The Rudolf Steiner Archive

Zwölfter Vortrag

Twelfth Lecture

[ 1 ] Die Versuche, die wir für heute vorhatten, müssen wir leider auf morgen verschieben. Sie werden morgen so weit sein, sie so zu zeigen, wie ich sie haben muß, wenn ich das Ganze besprechen will, was gerade daran geprüft werden soll. Wir werden daher heute eine Betrachtung einschieben über diejenigen Dinge, die wir auch noch brauchen, morgen dann die Versuchsanordnungen machen, um die Betrachtungen übermorgen zu einem vorläufigen Abschluß zu bringen.

[ 1 ] Unfortunately, we have to postpone the experiments we had planned for today until tomorrow. They will be ready tomorrow to be presented exactly as I need them to be if I am to discuss the entire matter—specifically, what is to be tested in this regard. We will therefore take some time today to discuss the matters we still need to address, then set up the experimental arrangements tomorrow so that we can bring our discussion to a preliminary conclusion the day after tomorrow.

[ 2 ] Dasjenige, was ich zunächst wie eine Hilfe anführen möchte für unsere Anschauungen, die wir entwickeln müssen gegenüber dem Wärmewesen, das ist, daß ich Sie hinzuweisen habe darauf, daß eine gewisse Schwierigkeit vorliegt im Verstehen dessen, was eigentlich ein durchsichtiger Körper ist. Ich rede jetzt nicht von Wärme. Aber Sie werden sehen, namentlich wenn wir diese Versuche hinter uns haben, wie wir eine Hilfsvorstellung vom Licht aus für das Verständnis des Wärmewesens gewinnen werden. Es liegt eine gewisse Schwierigkeit vor, sage ich, zu verstehen, was ein relativ durchsichtiger Körper ist und was ein undurchsichtiger Körper ist, also ein Körper, der uns gewissermaßen sich selber unter dem Einfluß des Lichtes zeigt. Ich muß etwas anders sprechen, als gewöhnlich gesprochen wird. Die Sprache der gewöhnlichen Physik würde sagen: Ein undurchsichtiger Körper ist derjenige, der uns durch eine gewisse Beschaffenheit seiner Oberfläche die Lichtstrahlen zurückwirft, die auf ihn fallen, und der dadurch als Körper sichtbar wird. — Diese Ausdrucksformen kann ich nicht wählen, weil sie ja durchaus nicht eine Wiedergabe des Tatbestandes sind, sondern weil sie Ausdrücke sind von schon vorhandenen, bestimmten Theorien, die wir nicht ohne weiteres als selbstverständlich annehmen können. Denn von Strahlen zu sprechen, von Lichtstrahlen zu sprechen, ist Theorie. Ich habe darüber ja in meinem vorigen Kursus auch schon gesprochen. Alles dasjenige, was uns entgegentritt in der Wirklichkeit, ist nicht Lichtstrahl, sondern ist Bild, und das ist durchaus etwas, was festzuhalten ist. Außerdem können wir nicht ohne weiteres sagen: Ein durchsichtiger Körper ist derjenige, der durch seine innere molekularische Beschaffenheit das Licht durch sich durchgehen läßt, und ein undurchsichtiger Körper ist derjenige, der das Licht zurückwirft. Denn wie sollte denn eine Möglichkeit sein, eine solche Theorie ohne weiteres zu rechtfertigen? Und wenn Sie an das sich erinnern, was ich in diesen Tagen dargestellt habe als die Verhältnisse der Wirklichkeitsgebiete: feste, flüssige, gasförmige Körper; Wärmewesen; \(x\), \(y\), \(z\) und dann unter den festen Körpern angrenzend das \(U\)-Gebiet, so werden Sie sehen, daß in irgendeiner Weise mit dem Wärmegebiet in Beziehung stehen muß das Lichtgebiet, auch in Beziehung stehen muß das Gebiet der chemischen Wirkungsweisen. Auf der anderen Seite muß mit dem, was uns entgegentritt, ich möchte sagen, als die flüssige Gestalt im Wärmewesen, im Luftwesen, in irgendeiner Beziehung stehen dasjenige, was die wahre Wesenheit des Tones ist. Denn Töne erscheinen bei Gelegenheit von Verdichtungen und Verdünnungen in gas- oder luftförmigen Körpern.

