other than the position of a one-dimensional entity when a point from its single dimension disappears into the second dimension, or of a two-dimensional entity when a point disappears into the third dimension. If the point re-enters and continues from the same spot—that is, if point \(a\) has been carried away to this point (see diagram), exits, and we then wait for it to return—I must continue to trace its path from the same spot within that single dimension. Strictly speaking in terms of appearance, when the heating disappears at the melting point and boiling point, I am faced with nothing other than the interruption of my temperature curve, which I must then continue from the same point after some time. But what happens to the heat during this interruption also falls outside the range in which I plot my curve—and I explicitly state that I can plot it as a spatial curve. There is, at first—and I say “at first”—an analogy between this disappearance of point a from the first dimension into the second and what happens there with the heat indicated by the thermometer while the thermometer stands still at the melting point and boiling point.

[ 8 ] Nun handelt es sich darum, mit dieser Erscheinung eine andere in Zusammenhang zu bringen. Sehen Sie, auf dieses In-ZusammenhangBringen der Erscheinungen kommt nämlich alles an; nicht auf das Ausdenken irgendwelcher Theorien, sondern auf das Zusammenbringen der Erscheinungen, so daß sie sich gegenseitig beleuchten und erklären. Das ist der Unterschied der Goetheschen Physik von der heute herrschenden, daß die Goethesche Physik die Erscheinungen einfach zusammenstellt, damit sie sich gegenseitig beleuchten, während die heutige Physik, wenn sie überhaupt wagt, zu Theorien überzugehen, darauf aus ist, zu den Erscheinungen hinzu zu theoretisieren, hinzu zu phantasieren. Denn Atome und Moleküle sind ja im wesentlichen nichts anderes, als zu den Erscheinungen hinzuerfunden, hinzuphantasiert.

[ 8 ] The task now is to relate this phenomenon to another. You see, everything hinges on this relating of phenomena; not on devising theories of any kind, but on bringing the phenomena together so that they shed light on and explain one another. This is the difference between Goethean physics and the physics that prevails today: Goethean physics simply brings the phenomena together so that they shed light on one another, whereas modern physics—if it dares to move on to theories at all—is intent on theorizing and fantasizing about the phenomena. For atoms and molecules are, in essence, nothing other than additions and fantasies tacked onto the phenomena.

[ 9 ] So wollen wir denn eine andere Erscheinung zusammenhalten mit dem Verschwinden der durch das Thermometer konstatierbaren Erwärmung während des Schmelzens. Diese andere Erscheinung tritt uns entgegen, wenn wir unsere gestrige Formel ins Auge fassen:

[ 9 ] Let us, then, consider another phenomenon in connection with the disappearance of the warming—as measured by the thermometer—during melting. This other phenomenon becomes apparent when we examine yesterday’s formula:

$$V=V_o(1 + 3 \alpha t + 3 \alpha^2 t^2 + \alpha^3 t^3)$$

$$V=V_o(1 + 3 \alpha t + 3 \alpha^2 t^2 + \alpha^3 t^3)$$

[ 10 ] Von dieser Formel sagte ich gestern, daß Sie insbesondere die zwei letzten Glieder ins Auge fassen sollen. Es ist besonders wichtig für uns heute, das \(t^3\) einmal ins Auge zu fassen, die dritte Potenz der Temperatur. Nehmen Sie einmal eine gewöhnliche Raumdimensionalität. Bei dieser gewöhnlichen Raumdimensionalität sprechen Sie, wenn es ein mathematischer Körper ist, von Länge, Breite und Höhe. Das sind ja im wesentlichen die drei Raumdimensionen. Nun können wir, wenn wir einen Stab erwärmen, wie wir das gestern getan haben, die Ausdehnung dieses Stabes betrachten. Wir können auch die Temperatur dieses Stabes betrachten. Aber wir können eines nicht herbeiführen: daß der Stab, während er sich ausdehnt, nicht Wärme in seine Umgebung abgibt, daß er nicht Wärme ausströmt, ausstrahlt. Das können wir nicht verhindern. Wir können unmöglich eine Wärmeausdehnung uns denken - bitte auf das Wort zu achten — nur nach einer Dimension. Wir können wohl eine reine Raumausdehnung - das tut man ja immer in der Geometrie — nach einer Dimension, nämlich als Linie denken, wir können aber niemals einen Wärmezustand auch nur denken, der sich bloß längs einer Linie ausdehnt. Wir können, wenn wir dies beachten, nicht sagen, daß der Fortgang der Wärme - als Kurve jetzt gedacht, nicht im Raum — wirklich etwas anderes als versinnbildlicht ist durch diese Kurve, die ich hier aufgezeichnet habe (siehe Zeichnung). Ich fasse nicht den ganzen Vorgang der Wärme durch diese Kurve ins Auge. Da ist noch irgend etwas anderes im Spiel als dasjenige, was ich durch diese Kurve ins Auge fassen kann. Und das, was da im Spiel ist, das muß die ganze Natur und Wesenheit desjenigen ändern, was ich eigentlich durch diese Kurve abbilde, welche ich als Symbolum gebrauche für die Darstellung des Wärmezustandes, gleichgültig ob ich sie geometrisch oder arithmetisch fasse.

[ 10 ] Yesterday I said that you should pay particular attention to the last two terms of this formula. It is especially important for us today to focus on \(t^3\), the cube of the temperature. Consider an ordinary three-dimensional space. In this ordinary three-dimensional space, when dealing with a mathematical solid, you speak of length, width, and height. These are, in essence, the three spatial dimensions. Now, when we heat a rod, as we did yesterday, we can observe the expansion of that rod. We can also observe the temperature of this rod. But there is one thing we cannot prevent: that the rod, as it expands, does not release heat into its surroundings—that it does not radiate heat. We cannot prevent that. It is impossible for us to conceive of thermal expansion—please pay attention to the word—in only one dimension. We can certainly conceive of pure spatial expansion—as we always do in geometry—in one dimension, namely as a line; but we can never even conceive of a thermal state that expands merely along a line. If we bear this in mind, we cannot say that the progression of heat—now conceived as a curve, not in space—is really anything other than what is symbolized by this curve that I have drawn here (see diagram). I do not encompass the entire process of heat with this curve. There is something else at play here besides what I can grasp through this curve. And whatever is at play must alter the entire nature and essence of what I am actually representing through this curve—which I use as a symbol to depict the state of heat, regardless of whether I conceive of it geometrically or arithmetically.

[ 11 ] Wir haben also das Eigentümliche hier, daß, wenn wir durch unsere landläufigen geometrischen Linien erfassen wollen den Wärmezustand, insofern er durch die Temperatur zum Vorschein kommt, wir ihn nicht voll erfassen können. Das aber hat eine andere Wirkung. Denken Sie sich einmal, Sie haben eine Linie (siehe Zeichnung). Diese Linie hat eine bestimmte Länge \(l\). Erheben Sie diese Linie zum Quadrat, so können Sie dieses \(l^2\) aufzeichnen durch diese Quadratfläche.

[ 11 ] So what is peculiar here is that if we try to grasp the thermal state—insofar as it manifests itself through temperature—using our conventional geometric lines, we cannot fully grasp it. But this has another effect. Imagine you have a line (see drawing). This line has a certain length \(l\). If you square this line, you can represent this \(l^2\) by this square area.