[ 2 ] The first point I would like to raise—as a starting point for the perspectives we need to develop regarding the nature of heat—is that I must point out to you that there is a certain difficulty in understanding what a transparent body actually is. I am not speaking of heat at this moment. But you will see—especially once we have completed these experiments—how we will gain a conceptual framework based on light to help us understand the nature of heat. There is a certain difficulty, I say, in understanding what a relatively transparent body is and what an opaque body is—that is, a body that, so to speak, reveals itself to us under the influence of light. I must speak somewhat differently than is usually done. The language of conventional physics would say: An opaque body is one that, due to a certain property of its surface, reflects the light rays that fall upon it, and thereby becomes visible as a body. — I cannot choose these forms of expression, not because they do not accurately describe the facts, but because they are expressions of preexisting, specific theories that we cannot simply take for granted. For to speak of rays, to speak of light rays, is theory. I have, in fact, already spoken about this in my previous course. Everything we encounter in reality is not a ray of light, but an image, and that is certainly something worth noting. Furthermore, we cannot simply say: A transparent body is one that, due to its internal molecular structure, allows light to pass through it, and an opaque body is one that reflects the light. For how could there possibly be a way to justify such a theory without further ado? And if you recall what I have presented in recent days as the relationships among the realms of reality—solid, liquid, and gaseous bodies; thermal entities; \(x\), \(y\), \(z\), and then, adjacent to the solid bodies, the \(U\)-region—you will see that the region of light must be related in some way to the thermal region, and the region of chemical interactions must also be related to it. On the other hand, what we encounter—I would say—as the liquid form in the realm of heat and in the realm of air must stand in some relationship to what constitutes the true essence of sound. For sounds arise on the occasion of condensations and rarefactions in gaseous or air-like bodies.

[ 3 ] Wir können also zunächst vermuten, daß irgendwo da, wo wir das \(x\), \(y\), \(z\) angenommen haben, auch die Wesenheit des Lichtes gefunden werden kann. Aber es ist die Frage, ob wir da, wo wir die Wesenheit des Lichtes suchen, auch zu suchen haben zum Beispiel die Wesenheit der Durchsichtigkeit gewisser Körper. Diese Wesenheit der Durchsichtigkeit gewisser Körper ist nicht ohne weiteres aus der Wesenheit des Lichtes heraus oder nur aus den Beziehungen des Lichtes zu den festen Körpern zu suchen. Wir haben das \(U\)-Gebiet, und dieses \(U\)-Gebiet muß mit seinen Wirkungen in irgendeiner Weise ein Verhältnis haben zu festen Körpern, die an der Oberfläche der Erde sind. Und wir werden wenigstens zunächst die Frage aufwerfen müssen und noch hinarbeiten auf die Beantwortung dieser Frage in diesen Betrachtungen, die uns bei meiner Anwesenheit noch zur Verfügung stehen: Welchen Einfluß hat das \(U\)-Gebiet auf feste Körper, und kann uns nicht etwas von diesem Einfluß offenbaren der Unterschied, der auftritt zwischen durchsichtigen Körpern und den gewöhnlich undurchsichtigen Metallen? Also solche Fragen müssen uns zunächst beschäftigen. Und den Weg zur Beantwortung solcher Fragen werden wir finden, wenn wir nun versuchen, das, was sich uns gestern ergeben hat über das Wärmewesen, durch einige andere Begriffe noch zu ergänzen.

[ 3 ] We can therefore initially assume that somewhere in the realm where we have posited \(x\), \(y\), and \(z\), the essence of light can also be found. But the question is whether, where we seek the essence of light, we must also seek, for example, the essence of the transparency of certain bodies. This essence of the transparency of certain bodies cannot be readily derived from the essence of light alone or solely from the relationships between light and solid bodies. We have the \(U\)-region, and this \(U\)-region must, through its effects, have some kind of relationship to solid bodies on the Earth’s surface. And we will have to raise the question—at least initially—and work toward answering it in these reflections, which are still available to us while I am here: What influence does the \(U\)-region have on solid bodies, and might the difference that arises between transparent bodies and the ordinarily opaque metals reveal something about this influence to us? So such questions must occupy us for the time being. And we will find the path to answering such questions if we now attempt to supplement what emerged for us yesterday regarding the nature of heat with a few other concepts.

[ 4 ] Man hat ja natürlich gesehen innerhalb des Gebietes der Physik die Tatsachen, die sich ergeben als Wärmeerscheinung. Man hat eben solche Tatsachen gesehen wie die, die man unter dem Begriff der Wärmeleitung gedacht hat, die wir Ihnen ja auch vorgeführt haben. Man hat vor allen Dingen diese Art der Ausbreitung der Wärme bei der Wärmeleitung, also bei dem Fortfließen des Wärmezustandes entweder durch einen Körper oder über die Berührungsstelle hinaus durch zwei oder mehrere sich berührende Körper, beobachtet. Man hat dieses Fortfließen der Wärme sich so vorgestellt, wie wenn eine irgendwie geartete, unbestimmte Flüssigkeit, zunächst wie das Bild nur des Fortfließens der Wärme, des Wärmezustandes, da wäre. Und nun kann man schon einmal anknüpfen an das, was ja die äußere Anschauung bietet: So wie Wasser irgendwie in einem Bach fortfließt, das heißt, an einem weiteren Punkt später ist als vorher, was ja die Natur so fließend darstellt, so kann man auch folgen dem Fortfließen der Wärme von einem Punkte zum anderen, wenn die sogenannte Wärmeleitung stattfindet. Gedanken über dieses Fortfließen des Wärmezustandes im Sinne der Wärmeleitung haben sich die verschiedensten Menschen gemacht. Ziemlich klare Vorstellungen — wir könnten auch von anderen ausgehen — rühren her von Fourier, und an diese wollen wir ein wenig anknüpfen und wollen dann sehen, wie wir gegenüber den Erkenntnissen, die wir schon gewonnen haben, mit diesen Vorstellungen zurechtkommen.

[ 4 ] Of course, within the field of physics, we have observed phenomena that manifest as thermal phenomena. One has observed phenomena such as those understood under the concept of heat conduction, which we have also demonstrated to you. Above all, one has observed this type of heat propagation during heat conduction—that is, the flow of heat either through a single body or beyond the point of contact between two or more bodies in contact with one another. This flow of heat has been imagined as if there were some kind of indeterminate liquid—initially merely as a mental image of the flow of heat, of the thermal state. And now we can build on what external observation provides: Just as water flows in a stream—that is, arriving at a later point further downstream than it was before, which nature so vividly illustrates—so too can we trace the flow of heat from one point to another when so-called heat conduction takes place. A wide variety of people have reflected on this flow of the thermal state in the sense of heat conduction. Quite clear mental images—though we could also start from others—come from Fourier, and we want to build on these a little and then see how we can reconcile these mental images with the insights we have already gained.

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[ 5 ] Da können Sie sich vorstellen: Wir stehen einem abgeschlossenen Körper gegenüber, irgendeinem Metall, das hier scharf begrenzt wäre durch eine Ebene, und hier ebenfalls durch eine Ebene. Nach oben und unten können wir es uns ins Unbestimmte verlaufend denken. Wir versuchen dadurch, daß wir diese Grenze des Metalls in siedendem Wasser halten, sie auf einer Temperatur \(U_1\), zu halten, die etwa in diesem Falle \(100°C\) sein könnte, und versuchen die andere Grenzfläche mit schmelzendem Eis so in Berührung zu halten, daß wir eine Temperatur \(U_2\), haben, die im speziellen Fall \(0°C\) sein kann. Wir haben, wenn Sie sich den ganzen Sachverhalt vor Augen führen, es zu tun mit einer Differenz: hier \(U_1\), hier \(U_2\); \(U_1-U_2\), gibt uns eine Temperaturdifferenz. Von dieser Temperaturdifferenz wird es abhängen, wie die Wärmeleitung vor sich geht. Denn selbstverständlich, wenn die Temperaturdifferenz groß ist, so muß die Wärmeleitung anders vor sich gehen, als wenn die Temperaturdifferenz kleiner ist. Ich brauche kein großes Quantum von Wärme, wenn diese Temperaturdifferenz kleiner ist, ich brauche ein größeres Quantum von Wärme, wenn diese Differenz größer ist, um denselben Effekt zu erreichen, so daß ich also sagen muß: Die Wärmemenge, die ich brauche, um einen gewissen Effekt zu erreichen, die wird abhängen von dieser Temperaturdifferenz \(U_1-U_2\);. Sie wird weiter abhängen nicht nur von dieser Differenz \(U_1-U_2\), sondern wenn ich die Länge des Körpers mit \(l\) bezeichne, so wird die Wärmemenge, die ich brauche, um einen bestimmten Effekt zu erreichen, kleiner werden, wenn diese Länge groß ist, als wenn diese Länge klein ist. Das heißt: Im umgekehrten Verhältnis wird die Wärmemenge von \(l\) abhängig sein. Ich werde berechnen können für einen bestimmten Querschnitt, den ich als, sagen wir, \(q\) bezeichne, die Wärmemenge, die ich da brauche, um einen gewissen Effekt der Wärmeleitung zu erreichen. Je größer dieser Querschnitt ist, desto mehr Wärme werde ich brauchen, je kleiner der Querschnitt ist, desto weniger Wärme werde ich brauchen. Also steht \(q\) im geraden Verhältnis, ich werde damit zu multiplizieren haben. Dann wird endlich die ganze Sache abhängen von um der Zeit. Ich werde mit der Zeit zu multiplizieren haben. Das Ganze muß ich dann selbstverständlich, da mir alle diese Größen ja nicht ohne weiteres Wärme geben, mit irgend etwas, worin die Wärme schon steckt — denn alles das ist ja nicht Wärme — mit einer Konstanten, die das Wärmemaß darstellt, multiplizieren, mit \(c\), dann bekomme ich meine Wärmemenge \(w\). Diese Wärmemenge \(w\) also ist abhängig im geraden Verhältnis von \(U_1-U_2\), und den anderen Faktoren, im umgekehrten Verhältnis von \(.\) Sie sehen, wenn Sie in dem Zusammenhang alle anderen Faktoren mit \(U_1\), und \(U_2\), vergleichen, daß man es zu tun hat bei dem, was da eigentlich fließt, nicht direkt mit einem Wärmezustand, oder mit irgend etwas, was sich auf die Wärme bezieht, sondern mit einem Wärmegefälle, mit einem Niveauunterschied. Das bitte ich Sie, immer ins Auge zu fassen. Genau so, wie man es mit einem Niveauunterschied zu tun hat, wenn man etwa bei einer Schleuse Wasser von oben nach unten stürzen läßt und ein Schaufelrad in Bewegung setzt, und wie die Triebkraft, die da entwickelt wird, abhängt von dem Niveauunterschied, den man in Rechnung ziehen muß, so hat man es auch hier zu tun mit einem Gefälle, und das ist, was wir besonders ins Auge fassen müssen.