[ 12 ] Nehmen Sie an, Sie bilden \(l^3\), so können Sie sich diese dritte Potenz aufzeichnen durch den Würfel, durch den Raumkörper. Aber nehmen Sie an, ich bilde die vierte Potenz \(l^4\), was soll ich denn jetzt tun, wenn ich weiterzeichnen will? Ich kann von der Linie zur Fläche, von der Fläche zum Körper übergehen, aber was kann ich denn jetzt tun, um zur vierten Potenz überzugehen, wenn ich nach derselben Methode weiterrücken will? Ich kann da nichts machen innerhalb unseres dreidimensionalen Raumes. Das gilt zunächst für mathematische Raumgrößen. Aber wir haben gesehen, daß der Wärmezustand, insofern er durch die Temperatur zur Anschauung kommt, gar nicht ausdrückbar ist durch Raumgrößen. Da ist noch etwas anderes drinnen. Sonst könnte ein Wärmezustand, der längs eines Stabes ist, aufgefaßt werden als bloß längs eines Stabes verlaufend. Das ist aber unmöglich. Die Folge davon ist, daß ich, wenn ich konsequent zu Werke gehe, nicht in der Lage bin, die Potenzierungen des \(t\) in derselben Weise aufzufassen, wie ich die Potenzierung der Raumgrößen auffasse. Ich bin nicht in der Lage, dasselbe zu denken über die Potenzierung des \(t\), wie ich denke über die Potenzierung des \(l\) oder irgendeiner anderen bloßen Raumgröße. Und wenn zum Beispiel — ich will das heute zunächst einmal nur hypothetisch behandeln —, wenn ich zum Beispiel nur die eine Potenz, die erste Potenz von dem \(t\) hätte, und diese nicht ausdrückbar wäre als Linie, so könnte die zweite Potenz \(t^2\) nicht ausdrückbar sein als Fläche. Und die dritte Potenz \(t^3\) könnte schon gar nicht durch eine Raumgröße ausdrückbar sein. Ich würde, wie ich bei mathematischen Raumgrößen erst aus dem Raum herauskomme, nachdem ich die dritte Potenz gebildet habe, vielleicht schon bei der zweiten Potenz aus unserem Raum herauskommen, und bei der dritten nicht mehr drinnen sein.

[ 12 ] Suppose you are forming \(l^3\); you can represent this third power by a cube, a three-dimensional solid. But suppose I am forming the fourth power, \(l^4\); what am I supposed to do now if I want to continue drawing? I can move from a line to a plane, and from a plane to a solid, but what can I do now to move on to the fourth power if I want to continue using the same method? There’s nothing I can do within our three-dimensional space. This applies, first of all, to mathematical spatial quantities. But we have seen that the thermal state, insofar as it is made visible by temperature, cannot be expressed at all in terms of spatial quantities. There is something else at play here. Otherwise, a thermal state that exists along a rod could be conceived of as merely extending along a rod. But that is impossible. The consequence of this is that, if I proceed consistently, I am unable to conceive of the powers of \(t\) in the same way that I conceive of the powers of spatial quantities. I am unable to think of the power of \(t\) in the same way that I think of the power of \(l\) or any other mere spatial quantity. And if, for example—I want to treat this only hypothetically for now—if, for example, I had only the first power of \(t\), and this could not be expressed as a line, then the second power \(t^2\) could not be expressed as a plane. And the third power, \(t^3\), certainly could not be expressed by a spatial quantity. Just as, with mathematical spatial quantities, I only emerge from space after forming the third power, I might already emerge from our space at the second power, and no longer be within it at the third.