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[ 6 ] Nun handelt es sich darum, daß wir, wenn wir dem Wärmewesen näher kommen wollen, auch noch einer anderen Erwägung von Fourier nachgehen müssen, damit wir gewissermaßen rektifizierend an diesen gebräuchlichen Vorstellungen weiterschreiten und in unseren Betrachtungen mehr der Wirklichkeit gemäß fortfahren, als es die Physiker des 19. und 20. Jahrhunderts getan haben. Ich habe jetzt eisentlich nur in Erwägung gezogen dasjenige, was geschieht bei der Fortleitung der Wärme von einem Ende des Körpers zum anderen, aber ich nehme an, daß da in den Körpern drinnen selbst noch irgend etwas vorgeht. Ich frage nun: Wenn hypothetisch die Sache so sein würde, daß nicht einfach gleichmäßig hier von links nach rechts der Wärmefortschritt geschähe, sondern im Inneren ungleichmäßig, wie müßte ich dann anwenden wiederum diese Formeln hier auf die inneren Unregelmäßigkeiten? Wenn also Unregelmäßigkeiten in der Verteilung der Wärme da wären, wenn die Wärme von hier hierher (vergleiche die Verbindungslinie im Inneren des Metalls, Zeichnung Seite 179) geleitet würde und so weiter, so müßte ich dieses innere Leiten der Wärme irgendwie in Erwägung ziehen. Ich müßte dann dasjenige in Erwägung ziehen, was an Änderungen dieser Differenzen da drinnen sich offenbart, ich müßte also in Erwägung ziehen, was in dem Körper selber an Ausgleichungen von Temperaturwirkung geschieht. Dadurch würde sich, wie Sie leicht sehen können, diese meine Formel verwandeln. Ich würde zunächst sagen müssen:

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$$w = \frac{U_1-U_2}{l} \cdot t \cdot c \cdot q.$$

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Jetzt habe ich es nicht mehr mit der Länge \(l\) zu tun, die hier ist, sondern ich habe es mit kleinen Strecken zu tun. Und ich will betrachten dasjenige, was ebenso auf diesen kleinen Strecken geschieht, wie es geschieht in der ganzen Breite hier durch: den Faktor \(\frac{U_1-U_2}{l}.\) Es handelt sich also darum, daß ich das für kleine Strecken \(d \ x\) darinnen betrachte. Wenn ich das tue, verwandelt sich mir dieser endliche Quotient einfach in \(\frac{d \ u}{d \ x}\) wobei du der kleine Fortschritt des Wärmezustandes sein soll. Und betrachte ich dieses für eine gewisse kleine Zeit, so müßte ich noch multiplizieren mit \(d \ t\) - ich könnte das dt zunächst auch weglassen, wenn ich von der Zeit absehe. So würden wir also in diesem w haben den Ausdruck für das Wärmequantum, das jeweils an einem Punkt, aus der Sache selbst heraus, bei innerer Arbeit der Wärme aufgewendet werden müßte, um nach allen Seiten hin etwa notwendigen Temperaturgefällen zu folgen, Temperaturgefälle auszugleichen. Sie müssen sich vor Augen stellen, daß diese Formel hier

$$w = c \cdot q \cdot \frac{d \ u}{d \ x} \cdot d \ t \qquad (1)$$

zum Ausdruck bringen würde solche Wirkungen, die da auftreten durch die inneren Temperaturgefälle in den Körpern.

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[ 7 ] Damit in Zusammenhang bitte ich Sie jetzt dasjenige zu betrachten, was wir schon gestern uns andeutungsweise vor Augen geführt haben und was uns ganz klar werden wird morgen, wenn wir die entsprechenden Versuchsanordnungen haben werden. Ich kann es trotzdem heute schon erwähnen, daß man sich vor Augen führen muß, wie auftreten die Verhältnisse des Erwärmens, des Leuchtens, des chemischen Wirkens im Spektrum. Ich habe schon gestern darauf aufmerksam gemacht: Wenn ich ein gewöhnliches irdisches Spektrum habe, habe ich in der Mitte die eigentlichen Lichtwirkungen, nach hierhin die Wärmewirkungen, nach hierhin die chemischen Wirkungen. Nun handelt es sich um folgendes: Wir haben gesehen, daß, wenn wir ein Bild entwerfen wollen für dieses Spektrum, wir gar nicht dieses Bild, das aufnehmen soll Lichtwirkungen, Wärmewirkungen, chemische Wirkungen, zu einer geraden Linie machen können. Wir müssen hier links herausgehen (aus der Ebene nach vorn), wenn wir die Linie für das Licht so ziehen (horizontal), um für die Wärme das entsprechende Symbolum zu finden. Für die chemischen Wirkungen müssen wir hierher gehen (aus der Ebene nach hinten). Es könnte auch umgekehrt sein, aber wir wollen es zunächst so festhalten.

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[ 8 ] Also, wir haben keine Möglichkeit, innerhalb dieser Ebene zu bleiben, wenn wir die Wärme symbolisch umfassen wollen; wir haben keine Möglichkeit, in der Ebene zu bleiben, wenn wir die chemischen Wirkungen symbolisch umfassen wollen. Wir müssen aus der Ebene herausgehen. Und um dieses Ganze zu fassen, wollen wir das also uns klarmachen: Wie müssen wir das denn eigentlich bezeichnen, wenn wir irgendein Wärmequantum, das da wirksam ist im Inneren eines Körpers, durch diese Formel ausdrücken? Wie müßten wir das denn bezeichnen, wenn wir ein quantitativ dazu in Beziehung stehendes chemisches Quantum hätten? Wir kämen nicht zurecht, wenn wir nicht irgendwie eine Bezeichnung einführen würden, die darauf hinweist, daß wir, während wir mit der Wärme hinausgehen müssen, wir mit den chemischen Wirkungen hineingehen müssen. Wir kommen nicht zurecht, wenn wir das nicht ins Auge fassen. Wenn wir das w hier als eine positive Größe auffassen — wir könnten es auch als negative Größe nehmen -, so dürfen wir, wenn es uns darauf ankommt, nun die entsprechende Verteilung der chemischen Wirkungen zu suchen, nicht anders, als das entsprechende

$$w = - c \cdot q \cdot \frac{d \ u}{d \ x} \cdot d \ t \qquad (2)$$

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zu bezeichnen. Das entspricht den chemischen Wirkungen.

[ 5 ] You can create a mental image of it this way: We are looking at a closed body—some kind of metal—that is sharply bounded by a plane here and by another plane here. We can imagine it extending indefinitely upward and downward. By immersing this boundary of the metal in boiling water, we attempt to maintain it at a temperature \(U_1\)—which in this case could be approximately \(100°C\)—and we attempt to keep the other boundary in contact with melting ice in such a way that we have a temperature \(U_2\), which in this specific case can be \(0°C\). If you consider the entire situation, we are dealing with a difference: \(U_1\) here, \(U_2\) there; \(U_1 - U_2\) gives us a temperature difference. The process of heat conduction will depend on this temperature difference. For, of course, if the temperature difference is large, heat conduction must proceed differently than when the temperature difference is smaller. I do not need a large amount of heat when this temperature difference is smaller; I need a larger amount of heat when this difference is greater to achieve the same effect, so I must therefore say: The amount of heat I need to achieve a certain effect will depend on this temperature difference \(U_1-U_2\);. It will also depend not only on this difference \(U_1-U_2\), but if I denote the length of the body by \(l\), then the amount of heat I need to achieve a certain effect will be smaller when this length is large than when this length is small. That is to say: the amount of heat will be inversely proportional to \(l\). For a given cross-sectional area—which I’ll denote as, say, \(q\)—I’ll be able to calculate the amount of heat I need to achieve a certain effect of heat conduction. The larger this cross-sectional area is, the more heat I will need; the smaller the cross-sectional area is, the less heat I will need. So \(q\) is directly proportional—I will have to multiply by it. Then, ultimately, the whole thing will depend on time. I will have to multiply by time. Of course, since none of these quantities directly provide heat, I must multiply the whole thing by something that already contains heat—because none of this is heat itself—by a constant that represents the measure of heat, \(c\), and then I get my amount of heat \(w\). This amount of heat \(w\) is therefore directly proportional to \(U_1-U_2\) and the other factors, and inversely proportional to \(.\) You can see, when you compare all the other factors in this context with \(U_1\) and \(U_2\), that what is actually flowing here is not directly a thermal state, or anything related to heat, but rather a heat gradient—a difference in level. I ask that you always keep this in mind. Just as we are dealing with a difference in level when, for example, we let water cascade from above to below at a lock and set a paddlewheel in motion—and just as the driving force developed there depends on the difference in level that must be taken into account—so too are we dealing here with a gradient, and that is what we must pay particular attention to.

Und dieses

[ 6 ] Now, the point is that if we wish to gain a deeper understanding of the nature of heat, we must also explore another of Fourier’s considerations, so that we may, as it were, correct these common mental images and proceed in our reflections in a manner more in keeping with reality than the physicists of the 19th and 20th centuries did. So far, I have essentially only considered what happens during the transmission of heat from one end of a body to the other, but I assume that something else is also taking place within the bodies themselves. I now ask: If, hypothetically, the situation were such that heat did not simply propagate uniformly from left to right, but rather unevenly on the inside, how would I then apply these formulas here to the internal irregularities? So if there were irregularities in the distribution of heat—if heat were conducted from here to here (compare the connecting line inside the metal, drawing on page 179) and so on—I would have to take this internal conduction of heat into account somehow. I would then have to take into account the changes in these differences that manifest themselves inside; in other words, I would have to consider the temperature equalization processes occurring within the body itself. As you can easily see, this would alter my formula. I would first have to say:

$$w = + c \cdot q \cdot \frac{d \ u}{d \ x} \cdot d \ t$$

$$w = \frac{U_1-U_2}{l} \cdot t \cdot c \cdot q.$$

entspricht den Wärmewirkungen.