[ 13 ] Also denken Sie sich, Sie müßten sich das \(t\) in ganz anderer Natur vorstellen als Raumgrößen. Sie müßten das gewöhnliche \(t\) schon als etwas Quadriertes auffassen, als eine zweite Potenz, und Sie müßten das quadrierte \(t\) schon als dritte Potenz auffassen und das kubierte \(t\) als vierte Potenz, wobei Sie aus unserem gewöhnlichen Raum herauskommen. Denken Sie, dann würde diese Formel ein ganz besonderes Gesicht bekommen. Dann würde das letzte Glied, das in dieser Formel drinnen ist, mich zwingen, aus dem dreidimensionalen. Raum herauszugehen. Ich würde dann, indem ich einfach rechne, genötigt sein, mit dem letzten Glied meiner Formel aus dem dreidimensionalen Raum herauszurücken. Das sage ich jetzt rein hypothetisch, also als Möglichkeit, wie man das ja tut bei mathematischen Formeln. Nicht wahr, wenn Sie ein Dreieck betrachten und konstatieren, daß das Dreieck drei Winkel hat, so haben Sie zunächst ein gedachtes Dreieck. Weil das Denken zu bequem ist, zeichnen Sie es sich auf, um es zu versinnlichen. Aber die Zeichnung hat damit nichts zu tun. Sie haben gegeben: Die Summe der Winkel ist 180°. Oder: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten. Das ist etwas, was man zunächst eben behandelt, wie ich jetzt das \(t\) in seiner Potenz behandelt habe. Jetzt gehen wir zurück und sehen uns dasjenige an, was wir als Erscheinung konstatiert haben. So macht man es ja in der Geometrie: Wenn ich an einer Brücke oder sonstwo nötig habe, ein Dreieck zu beobachten, so verifiziert sich das, was ich am abstrakten Dreieck gedacht habe. Was ich am abstrakten \(t\) gedacht habe, das hat zunächst — wir wollen der Wirklichkeit immer näher auf den Leib rücken, aber schrittweise — eine gewisse Ähnlichkeit mit dem, was dargestellt ist beim Schmelzen und Verdampfen. Ich war nicht imstande, das Schmelzen und Verdampfen in die drei Raumdimensionen hineinzukriegen. Die kann ich nur hereinkriegen, indem ich aufhöre, die Kurve zu ziehen, und sie dann wiederum fortsetze. Wenn nun die Voraussetzungen zutreffen, die ich vorhin machte, dann wäre ich auch genötigt, bei der dritten Potenz, bei dem Kubus der Temperatur, aus dem dreidimensionalen Raum hinauszugehen.

[ 13 ] So imagine that you have to create a mental image of \(t\) that is of a completely different nature than spatial quantities. You would have to conceive of the ordinary \(t\) as something squared—as a second power—and you would have to conceive of the squared \(t\) as a third power and the cubed \(t\) as a fourth power, thereby stepping outside our ordinary space. Think about it: this formula would then take on a very special character. Then the last term in this formula would force me to step outside of three-dimensional space. I would then, simply by doing the calculation, be compelled to move beyond three-dimensional space with the last term of my formula. I’m saying this purely hypothetically—as a possibility, as one does with mathematical formulas. Isn’t it true that when you look at a triangle and observe that it has three angles, you initially have an imagined triangle? Because thinking is too convenient, you draw it to make it more concrete. But the drawing has nothing to do with it. You’ve stated: The sum of the angles is 180°. Or: In a right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two legs. That is something one initially treats abstractly, just as I have now treated \(t\) to a power. Now let’s go back and look at what we’ve observed as a phenomenon. That’s how it’s done in geometry: If I need to observe a triangle on a bridge or anywhere else, what I’ve thought about the abstract triangle is verified. What I had in mind regarding the abstract \(t\) initially—we want to get closer and closer to reality, but step by step—bears a certain resemblance to what is depicted in melting and evaporation. I was unable to fit melting and evaporation into the three spatial dimensions. I can only incorporate them by stopping to draw the curve and then continuing it again. If the conditions I set forth earlier hold true, then I would also be compelled to step outside of three-dimensional space when dealing with the third power—the cube of temperature.

[ 14 ] Sehen Sie, da habe ich Ihnen einen Weg gezeigt, der in einer gewissen Weise eingeschlagen werden muß, wenn man versuchen will, die Erscheinungen, die sich dem Wärmewesen gegenüber zeigen, einfach zusammenzustellen, um durch diese Zusammenstellung etwas Ähnliches zu gewinnen wie im vorhergehenden Kursus für die Betrachtung des Lichtwesens. Von ganz anderen Voraussetzungen ist der Physiker Crookes ausgegangen. Und merkwürdig ist, daß er durch seine Erwägungen immerhin zu einem ähnlichen Resultat gekommen ist wie das, was wir jetzt bloß hypothetisch hingestellt haben, dessen Wirklichkeit wir dann zu Leibe rücken werden in den nächsten Betrachtungen. Auch er kommt dazu, die Veränderungen der Temperatur überhaupt als etwas zu betrachten, was zu tun hat mit einer Art vierten Dimension des Raumes. Es ist heute wichtig, auf diese Sache hinzuweisen aus dem Grunde, weil ja die Relativisten, Einstein an der Spitze, indem sie über die drei Dimensionen des Raumes hinausgehen, sich genötigt sehen, zur Zeit überzugehen und diese als vierte Dimension zu bezeichnen, so daß man in den Einsteinschen Formeln überhaupt als vierte Dimension die Zeit bezeichnet findet, während Crookes sich genötigt fand, als die vierte Dimension die Ab- oder Zunahme des Wärmezustandes anzusehen. Das als eine historische Einschiebung.