Now I am no longer dealing with the length \(l\) that is given here, but rather with small distances. And I want to consider what happens along these small intervals in the same way as it happens across the entire width here: the factor \(\frac{U_1-U_2}{l}\). So the point is that I’m considering this for small intervals \(d \ x\) within it. When I do this, this finite quotient simply transforms into \(\frac{d \ u}{d \ x}\), where \(u\) is supposed to be the small change in the thermal state. And if I consider this over a certain small time interval, I would still have to multiply by \(d \ t\)—I could also omit the \(dt\) for now if I disregard time. Thus, in this \(w\), we would have the expression for the heat quantum that, at any given point, by the very nature of the matter itself, would have to be expended as heat during internal work in order to follow the necessary temperature gradients in all directions and to equalize those gradients. You must bear in mind that this formula here

[ 9] In der Tat, diese Erwägungen zeigen uns schon, daß wir nicht ohne weiteres bloß die Quantitäten wählen können, wenn wir Formeln schaffen wollen und wenn wir in diesen Formeln gleichzeitig ausdrücken wollen, daß wir es mit einem Beobachtungsfeld zu tun haben oder mit einem Wirkungsfeld, wo Wärme und chemische Wirkungen auftreten. Schon bei einer gewöhnlichen Verbrennung, wo wir in Beziehung bringen wollen das chemische Geschehen zu dem Wärmeeffekt, müssen wir, wenn wir durch Formeln arbeiten, einfach alles dasjenige, was wir für den Wärmeeffekt positiv einsetzen, für die entsprechenden chemischen Wirkungen negativ einsetzen.

$$w = c \cdot q \cdot \frac{d \ u}{d \ x} \cdot d \ t \qquad (1)$$

[ 10 ] Wenn Sie nun Ihre Erwägungen weiter anstellen und sehen: Die Wärme biegt sich gewissermaßen heraus, die chemischen Wirkungen biegen sich hinein (siehe Zeichnung Seite 182), dann bleibt eigentlich nur das, was im Licht vorhanden ist, in der Ebene. Aber wenn Sie sich jetzt reserviert haben das + für die Wärme, das — für die chemischen Wirkungen, dann können Sie nicht mehr mit irgendeinem Positiven oder Negativen für die Lichtwirkungen auskommen, dann müssen Sie alles das, was Sie nur ahnen, was heute noch nicht einmal geklärt ist, das Verhältnis von positiven und negativen Zahlen zu imaginären Zahlen, anwenden auf die Lichtwirkungen, und Sie müssen, wenn Sie es mit Lichtwirkungen zu tun haben, sagen:

would describe such effects, which arise due to internal temperature gradients within the bodies.

$$w = \sqrt{-1} \cdot c \cdot q \cdot \frac{d \ u}{d \ x} \cdot d \ t \qquad (3)$$

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Das heißt, Sie müssen hier mit imaginären Zahlen, mit mathematisch imaginären Zahlenverhältnissen rechnen, um wirklich Beziehungen zwischen Licht-, Wärme- und chemischen Effekten, die in einem gemeinsamen Versuchsfelde sind, aufsuchen zu können.

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[ 11 ] Aber wir haben uns ja gesagt: Dieses Spektralband, das wir eigentlich innerhalb der Erde bilden, das ist im Grunde genommen nur der auseinandergezogene Spektralkreis, und das vollständige Spektrum würde hier oben das Pfirsichblüt haben. Wenn Sie sich durch mächtige Kräfte das Spektralband zum Kreis formen würden, würden Sie da oben bekommen den Zusammenschluß dessen, was scheinbar ins Unendliche nach links und ins Unendliche nach rechts geht. Und dieser Zusammenschluß, Sie können sich denken, daß man ihn nicht einfach durch einen Kreis bekommen kann. Denn geht man durch die Wärme, so geht man ja zugleich heraus und geht dorthin (nach vorne); und geht man durch die chemischen Wirkungen, so geht man nach der anderen Seite (nach hinten). Sie sind also jetzt in die Lage versetzt: Erstens dorthin zu gehen scheinbar ins Unendliche, und zweitens dorthin zu gehen scheinbar ins Unendliche. Sie haben nicht nur die unangenehme Aufgabe, wie bei einer Geraden dahin zu gehen (von links nach rechts) und den unendlich fernen Punkt aufzusuchen und auf der anderen Seite zurückzukommen, wenn dieser unendlich ferne Punkt (rechts) derselbe ist wie der andere (links) — da sind Sie wenigstens in einer Ebene. Aber nun irren Sie ab, gehen hierhin (links vorne) und gehen dorthin (rechts hinten) und können nicht zurückkommen, wenn Sie nicht voraussetzen, daß die Unendlichkeit hier und dort Sie an denselben Punkt führt. Aber während Sie dorthin gehen, spazieren Sie dorthin auch fort in die Unendlichkeit. Sie gehen also so, daß Sie nicht nur nach der einen Seite in die Unendlichkeit spazieren, sondern Sie spazieren auch hier hinauf (in der unteren Zeichnung Seite 182 der Pfeil links, der räumlich «vorn» bedeutet) in die Unendlichkeit und müssen von zwei Unendlichkeiten wiederum zurückkommen (entsprechend der Horizontalen und der Richtung der Pfeile). Sie gehen also einen doppelt komplizierten Weg. Dann würden Sie erst hier dieses Pfirsichblüt finden, also nicht, indem Sie einfach das zusammenbiegen, sondern indem Sie es noch außerdem im rechten Winkel abbiegen nach der einen und nach der anderen Seite.

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[ 12 ] Stellen Sie sich vor, Sie würden das Farbenband mit einem Elektromagneten behandeln, so würden Sie diesen Elektromagneten auch noch drehen müssen. Das aber führt Sie dazu, zu sagen: Was Sie da finden würden, könnten Sie jetzt mit all diesen Charakteren nicht bezeichnen. Da würden Sie zu Hilfe nehmen müssen eben dasjenige, worauf gestern aufmerksam gemacht worden ist in der Diskussion: die überimaginäre Zahl.

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[ 13 ] Nun wird es Ihnen ja vielleicht erinnerlich sein, daß wir hier darauf hinweisen konnten, daß diese überimaginären Zahlen strittig sind, daß man mathematisch mit ihnen nicht recht zurecht kommt, daß man sie sozusagen nicht eindeutig aufschreiben kann. Es gibt Mathematiker, die überhaupt bezweifeln, daß man ein Recht hat, von diesen überimaginären Zahlen zu sprechen. Hier führt die Physik selbst allerdings nicht gleich auf eine ordentliche Formulierung der überimaginären Zahlen, aber die Forderung dieser überimaginären Zahlen, sie führt dazu, einzusehen, daß es solcher überimaginären Zahlen bedarf, wenn man formelhaft ausdrücken will dasjenige, was erstens geschieht im Felde des Chemischen, des Leuchtenden, des Wärmewesenhaften, und was dann noch dazu geschieht, wenn wir aus dem hinausgehen und oben zurückkommen. Wer nun ein Organ dafür hat, der findet hier etwas höchst Eigentümliches. Er findet etwas, von dem ich glaube, daß, wenn man es ordentlich durchdenkt, man im Grunde genommen viel davon hat für eine sachgemäße Beleuchtung der physikalischen Erscheinungen. Das, was ich meine, ist dieses, daß man dieselben Schwierigkeiten hat, wenn man in der Naturwissenschaft das Unorganische betrachtet und von den Begriffen, die man sich innerhalb des Feldes des Unorganischen bildet, übergeht zu dem Versuch, das Leben zu begreifen. Es geht nicht mit den unorganischen Vorstellungen. Es geht nicht. Das zeigt sich auf der einen Seite dadurch, daß es Denker gibt, die sagen: Das Irdisch-Organische muß durch eine Art von Urzeugung aus dem Unorganischen hervorgegangen sein. Aber es ist unmöglich, mit dieser Anschauung zunächst irgend etwas Reales zu verbinden. Andere Denker, wie Preyer oder ähnliche, leiten alles Unorganische aus dem Organischen her, wobei sie der Wahrheit schon näher kommen. Sie denken sich die Erde als ursprünglich lebendigen Körper, und das, was heute unorganisch ist, denken sie sich wie eine Abscheidung, etwas, was herauserstorben ist aus dem Organischen. Aber über ein gewöhnliches Bild kommen auch diese Leute nicht hinweg. Dieselben Schwierigkeiten, die man da hat, wenn man auf reine Naturbegriffe geht, hat man innerhalb der Mathematik selber, wenn man versuchen will, mit gut überlegtem Formelwesen von dem, was sich erfassen läßt im Gebiete der Wärme, im Gebiete des Leuchtenden, im Gebiete des Chemischen übergehen zu wollen zu dem, was da irgendwo vorhanden ist, wo das Farbenband sich auf naturgemäße Weise schließen würde - wir müssen ja voraussetzen, dieses Farbenband wird sich irgendwo schließen: Im Bereich des Irdischen wird es sich wohl nicht schließen. Wir haben die Notwendigkeit, darauf hinzuweisen, wie die Mathematik durch ihre eigenen Erwägungen vor dem Lebensproblem steht. Sie kann mit dem, was ihr heute vorliegt, bezwingen dasjenige, was innerhalb des Lichtes, der Wärme, des Chemischen gelegen ist, sie kann nicht bezwingen dasjenige, was wir offenbar damit verbunden finden: den Abschluß des Spektrums, welcher aber nicht durch solche Formeln zum Ausdruck zu bringen ist, wie das andere.