[ 14 ] You see, I have shown you a path that must be followed in a certain way if one wishes to attempt a simple synthesis of the phenomena that present themselves in relation to the nature of heat, in order to gain from this synthesis something similar to what we achieved in the previous course on the nature of light. The physicist Crookes started from entirely different premises. And it is remarkable that, through his considerations, he nevertheless arrived at a result similar to what we have now presented merely as a hypothesis—the reality of which we will then tackle in the following considerations. He, too, comes to regard changes in temperature in general as something related to a kind of fourth dimension of space. It is important to point this out today for the reason that the relativists, with Einstein at the forefront, by going beyond the three dimensions of space, find themselves compelled to turn to time and designate it as the fourth dimension, so that in Einstein’s formulas, time is generally designated as the fourth dimension, whereas Crookes found himself compelled to regard the decrease or increase in the state of heat as the fourth dimension. This is a historical aside.

[ 15 ] Zu diesen Erscheinungen bitte ich Sie jetzt dasjenige zu nehmen, was ich auch früher erwähnt habe. Ich habe gesagt: Einen gewöhnlichen festen Körper kann ich hinlegen, er wird seine Form behalten, das heißt, er hat einen bestimmten Umriß. Einen flüssigen Körper muß ich in ein Gefäß hineinlaufen lassen. Er bildet immer eine Niveaufläche und nimmt im übrigen die Form des Gefäßes an. So ist es nicht beim gas- oder dampfförmigen Körper. Der dehnt sich nach allen Seiten aus. Ich muß, um ihn zu begrenzen, ihn in ein allseitig geschlossenes Gefäß einfassen. Dieses allseitig geschlossene Gefäß gibt ihm seine Form, so daß ich bei einem Gas eine Form nur habe, wenn ich es allseitig einschließe.

[ 15 ] Regarding these phenomena, I would now like you to consider what I mentioned earlier. I said: I can lay down an ordinary solid object, and it will retain its shape—that is, it has a definite outline. A liquid, on the other hand, I must pour into a vessel. It always forms a level surface and, moreover, takes on the shape of the container. This is not the case with gases or vapors. They expand in all directions. To confine them, I must enclose them in a container that is closed on all sides. This container, closed on all sides, gives them their shape, so that with a gas, I have a shape only when I enclose it on all sides.

[ 16 ] Wenn ich einen festen Körper habe, so hat er seine Form eben dadurch, daß er ein fester Körper ist. Er hat sie gewissermaßen von selbst. Ich lasse die Flüssigkeit als Zwischenzustand jetzt aus und will als die Gegensätze den festen und den gasförmigen Körper beschreiben. Der feste Körper versorgt sich gewissermaßen selbst mit dem, was ich beim gasförmigen zufügen muß: die Wandung von allen Seiten. Nun tritt aber beim Gas etwas Besonderes auf. Wenn Sie ein Gas, statt daß sie es da drinnen haben, in ein kleineres Gefäß einschließen — dieselbe Gasmenge, dadurch daß Sie von allen Seiten die Wand zusammendrücken -, so müssen Sie eben drücken, müssen Druck ausüben.

[ 16 ] If I have a solid body, it has its shape precisely because it is a solid body. It has it, so to speak, by its very nature. I will now omit the liquid as an intermediate state and describe the solid and gaseous bodies as opposites. The solid, so to speak, provides itself with what I must add to the gas: walls on all sides. Now, however, something peculiar occurs with the gas. If, instead of keeping the gas inside, you enclose it in a smaller vessel—the same volume of gas, by compressing the walls on all sides—then you must press, you must exert pressure.