[ 14 ] Zunächst helfen wir uns dadurch, daß wir einfach eine Terminologie gebrauchen. Aber Sie sehen, wir kommen jetzt zu ziemlich konkreten Vorstellungen schon mit dieser Terminologie. Wir sagten: Etwas Wirkliches liegt zugrunde, wenn wir Formeln brauchen wie diese für w. Wir sprechen da von Wärmeäther; irgend etwas Wirkliches liegt zugrunde, wenn wir:diese Formeln (2) zu gebrauchen haben, bei denen das, was in den Formeln (1) positiv ist, negativ erscheinen muß, und sprechen dann von chemischem Äther; wir sprechen von Lichtäther, wenn wir nötig haben zum Imaginären zu schreiten in unseren Formeln; und wir sprechen tatsächlich von Lebensäther, wenn wir nötig haben mathematische Formeln zu gebrauchen, die wir noch gar nicht in Wirklichkeit haben, über die wir uns nicht klar sind, über die wir uns ebenso unklar sind in der Mathematik, wie die Naturforscher über das Leben sich unklar sind.

[15 ] Sie sehen hier einen sehr interessanten Parallelismus zwischen dem Gang des Denkens innerhalb der Mathematik und dem Gang des Denkens innerhalb der Naturwissenschaft selbst, woraus Sie ersehen können, daß es sich wirklich zunächst nicht um eine objektive Schwierigkeit handeln kann, sondern daß es sich handeln muß um eine subjektive Schwierigkeit. Denn ganz unabhängig von der Naturforschung tritt auf dem Gebiete der reinen Mathematik derselbe Gang des Denkens auf, und doch wird niemand glauben, daß er aus ebensolchen Erwägungen heraus einen schön stilisierten Vortrag halten könnte über die Grenzen des inneren mathematischen Erkennens wie Du Bois-Reymond über die Grenzen des Naturerkennens. Wenigstens mit derselben Art der Schlußfolgerung könnte man das nicht. Innerhalb des Mathematischen muß es möglich sein, wenn einem die Begriffe und Formulierungen nicht durch ihre Komplikation entschlüpfen, wenn man sie fassen will, im Gebiete des rein Mathematischen muß es möglich sein, zu abschließenden Formulierungen zu kommen. Die erwähnte Schwierigkeit kann nur etwas sein, was mit unseren relativen Unvollkommenheiten zusammenhängt, es kann dabei nicht gedacht werden, daß es sich um wirkliche Grenzen des menschlichen Erkennens handeln könnte. Es ist sehr wichtig, so etwas gründlich ins Auge zu fassen. Denn daran zeigt sich erstens, daß die einfache Anwendung der Mathematik nicht geht, solange wir im Physikalischen die Wirklichkeit ergreifen wollen. Denn wir können nicht einfach, wie es die Energetiker machen, sagen: Es verwandelt sich ein Wärmequantum in ein Quantum chemischer Energie und umgekehrt. Das dürfen wir nicht sagen, sondern dann, wenn so etwas geschieht, ergibt sich die Notwendigkeit, andere Zahlenwerte einzuführen. Dann ergibt sich die Notwendigkeit, wirklich die Hauptsache nicht darin zu sehen, daß mechanisch die eine Energieart die andere anregt, sondern daß man es zu tun hat mit einem wirklich qualitativen Umwandeln, was sich schon in der Zahl fassen läßt, wenn die eine Energie, wie man sagt, in die andere übergeht.

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[ 16 ] Würde man aufmerksam geworden sein auf dieses selbst schon in den Zahlen festzuhaltende qualitative Umwandeln der einen Energieart in die andere, so würde man nicht zu der Vorstellung vorgerückt sein, die da sagt: Nun ja, so obenhin ist Wärme eben das, was wir als Wärme empfinden, ist mechanische Arbeit, was wir als solche empfinden, ist chemische Energie, was sich zeigt in chemischen Vorgängen; innerlich ist das alles gleich. Mechanische Bewegung vollzieht sich. Wärme ist auch nichts anderes. — Auf dieses Stoßen, Drängen der Moleküle oder Atome gegeneinander, an die Wände und so weiter, auf dieses Streben nach einer abstrakten Einheit für alle Energien, die eben eine mechanische Bewegung ist, würde man nicht gekommen sein, wenn man gesehen hätte, daß man, schon wenn man Rechnungsansätze macht, nötig hat, die Qualitätsunterschiede der Energien in Betracht zu ziehen. Es ist deshalb interessant, daß Eduard von Hartmann, als er die Wärmelehre philosophisch betrachtete, nötig hatte, Definitionen zu finden für die Physik, die von allem Qualitativen absehen. Dann natürlich kann man in der Physik nur eine eindeutige Mathematik finden. Und abgesehen von den Fällen, wo sich etwas aus den rein mathematischen Beziehungen als negativ ergibt, lieben es die Physiker nicht, mit solchen Zahlen-Qualitätsunterschieden in der Physik selbst zu rechnen. Sie rechnen mit positiv und negativ, aber das sind Dinge, die sich nur aus mathematischen Verhältnissen ergeben. Niemals würde man in der gewöhnlichen Energielehre gerechtfertigt finden, dadurch, daß eine Energie Wärme, eine andere chemische Energie ist, die eine mit positivem und die andere mit negativem Vorzeichen zu bezeichnen.