[ 17 ] Das heißt nichts anderes als: Sie müssen den Druck des Gases überwinden. Sie haben es zu tun an den Wänden, die die Formung bilden, mit einem Druck. Wir können also sagen: Ein Gas, welches das Bestreben hat, nach allen Seiten davonzulaufen, das wird durch den Widerstand der Wände zusammengehalten. Dieser Widerstand ist von selbst da, indem ich einen festen Körper habe. So daß ich, indem ich gar nichts theoretisiere, sondern einfach den ganz gewöhnlichen Tatbestand ins Auge fasse, einen polarischen Gegensatz von Gas und festem Körper so definieren kann, daß ich sage: Dasjenige, was ich von außen hinzufügen muß beim Gas, ist beim festen Körper von selber da. Aber nun können Sie, indem Sie das Gas abkühlen, zurückgehend wiederum zum Siedepunkt, aus dem Dampf die Flüssigkeit gewinnen; indem Sie weiter abkühlend zurückgehen bis zum Schmelzpunkt, können Sie aus der Flüssigkeit wiederum die festen Körper gewinnen. Das heißt, Sie können einfach durch Vorgänge, die zusammenhängen mit dem Wärmewesen, das hervorrufen, daß Sie nicht mehr nötig haben, von außen die Formung zu bilden, sondern daß die Formung sich von innen von selbst bildet. Da ich nichts anderes getan habe, als den Wärmezustand zu verändern, so ist es ja selbstverständlich, daß diese Formung irgendwie mit der Änderung des Wärmezustandes zusammenhängt. Beim festen Körper ist etwas da, was beim gasförmigen noch nicht da war. Wenn wir dem festen Körper entgegenhalten irgendeine Wand, drückt der feste Körper auf diese Wand zunächst nicht, wenn wir nicht selber andrücken. Wenn wir dem Gas entgegenhalten eine feste Wand, drückt das Gas immer auf die feste Wand. Sie sehen, wir kommen da zu dem Begriff des Druckes und müssen dieses Entstehen des Druckes in Zusammenhang bringen wiederum mit dem Wärmezustand. Wir müssen also sagen: Es muß aufgesucht werden eine bestimmte Beziehung zwischen der Formung des festen Körpers und dem Entgegenwirken durch den Wändedruck gegen das allseitige Zerfließen des Gases. Wenn wir diese Beziehungen aufsuchen, können wir hoffen, in das Wesen des Zusammenhanges zwischen der Wärme und den Körpern wirklich einzudringen.

[ 17 ] This means nothing other than: They must overcome the pressure of the gas. They must contend with pressure against the walls that form the container. We can therefore say: A gas that tends to escape in all directions is held together by the resistance of the walls. This resistance exists by its very nature because I have a solid body. So, without theorizing at all but simply considering the very ordinary facts, I can define a polar opposition between gas and solid in such a way that I say: What I must add from the outside to the gas is already present in the solid by its very nature. But now, by cooling the gas—returning to the boiling point—you can obtain the liquid from the vapor; by continuing to cool it down to the melting point, you can obtain the solid from the liquid. That is to say, you can simply, through processes related to the nature of heat, bring about a situation where you no longer need to impart shape from the outside, but rather the shape forms itself from within. Since I have done nothing other than alter the thermal state, it goes without saying that this formation is somehow connected to the change in the thermal state. In a solid, there is something present that was not yet present in the gaseous state. If we place any wall against a solid body, the solid body does not initially exert pressure on that wall unless we ourselves apply pressure. If we place a solid wall against a gas, the gas always exerts pressure on the solid wall. As you can see, this brings us to the concept of pressure, and we must again relate the emergence of this pressure to the thermal state. We must therefore say: We must seek a specific relationship between the structure of the solid and the counteracting force exerted by the wall pressure against the gas’s tendency to spread out in all directions. If we investigate these relationships, we can hope to truly penetrate the nature of the connection between heat and bodies.